徐佳新，馬建敏

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二維陣列換能器聲輻射力分布的計(jì)算分析

徐佳新，馬建敏

(復(fù)旦大學(xué)航空航天系，上海 200433)

利用角譜理論得到了圓形活塞換能器陣元組陣后作用在平面懸浮物體上的聲輻射力分布公式。通過數(shù)值仿真，分析了換能器頻率、陣元間距以及陣元數(shù)目對聲輻射力分布的影響。計(jì)算結(jié)果表明，換能器組陣使得聲輻射力分布的指向性變窄，強(qiáng)度增強(qiáng)；隨著換能器頻率的提高、陣元間距的增大以及陣元數(shù)目的增多，聲輻射力分布的主瓣更尖銳，但陣元間距的增大會使聲輻射力分布的旁瓣增高。為了改善聲輻射力的空間分布，采用偽逆矩陣算法，以能量增益為目標(biāo)函數(shù)，通過調(diào)節(jié)換能器陣元表面振動(dòng)速度的幅值和相位來形成多焦點(diǎn)的聲輻射力分布，為陣列換能器聲輻射力分布的調(diào)控和聲懸浮穩(wěn)定性的研究提供幫助。

陣列換能器；角譜理論；聲輻射力分布；空間調(diào)控；

0 引言

聲懸浮較于磁懸浮，最大的優(yōu)點(diǎn)就是不受懸浮物材料限制，因此具有廣闊的應(yīng)用前景。國內(nèi)外學(xué)者在聲懸浮方面也頗有研究。文獻(xiàn)[1]中通過駐波懸浮實(shí)現(xiàn)了無容器條件下Ni-Sn合金的共晶生長。駐波比行波能產(chǎn)生更大的聲輻射力，讓物體穩(wěn)定在波節(jié)點(diǎn)處，但要求懸浮物體要遠(yuǎn)小于半波長。對于大物體，可以采用近場懸浮，Su Zhao等[2]激勵(lì)直徑為120 mm的鋁圓盤，成功地將16 g的光碟懸浮了半波長高度。

為了獲得更強(qiáng)的聲輻射力，可采用換能器組陣的方式，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)換能器組陣的確可以把物體懸浮到更高位置，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不只是近場懸浮所說的半個(gè)波長高度；不過換能器組陣以后會使得聲場的指向性增強(qiáng)，并且懸浮物體受到的聲輻射力分布也變得很復(fù)雜。為了提高聲懸浮的穩(wěn)定性，可以調(diào)節(jié)二維換能器陣元表面振動(dòng)速度的幅值和相位來調(diào)控聲場，使得聲輻射力分布趨于平均。本文以圓形活塞換能器為例，采用角譜理論推導(dǎo)出換能器組陣后作用在遠(yuǎn)場平面懸浮物體上聲輻射力的分布公式，分析換能器頻率、陣元數(shù)目、陣元間距對聲輻射力分布的影響，并且采用偽逆矩陣算法，以能量增益為目標(biāo)函數(shù)，通過調(diào)節(jié)換能器陣元的表面振動(dòng)速度的幅值和相位來形成多焦點(diǎn)的聲輻射力分布。

1 換能器組陣聲輻射力分布計(jì)算

對于任意聲場可以看成一系列不同振幅的平面聲波的疊加[3]：

那么，該陣元的振動(dòng)速度角譜由傅里葉-貝塞爾變換可得[4]：

按照圖1排布的換能器陣的振動(dòng)速度角譜可以采用陣列原理來計(jì)算。

圖 1 二維換能器陣列

將式(6)代入式(3)，再由卷積定理，求出換能器陣表面振動(dòng)速度角譜為

圖 2 平面物體的聲懸浮

由角譜理論可知，任意聲場可以分解成一系列振幅不同的平面聲波[3]：

現(xiàn)只取其中的一束平面聲波進(jìn)行分析，由圖2可以看出，該平面聲波的入射角為

假設(shè)該束平面聲波遇到上方無限大的平面物體，在物體下表面發(fā)生全反射，那么換能器陣和懸浮物之間的聲場速度可以表示為

由換能器陣表面的速度邊界條件：

將式(11)代入式(10)，可以得到聲場速度表達(dá)式：

式(12)中，下角i和r分別代表入射和反射平面波。對于平面行波，作用在物體上的聲輻射力可以由式(13)給出[6]：

由于系統(tǒng)的對稱性，平面懸浮物體所受到的和方向的聲輻射力合力為零，故本文只考慮豎直方向上的聲輻射力。將式(12)代入式(13)，可求出由角譜法展開的單束平面聲波作用在平面懸浮物上，聲輻射力在方向上的分量為

