丁家峰，梁 健，李新梅，丁一鵬，趙 巖

（中南大學(xué) 物理與電子學(xué)院，長(zhǎng)沙 410012）

0 引言

電路的動(dòng)態(tài)分析是電路分析的重要組成部分，是了解電路系統(tǒng)動(dòng)態(tài)復(fù)雜行為的重要手段。對(duì)電路進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，常常使用節(jié)點(diǎn)分析法和狀態(tài)變量法。節(jié)點(diǎn)分析法是早期用于處理電路直流分析而建立起來(lái)的方法，后來(lái)經(jīng)過(guò)發(fā)展常被用于電路的動(dòng)態(tài)分析中[1]。使用節(jié)點(diǎn)分析法對(duì)電路進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析時(shí)，一般使用數(shù)值積分法將儲(chǔ)能元件如電容、電感等效為電流源與電阻的并聯(lián)或串聯(lián)，從而在每一個(gè)時(shí)刻點(diǎn)將電路等效為電阻網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行求解[2,3]。由于無(wú)法得到任意時(shí)刻的電路狀態(tài)，近年來(lái)，對(duì)節(jié)點(diǎn)分析法研究?jī)H限于如何加速求解過(guò)程，很少涉及電路理論本身[4]。

狀態(tài)變量法是分析電路的有力工具，其最早應(yīng)用于控制系統(tǒng)分析，后來(lái)被廣泛運(yùn)用到電路網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)分析中。狀態(tài)變量法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析的關(guān)鍵是提取出系統(tǒng)的狀態(tài)方程。狀態(tài)方程是用一組狀態(tài)變量和輸入信號(hào)共同描述的微分方程組。狀態(tài)變量一般是系統(tǒng)內(nèi)部的量，在線性網(wǎng)絡(luò)中，一般選取電容電壓和電感電流作為系統(tǒng)狀態(tài)變量[5]。使用狀態(tài)變量法分析電路，相比其他的分析方法，具有如下優(yōu)點(diǎn)：1）無(wú)論是線性電路還是非線性電路，只要找出合適的狀態(tài)變量，都可以使用狀態(tài)變量法進(jìn)行分析[6]；2）只要得到電路在某個(gè)時(shí)刻t0的一組狀態(tài)變量，就可根據(jù)狀態(tài)方程得出任一時(shí)刻t（t＞t0）的電路狀態(tài)；3）使用狀態(tài)變量法對(duì)電路進(jìn)行分析，最終都會(huì)得到一組一階微分方程，其十分便于利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行求解。因此，狀態(tài)變量法常常被用于系統(tǒng)的建模和分析中[7]。但是系統(tǒng)狀態(tài)方程的提取不是一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，傳統(tǒng)的以電容電壓和電感電流作為狀態(tài)變量的提取方法一般通過(guò)復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)分析得到標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程，其過(guò)程包含了復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)圖論理論[8]。這種方法列寫(xiě)狀態(tài)方程十分復(fù)雜，有時(shí)甚至不能得到標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程。為了使用狀態(tài)變量法分析電路方便研究工作，人們提出了一些非標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)空間模型[9,10]，最常用的就是基于系統(tǒng)傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間模型。根據(jù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)提取系統(tǒng)狀態(tài)方程的問(wèn)題被稱(chēng)為傳遞函數(shù)的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。如果選取的狀態(tài)變量不同，根據(jù)傳遞函數(shù)可以得到不同的狀態(tài)方程。每個(gè)狀態(tài)方程被稱(chēng)為傳遞函數(shù)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，其中能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形是最基本的兩種實(shí)現(xiàn)[11]。這類(lèi)狀態(tài)方程與標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程的不同之處在于其不能保證選取的狀態(tài)變量為電容電壓或者電感電流，甚至有可能是一個(gè)不存在物理意義的量。但這類(lèi)狀態(tài)方程十分便于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行描述與分析，特別是在控制系統(tǒng)理論中運(yùn)用十分廣泛，一般可以根據(jù)這類(lèi)狀態(tài)方程去構(gòu)造真實(shí)的物理系統(tǒng)，對(duì)其提取方法進(jìn)行研究是一件十分有意義的事情[12]。要想獲得這類(lèi)狀態(tài)方程，就必須先得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。對(duì)于簡(jiǎn)單的電路和系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)可以通過(guò)計(jì)算直接得到，但復(fù)雜電路和系統(tǒng)的傳遞函數(shù)較難求取，往往只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)或者擬合的方式得出，這給狀態(tài)方程的提取帶來(lái)了困難。

