孫敏 張偉 姚明輝 陳建恩

(1.天津城建大學(xué) 理學(xué)院, 天津 300384) (2.北京工業(yè)大學(xué) 機械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院, 北京 100124)(3.天津理工大學(xué) 天津市先進(jìn)機電系統(tǒng)設(shè)計與智能控制重點實驗室, 天津 300384)

引言

蜂窩夾芯板被廣泛應(yīng)用于航空航天等領(lǐng)域,由于航空和航天飛行器嚴(yán)格的運行要求和嚴(yán)酷的運行環(huán)境,對于蜂窩夾芯板的非線性動力學(xué)研究顯得尤為重要.Burlayenko和Sadowski[1]研究了蒙皮與芯層的剝離對泡沫和蜂窩夾芯板自由振動特性的影響.黃麗娟等[2]利用雙協(xié)調(diào)自由界面模態(tài)綜合法研究了周期局域共振蜂窩夾層板彎曲振動的頻響特性.Liu等[3]提出了一種分析正方形蜂窩夾芯板彎曲、屈曲和振動特性的半解析方法.Zhang等[4]利用廣義Melnikov方法研究了四邊簡支矩形蜂窩夾芯板的全局分叉和多脈沖混沌動力學(xué).Sekine等[5]研究了蜂窩夾芯板的振動特性,文中將蜂窩芯層考慮為具有剪切變形的厚板,復(fù)合材料蒙皮考慮為薄板.Yu和Cleghorn[6]研究了簡支矩形蜂窩夾芯板的自由振動,分別運用了經(jīng)典薄板理論、Reissner-Mindlin理論和Reddy三階剪切變形理論建立了蜂窩夾芯板的力學(xué)模型.Li和Zhu[7]運用改進(jìn)的Reddy三階剪切變形理論研究了蜂窩夾芯板的自由振動,對Reddy三階剪切變形理論引入了剪切修正因子.Alijani等[8]實驗研究了蜂窩和泡沫夾芯板的非線性振動特性,在定幅激勵情況下,通過緩慢的上下掃頻過程獲得了夾芯板的非線性頻率響應(yīng)曲線.

Melnikov方法在研究非線性系統(tǒng)的動力學(xué)特性中起到了很重要的作用,郭翔鷹等[9]利用高維Melnikov方法研究了復(fù)合材料層合板的混沌運動.Chicone[10]結(jié)合Lyapunov-Schmidt退化方法和次諧Melnikov理論研究了高維非線性系統(tǒng)的周期解.Boinn[11]將諧波平衡法與次諧Melnikov理論相結(jié)合研究了耦合Van der Pol 振子次諧軌道的分叉.Yagasaki[12]利用次諧Melnikov理論研究了一類退化共振情況下非線性系統(tǒng)的周期解.Sun等人[13]利用次諧Melnikov理論,研究了壓電復(fù)合材料層合板的周期解.

本文首先利用周期變換和Poincaré映射推廣四維非線性非自治次諧Melnikov理論,然后利用該理論研究蜂窩夾芯板的周期運動,理論上給出系統(tǒng)存在2倍周期運動的參數(shù)域,最后利用數(shù)值模擬驗證理論的正確性.

1 四維次諧Melnikov方法

本節(jié)中,研究如下一類四維非線性非自治系統(tǒng)的周期運動:

(1)

其中:

x=(x1,x2)∈R2,y=(y1,y2)∈R2,

對未擾動系統(tǒng)作如下假設(shè):

A1. 每個方程都有一族周期軌道,其表達(dá)式分別為:L1={xh1|H1(x1,x2)=h1} 和L2={yh2|H2(y1,y2)=h2},其中hj∈K,K為開區(qū)間,j=1,2.

A2.xh1(t) 和yh2(t) 關(guān)于h是Cr的,其周期記為T1和T2.

假設(shè)m0為m1和m2的最小公倍數(shù),我們研究由未擾動系統(tǒng)的一族閉軌經(jīng)過小參數(shù)擾動后在其附近產(chǎn)生周期為m0T的周期振動問題.

對系統(tǒng)(1)引入如下周期變換:

(2)

將方程(2)帶入系統(tǒng)(1)可得到如下極坐標(biāo)形式的四維非線性非自治系統(tǒng):

(3)

其中:

F1=DH1(G)g,F2=DH2(P)f

(4)

令h=(h1,h2),θ=(θ1,θ2),在相空間R2×T2×S1中定義如下形式的橫截面:

∑={(h,θ,φ)∈R2×T2×S1|φ=0}

(5)

其中T2=S1×S1為二維環(huán)面.

對系統(tǒng)(3)定義如下Poincaré 映射:

Pε: (h(0),θ(0))→(h(T),θ(T))

(6)

其中:

(h(t),θ(t),ωt)=(h1(t),h2(t),θ1(t),θ2(t),ωt)為系統(tǒng)(3)的解.