角譜法表示的積分即式(15)一般情況下很少有精確解，一般都采用數(shù)值算法進(jìn)行計(jì)算，但是當(dāng)聲波頻率比較高時(shí)，被積函數(shù)震蕩劇烈，積分步長不合適會引入很大的誤差，故本文采用最快速下降法[7]來進(jìn)行計(jì)算，積分漸近公式為

比較式(15)和式(16)可知，

將式(17)～(20)代入式(16)中并化簡，可近似求出換能器組陣以后作用在平面懸浮物上的聲輻射力分布：

2 聲輻射力分布的計(jì)算與分析

通過以上對換能器組陣以后作用在平面懸浮物上聲輻射力分布公式的推導(dǎo)，本文以MATLAB為編程工具，對作用在平面懸浮物上聲輻射力分布進(jìn)行計(jì)算仿真，分析換能器頻率、陣元間距、陣元數(shù)目對聲輻射力分布的影響。在仿真過程中，假設(shè)空氣為理想介質(zhì)，并取圓形活塞換能器半徑=0.008 m，懸浮物體懸浮高度=0.01 m，陣列排列形式如圖1所示。為了方便觀察，聲輻射力分布皆取在平面(見圖2)上進(jìn)行分析。

2.1 頻率對聲輻射力分布的影響

由式(21)可知，考慮不同頻率的換能器組陣對聲輻射力分布的影響。在矩形3×3排列、陣元間距=0.020 m的換能器陣情況下，分別取換能器頻率為5 kHz、10 kHz、20 kHz經(jīng)過仿真得到的聲輻射力分布如圖3所示。

圖3 聲輻射力分布與頻率的變化關(guān)系

通過圖3顯然可以看出，提高換能器的頻率，作用在平面懸浮物體上的聲輻射力分布指向性變強(qiáng)，主瓣越來越尖銳。

2.2 陣元間距對聲輻射力分布的影響

保持換能器陣元頻率為20 kHz且換能器陣為矩形3×3排列不變，由式(21)分別計(jì)算矩形換能器陣列的陣元間距=0.020，0.024，0.028時(shí)，聲輻射力分布情況如圖4所示。可以看出，隨著陣元間距的增加，換能器陣總體尺寸變大，聲輻射力分布的主瓣變得尖銳，指向性增強(qiáng)。但是陣元間距的增加會導(dǎo)致整個(gè)換能器陣列的單位面積的有效振動(dòng)面積減小，旁瓣不能得到有效抑制。

圖4 聲輻射力分布與陣元間距的變化關(guān)系

此外，由于圓形換能器的頻率固定，聲波在特定的介質(zhì)中傳播的波長也是一定的，所以通常把/作為整體變量來研究陣元間距對指向性的影響。

當(dāng)換能器的頻率為20 kHz時(shí)，對應(yīng)的波長為0.017 m，考慮到圓形換能器尺寸的影響，本文接下來分別取/=1.5，2.5，3.5，來考慮/與聲輻射力分布旁瓣的關(guān)系，如圖5所示。

圖 5 聲輻射力分布與d/λ的關(guān)系

2.3 陣元數(shù)目對聲輻射力分布的影響

同樣保持換能器陣元的頻率為20 kHz，陣元間距0.020 m，換能器陣列分別為3×3，5×5，7×7排列，用式(21)仿真分析陣元數(shù)目對聲輻射力分布的影響。通過仿真分析得到作用在平面懸浮物體上聲輻射力分布隨陣元數(shù)目的變化規(guī)律，如圖6所示。

從圖6中可以看出，隨著換能器數(shù)目的增加，聲輻射力的分布的指向性越來越尖銳而且旁瓣也得到了有效地抑制。所以，應(yīng)在條件允許的情況下盡可能地增加換能器陣元的數(shù)目。

圖 6 聲輻射力分布與陣元數(shù)目的變化關(guān)系

3 聲輻射力分布的空間調(diào)控

由以上對換能器組陣以后作用在平面懸浮物上聲輻射力分布的分析可知，換能器數(shù)目越多，輻射的聲能量越大，能夠產(chǎn)生的聲輻射力也越大。但是隨著換能器陣列陣元數(shù)目的增加，聲場的指向性增強(qiáng)，聲輻射力也會向中間聚集，導(dǎo)致聲懸浮不穩(wěn)定。為了提高聲懸浮的穩(wěn)定性，本文用偽逆矩陣算法合成多焦點(diǎn)聲場的相關(guān)理論[8]來調(diào)節(jié)換能器陣元表面振動(dòng)速度的幅值和相位，從而調(diào)控聲輻射力的空間分布。