為了解決復(fù)雜電路和系統(tǒng)求取傳遞函數(shù)中存在的困難，方便得到傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)，本文提出了一種適用于線性電路的狀態(tài)空間模型提取方法。該方法將電路復(fù)頻域分析方法和改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法相結(jié)合，使用符號(hào)運(yùn)算求解出線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，通過(guò)傳遞函數(shù)提取出單輸入——單輸出系統(tǒng)的能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形兩種基本實(shí)現(xiàn)。

1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

單輸入——單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述可表示為：

其中，x為狀態(tài)變量，u為系統(tǒng)輸入，y為系統(tǒng)輸出，A為系統(tǒng)矩陣，B為輸入矩陣，C為輸出矩陣，D為耦合矩陣。在傳遞函數(shù)的多種狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)中，能觀規(guī)范形實(shí)現(xiàn)和能控規(guī)范形實(shí)現(xiàn)為最基本的兩種實(shí)現(xiàn)方式。

考慮物理可實(shí)現(xiàn)的單輸入——單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

其中，G(s)為嚴(yán)真情形，d為直接輸入分量。根據(jù)傳遞函數(shù)，可得出單輸入——單輸出系統(tǒng)的能控規(guī)范形的系數(shù)矩陣為：

單輸入——單輸出系統(tǒng)的能觀規(guī)范形的系數(shù)矩陣為：

2 算法分析與設(shè)計(jì)

觀察系統(tǒng)規(guī)范形實(shí)現(xiàn)的系數(shù)矩陣可知，如果已取得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，可將傳遞函數(shù)變換出嚴(yán)真情形，提取出分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)，根據(jù)這些系數(shù)便可構(gòu)成系統(tǒng)規(guī)范形實(shí)現(xiàn)的系數(shù)矩陣。因此，如何提取系統(tǒng)狀態(tài)方程的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)變?yōu)槿绾吻笕∠到y(tǒng)傳遞函數(shù)的問(wèn)題。根據(jù)傳遞函數(shù)，我們用算法實(shí)現(xiàn)了單輸入——單輸出系統(tǒng)的能控規(guī)范形實(shí)現(xiàn)和能觀規(guī)范形實(shí)現(xiàn)這兩種基本狀態(tài)空間模型的提取，其算法流程圖如圖1所示。

圖1 算法流程圖

2.1 基于線性電路復(fù)頻域方法的電路元件參數(shù)分析

在電路分析領(lǐng)域，通常把系統(tǒng)輸入稱(chēng)為激勵(lì)，記作f(t)，把系統(tǒng)輸出稱(chēng)為響應(yīng)，記作y(t)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)可以表示為：

其中Y(s)和F(s)分別為零狀態(tài)下y(t)和f(t)的拉普拉斯變換。根據(jù)式(12)可知，要想得出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，必須先求出系統(tǒng)激勵(lì)和響應(yīng)的拉普拉斯變換。本文使用線性電路復(fù)頻域分析的方法求出電路網(wǎng)絡(luò)激勵(lì)與響應(yīng)的拉普拉斯變換。

在線性電路復(fù)頻域分析中，常常使用元件的S域模型，將時(shí)域的電路轉(zhuǎn)換為S域的電路；再根據(jù)基爾霍夫定律對(duì)S域電路列線性方程組進(jìn)行求解，便可得到各個(gè)電路變量的拉普拉斯變換。由于拉普拉斯變換的線性性質(zhì)，基爾霍夫定律在S域下的形式和時(shí)域下的形式相似，可以簡(jiǎn)單表示為：對(duì)于任一節(jié)點(diǎn)，對(duì)任一回路，。根據(jù)元件的電壓與電流的時(shí)域關(guān)系和拉普拉斯變換的性質(zhì)，可以得出各個(gè)元件的S域電路模型。

對(duì)于電阻元件，其電壓電流的時(shí)域關(guān)系為u(t)=Ri(t)，兩邊取拉普拉斯變換，可得到電阻元件的S域關(guān)系形式為U(s)=RI(s)。因此，電阻的S域電路模型如圖2所示。