因此m0次復(fù)合映射Pεm0為:

Pεm0:(h(0),θ(0))→(h(m0T),θ(m0T))

(7)

其中m0為m1和m2的最小公倍數(shù).系統(tǒng)(3)的周期解的存在性等價于Pεm0的不動點的存在性.經(jīng)計算可得:

Pεm0: (h(0),θ(0))→(h(m0T),θ(m0T))

(8)

其中:

(9)

我們可得到如下四維非線性系統(tǒng)周期存在性判定定理[14]:

(10)

并且下列兩組條件之一成立,即:

(11)

(12)

2 蜂窩夾芯板的周期運動

本節(jié)采用上述理論研究蜂窩夾芯板的兩倍周期運動.蜂窩夾芯板受到x方向的面內(nèi)均布載荷與橫向均布載荷聯(lián)合作用.夾芯板的長、寬、高分別為a、b和H,直角坐標(biāo)Oxy位于夾芯板的中性面內(nèi),z軸向下,設(shè)板內(nèi)任一點沿x、y和z方向的位移分別為u、v和w,沿x方向作用的面內(nèi)載荷為p=p0-p1cosΩ2t,橫向載荷為f=F(x,y)cosΩ1t.蜂窩夾芯板分為三層,上下蒙皮是相同的各向同性材料,蒙皮層厚度為hf,芯層為正六角形蜂窩構(gòu)型,蜂窩芯軸向為坐標(biāo)z方向,蜂窩芯厚度為hc.

利用Hamilton原理和Galerkin方法,我們得到如下兩自由度非線性非自治動力學(xué)方程[15]:

α2w1w22-α3w12w2-α4w13-α5w23

=α6F1cosΩ1t

(13a)

β2w12w2-β3w1w22-β4w23-β5w13

=β6F2cosΩ1t

(13b)

對方程(13)引入如下變換:

(14)

方程(13)可轉(zhuǎn)化為如下形式:

c1x2-f1x1cosΩ2t+F1cosΩ1t)

c2x4-f2x3cosΩ2t+F2cosΩ1t)

(15)

其中:

εf2→β7P1,εF2→β6F2

(16)

考慮如下共振關(guān)系:

Ω1=Ω2=2ω1,ω1=ω,ω2=2ω

(17)

因此,我們可得:

(18)

利用改進(jìn)的四維次諧Melnikov方法,可得蜂窩夾芯板在1∶2內(nèi)共振情況下的次諧Melnikov函數(shù)為:

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

另一方面,我們有:

(24)

(25)

3 數(shù)值模擬

我們應(yīng)用四階Runge-Kutta法對方程(15)進(jìn)行數(shù)值模擬來驗證橫向與面內(nèi)載荷聯(lián)合作用下蜂窩夾芯板存在2倍周期軌道,如圖1和圖2所示.

圖2 參數(shù)P2下蜂窩夾芯板的兩倍周期運動Fig.2 Period-2 motion of the plate with P2

圖(a)在平面(t,x1)上的波形圖,圖(b)表示在平面(x1,y1)上的二維相圖,圖(c)表示在空間(x1,y1,x2)上的三維相圖.數(shù)值模擬所選參數(shù)均滿足理論得到的條件.

圖1表明蜂窩夾芯板存在兩倍周期運動,參數(shù)為:

F1=F2=600,f1=100,f2=50,c1=3,

c2=0.9,ω1=10,ω2=20, Ω1=Ω2=20,

α2=-2.32,α3=1.7,α4=-2.3,α5=1.336,

β2=-20.26,β3=15.7,β4=-30.28,β5=12.5,

x10=x20=0,y10=0.01,y20=0.1,此組參數(shù)記為P1.

圖2表明蜂窩板也存在兩倍周期運動,其參數(shù)為:

F1=F2=600,f1=100,f2=80,c1=6,

c2=2.1,ω1=10,ω2=20,Ω1=Ω2=20,

α2=-5,α3=2,α4=-3,α5=2.5,

β2=-10.26,β3=5.7,β4=-30,β5=22.5,

x10=x20=0,y10=0.01,y20=0.1,此組參數(shù)記為P2.

5 結(jié)論

本文首先推廣了四維次諧Melnikov方法,我們引入周期變換將系統(tǒng)化為極坐標(biāo)形式的非線性非自治系統(tǒng),然后對該系統(tǒng)建立相應(yīng)的Poincaré映射,通過對映射不動點的研究得到一個四維次諧Melnikov向量函數(shù),通過對該向量函數(shù)零點的研究,我們得到一類四維非線性非自治系統(tǒng)周期運動的存在性判定定理.然后,利用改進(jìn)的方法研究了蜂窩夾芯板在1∶2內(nèi)共振情況下的周期運動.我們利用定理計算得到次諧Melnikov向量函數(shù),同時獲得系統(tǒng)存在兩倍周期運動的參數(shù)條件.最后,利用數(shù)值方法得到蜂窩夾芯板的二維、三維相圖和波形圖,驗證了理論分析的正確性,研究結(jié)果豐富了蜂窩夾芯板的非線性動力學(xué)研究.