不妨?。?/p>

那么，式(22)可以表示為

當(dāng)換能器數(shù)目大于控制點(diǎn)的數(shù)目時(shí)，換能器陣元的復(fù)表面振動(dòng)速度向量可以用偽逆矩陣來表示，表達(dá)式為

為了調(diào)控空間聲輻射力的分布，實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的聲懸浮，在懸浮物體底面設(shè)定多個(gè)幅值相同的控制點(diǎn)，使得聲輻射力在這些控制點(diǎn)處“聚焦”。因此，就要求換能器陣產(chǎn)生的能量主要用于在控制點(diǎn)處產(chǎn)生足夠大的聲輻射力，而在其他位置產(chǎn)生的聲輻射力很小。

換能器陣產(chǎn)生的總聲能量為

當(dāng)物體穩(wěn)定懸浮時(shí)，控制點(diǎn)處聲輻射力相對于其它位置足夠的大，可以認(rèn)為懸浮物僅僅是由控制點(diǎn)處的聲輻射力支撐，那么懸浮物體的重力勢能可以表示為

本文引入能量增益的定義如下[9]：

此時(shí)，能量增益為

將式(31)代入(27)，即可求出每一個(gè)換能器陣元的復(fù)表面振動(dòng)速度。將求出的每個(gè)陣元的復(fù)表面振動(dòng)速度代入式(22)，即可得到調(diào)控以后的聲輻射力分布。

4 聲輻射力分布的空間調(diào)控算例

當(dāng)然，還可以根據(jù)平面懸浮物體的尺寸，適當(dāng)增加焦點(diǎn)的數(shù)量或者調(diào)節(jié)焦點(diǎn)的位置。比如可以產(chǎn)生如圖8所示的以邊長為0.04 m的正方形和邊長為0.12 m的正方形的頂點(diǎn)為控制點(diǎn)的8焦點(diǎn)聲輻射力分布，能夠?qū)崿F(xiàn)更穩(wěn)定的聲懸浮。

圖7 四個(gè)焦點(diǎn)的聲輻射力分布

圖 8 八個(gè)焦點(diǎn)的聲輻射力分布

5 結(jié)論

本文運(yùn)用角譜理論對換能器組陣后作用在平面懸浮物體上的聲輻射力分布公式進(jìn)行推導(dǎo)，并且分析了換能器頻率、陣元間距以及陣元數(shù)目對聲輻射力分布的影響，得到了以下結(jié)論：

(1)換能器頻率的提高，陣元間距以及陣元數(shù)目的增加，都會導(dǎo)致作用在平面懸浮物體上的聲輻射力分布的主瓣更加尖銳；但是增大陣元間距會使得對聲輻射力分布的旁瓣抑制效果減弱；

(2)通過偽逆矩陣算法，以能量增益為目標(biāo)來調(diào)節(jié)換能器陣元的振幅和相位，可以形成多焦點(diǎn)的聲輻射力分布，為陣列換能器聲輻射力分布的空間調(diào)控和聲懸浮穩(wěn)定性研究提供了新思路。

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Calculation and analysis of acoustic radiation force distribution of a two-dimensional transducer array

XU Jia-xin, MA Jian-min

(Department of Aeronautics and Astronautics, Fudan University, Shanghai 200433, China)

According to angular spectrum theory, the distribution of acoustic radiation force acting on the planar levitation object is derived. Through numerical simulation, the influence of transducer frequency, element spacing and the number of elements on the acoustic radiation force distribution is analyzed. The analysis result shows that the transducer array enhances the intensity and directivity of acoustic radiation force; with the increases of frequency, element spacing and the number of array elements, the main lobe of acoustic radiation force distribution becomes sharper. However, increasing element spacing will raise sidelobes of acoustic radiation force distribution. In order to improve space distribution of acoustic radiation force and to form multi-focus acoustic radiation force distribution, the amplitude and phase of the each element are adjusted by using the pseudo inverse matrix algorithm and choosing sound intensity gain as the objective function. It provides help for regulating the distribution of acoustic radiation force and for the study of acoustic levitation stability.

transducer array; angular spectrum theory; acoustic radiation force distribution; spatial regulation

TB559

A

1000-3630(2018)-04-0398-06

10.16300/j.cnki.1000-3630.2018.04.018

2017-07-13;

2017-10-18

徐佳新(1994－), 男, 江蘇南通人, 碩士研究生, 研究方向?yàn)槁暡ㄝ椛浼捌淇刂啤?/p>

馬建敏, E-mail: jmma@fudan.edu.cn