圖2 電阻S域電路模型

圖3 電感S域電路模型

圖4 電容S域電路模型

對(duì)于電源元件，S域下的關(guān)系式為時(shí)域下關(guān)系式的拉普拉斯變換。其他的線性元件也可以根據(jù)拉普拉斯變換的性質(zhì)得到S域的電路模型。

由上述可知，在時(shí)域中，電感及電容的電壓與電流之間的微分關(guān)系，在S域中變成了線性關(guān)系。因此，時(shí)域中的電路微分方程組，在S域中變成線性代數(shù)方程組，求解這個(gè)方程組，可以得到電路中有關(guān)電流和電壓的拉普拉斯變換，再根據(jù)激勵(lì)和選取的響應(yīng)（已求得）的拉普拉斯變換，按式(12)求得響應(yīng)與激勵(lì)之間的傳遞函數(shù)。那么，使用怎樣的方法在計(jì)算機(jī)環(huán)境下生成S域電路線性代數(shù)方程組？本文采用的是改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法。

2.2 基于改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法的電路網(wǎng)絡(luò)矩陣生成

改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法是常用的建立電路代數(shù)方程組的方法，其具有方便、快速等優(yōu)點(diǎn)。許多仿真軟件如Spice使用了改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法建立代數(shù)方程組。

改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法的基本思想是將元件分為了三類(lèi)。第一類(lèi)是可用復(fù)電導(dǎo)描述的元件，包括電阻、電感和電容，它們的復(fù)電導(dǎo)分別為1/R、1/sL和sC；第二類(lèi)是不能使用復(fù)電導(dǎo)描述的元件，主要包括獨(dú)立電流源和各種受控源；第三類(lèi)元件為獨(dú)立電壓源。改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法根據(jù)三類(lèi)不同元件對(duì)生成的代數(shù)方程組的貢獻(xiàn)，將元件貢獻(xiàn)填入代數(shù)方程組中，最終生成代數(shù)方程組TX=B。在這一過(guò)程中，第一類(lèi)元件應(yīng)最先被處理，這類(lèi)元件的貢獻(xiàn)是構(gòu)建出最基本的系數(shù)矩陣T，此時(shí)解向量X為節(jié)點(diǎn)電壓。第二類(lèi)元件和第三類(lèi)元件的處理順序可以任意選擇，其中獨(dú)立電流源主要對(duì)右端向量B有貢獻(xiàn)，各類(lèi)受控源和獨(dú)立電壓源對(duì)系數(shù)矩陣T、右端向量B以及解向量X皆有貢獻(xiàn)[13]。

圖5 時(shí)域電路圖

圖6 S域電路圖

RLC時(shí)域電路以及其在S域下的電路模型分別如圖5和圖6所示。使用改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法處理圖6電路生成的代數(shù)方程組TX=B為：

其中，Vn1、Vn2、Vn3為節(jié)點(diǎn)電壓，I(s)為流出電壓源的電流，s為拉普拉斯變換符號(hào)。由于生成的代數(shù)方程組中，含有符號(hào)變量s，所以需要使用具有符號(hào)運(yùn)算功能的工具進(jìn)行求解。

2.3 代數(shù)方程組的求解與狀態(tài)方程的提取

使用改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法生成代數(shù)方程組TX=B后，應(yīng)使用具有符號(hào)運(yùn)算功能的工具求解代數(shù)方程組。本文在MATLAB平臺(tái)上對(duì)算法進(jìn)行了實(shí)現(xiàn)，MATLAB具有強(qiáng)大符號(hào)運(yùn)算功能。當(dāng)將代數(shù)方程組TX=B求解完成后，解向量X為節(jié)點(diǎn)電壓和非第一類(lèi)元件支路電流的拉普拉斯變換表達(dá)式。由使用者確定電路系統(tǒng)激勵(lì)和響應(yīng)，根據(jù)已求出的解向量，求出系統(tǒng)激勵(lì)和響應(yīng)的拉普拉斯變換表達(dá)式，再根據(jù)式(12)求出單輸入——單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

假設(shè)得到的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：

使用符號(hào)運(yùn)算，分別將傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式Y(jié)(s)、分母多項(xiàng)式F(s)的系數(shù)向量提取出來(lái)，其中有：

因此：

3 算例與分析

本文使用上述方法在MATLAB平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)了狀態(tài)空間模型提取系統(tǒng)。圖7為提取系統(tǒng)的運(yùn)行界面，該系統(tǒng)采用固定格式的描述文件對(duì)電路網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行描述。圖8為提取系統(tǒng)的運(yùn)行流程圖，該系統(tǒng)讀取電路網(wǎng)絡(luò)描述文件進(jìn)行分析，求解出系統(tǒng)傳遞函數(shù)，通過(guò)傳遞函數(shù)提取出電路系統(tǒng)的能控規(guī)范形實(shí)現(xiàn)和能觀規(guī)范形實(shí)現(xiàn)的系數(shù)矩陣。下面通過(guò)算例來(lái)說(shuō)明如何使用該系統(tǒng)提取出狀態(tài)空間模型。

圖7 系統(tǒng)運(yùn)行界面

圖8 提取系統(tǒng)運(yùn)行流程

圖9所示的算例電路較為復(fù)雜，元件E、H和G分別表示受控源VCVS、CCVS和VCCS，其傳遞函數(shù)較難直接求取，從而影響了狀態(tài)空間模型的生成。電路中包含著受控源、純電容回路和純電感割集，使用傳統(tǒng)的圖論提取方法較難提出狀態(tài)方程[5]。使用提取系統(tǒng)對(duì)圖9電路進(jìn)行分析，填入電路拓?fù)涿枋鑫募碗娫春瘮?shù)，點(diǎn)擊“運(yùn)行”按鈕，便可生成代數(shù)方程組TX=B。使用符號(hào)運(yùn)算求解代數(shù)方程組，得到所有節(jié)點(diǎn)電壓、支路電壓和支路電流的拉氏變換。

圖9 算例電路（電源頻率1Hz）

選取電壓源電壓作為激勵(lì)，節(jié)點(diǎn)5的電壓作為響應(yīng)。節(jié)點(diǎn)5電壓的拉氏變換為：

對(duì)式(25)進(jìn)行反拉普拉斯變換，可得到節(jié)點(diǎn)5點(diǎn)電壓時(shí)域函數(shù)的近似表示為：

根據(jù)式(26)所繪出節(jié)點(diǎn)5電壓波形和使用Pspice軟件對(duì)電路進(jìn)行仿真的結(jié)果的對(duì)比如圖10所示，其中Pspice在仿真過(guò)程中的最大步長(zhǎng)為5ms。圖中的誤差曲線為，可以看出兩條曲線基本一致，誤差Δ保持在6×10-5以?xún)?nèi)，充分表明了所得到節(jié)點(diǎn)5電壓的拉普拉斯變換表達(dá)式是正確無(wú)誤的。

圖10 節(jié)點(diǎn)5電壓計(jì)算結(jié)果

圖11 算例運(yùn)行結(jié)果

根據(jù)傳遞函數(shù)和系統(tǒng)規(guī)范型實(shí)現(xiàn)的關(guān)系，由式(27)可得系統(tǒng)的能控規(guī)范型實(shí)現(xiàn)和能觀規(guī)范型實(shí)現(xiàn)分別如式(28)和式(29)所示。在提取系統(tǒng)上，選擇電壓節(jié)點(diǎn)5作為響應(yīng)，點(diǎn)擊“輸出”按鈕，可得到算例運(yùn)行結(jié)果如圖11所示。圖11中的輸出矩陣為能控規(guī)范形實(shí)現(xiàn)的系數(shù)矩陣A。通過(guò)將式(28)的系數(shù)矩陣A與圖11中的輸出矩陣對(duì)比可知，提取系統(tǒng)的運(yùn)行結(jié)果是準(zhǔn)確可靠的。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種適用于線性電路系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型自動(dòng)提取方法，能夠提取出能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形兩種基本的狀態(tài)空間模型。該方法采用頻域分析法和改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法，解決了復(fù)雜電路的傳遞函數(shù)難以直接求取的問(wèn)題。在MATLAB平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)了提取系統(tǒng)，通過(guò)實(shí)例表明，該提取系統(tǒng)操作簡(jiǎn)單、運(yùn)行結(jié)果準(zhǔn)確可靠，為線性電路的分析提供了有力工具。