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論線性系統(tǒng)的反共振問題

2018-10-11 09:14:06胡海巖
關(guān)鍵詞:共振頻率頻響原點(diǎn)

胡海巖

(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院 飛行器動(dòng)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100081)

引言

早在19世紀(jì)末,人們就發(fā)現(xiàn)兩自由度線性系統(tǒng)會(huì)呈現(xiàn)反共振現(xiàn)象,即系統(tǒng)某個(gè)自由度在特定頻率激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)幅值為零.1902年,Frahm基于對(duì)反共振的認(rèn)識(shí)發(fā)明了動(dòng)力減振器,降低輪船在海浪作用下的晃動(dòng)[1].此后,人們成功利用反共振現(xiàn)象來改善隔振系統(tǒng)和振動(dòng)機(jī)械的動(dòng)態(tài)特性[2,3],通過反共振現(xiàn)象來提高模型修正效果[4].近年來,則將反共振概念引入到聲學(xué)超材料的設(shè)計(jì)中[5].

雖然不少學(xué)者致力于研究反共振,但主要關(guān)注反共振頻率計(jì)算、反共振頻率的靈敏度計(jì)算等問題[6-8],對(duì)反共振現(xiàn)象的機(jī)理闡述還不夠透徹.例如,對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的單自由度阻尼系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱主系統(tǒng))附加單自由度無阻尼系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱次系統(tǒng)),當(dāng)激勵(lì)頻率與次系統(tǒng)固有頻率重合時(shí),主系統(tǒng)完全靜止,導(dǎo)致激勵(lì)對(duì)組合系統(tǒng)做功為零.但有些學(xué)者認(rèn)為,此時(shí)次系統(tǒng)吸收了主系統(tǒng)的振動(dòng)[9],主系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)移到次系統(tǒng)[10].即次系統(tǒng)的振動(dòng)能量來自主系統(tǒng),亦即激勵(lì)輸入的能量;這無疑與激勵(lì)做功為零相矛盾.本文試圖澄清這類矛盾,闡述原點(diǎn)反共振、跨點(diǎn)反共振的機(jī)理差異,以及反共振與固有振型節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系.為了簡(jiǎn)潔起見,本文著重研究?jī)勺杂啥染€性系統(tǒng)的反共振問題.

1 兩自由度系統(tǒng)的反共振問題

考察兩自由度線性時(shí)不變系統(tǒng)的受迫振動(dòng)問題:

(1)

通過單邊Fourier變換,將方程(1)表示為頻域形式:

Z(ω)X(ω)=F(ω),ω∈[0,+∞)

(2)

其中:

Z(ω) ≡K+iωC-ω2M

(3)

由式(2)和式(3)可得到系統(tǒng)的頻域響應(yīng):

X(ω) =Z-1(ω)F(ω)

≡H(ω)F(ω)

(4)

其中H(ω)≡Z-1(ω)∈2×2是頻響函數(shù)矩陣(又稱動(dòng)柔度矩陣).鑒于反共振是系統(tǒng)局部行為,對(duì)于不同的激勵(lì)位置和響應(yīng)測(cè)量位置,反共振頻率一般不同,故將在s位置激勵(lì)和在r位置測(cè)量響應(yīng)獲得的反共振頻率標(biāo)記為ωrs,r,s=1,2.

不失一般性,考察僅對(duì)系統(tǒng)第1個(gè)自由度施加簡(jiǎn)諧激勵(lì)的情況,即F1(ω)≡F1且F2(ω)≡0.此時(shí),若存在頻率ω11使Z22(ω11)=0且Z12(ω11)≠0,則原點(diǎn)頻響函數(shù)H11(ω11)=0,即原點(diǎn)響應(yīng)出現(xiàn)反共振Y1(ω11)=0;而跨點(diǎn)響應(yīng)為Y2(ω11)=H21(ω11)F1=-F1Z12(ω11)/detZ(ω11)≠0.若有頻率ω21使Z12(ω21)=0且Z22(ω21)≠0,則跨點(diǎn)頻響函數(shù)H21(ω21)=0,即跨點(diǎn)響應(yīng)出現(xiàn)反共振Y2(ω21)=0;而原點(diǎn)響應(yīng)為Y(ω21)=H11(ω21)F1=F1Z22(ω21)/detZ(ω21)≠0.若僅第2個(gè)自由度受到激勵(lì),也可獲得與上述分析結(jié)果類似的結(jié)論.

2 反共振現(xiàn)象的力學(xué)機(jī)理

2.1 原點(diǎn)反共振問題

對(duì)于系統(tǒng)原點(diǎn)響應(yīng)X1(ω11)=0這種反共振現(xiàn)象,許多文獻(xiàn)用“動(dòng)力吸振”概念來解釋.例如,文獻(xiàn)[9]認(rèn)為:系統(tǒng)第2個(gè)自由度吸收了系統(tǒng)第1個(gè)自由度的振動(dòng).由此可推斷,系統(tǒng)第2個(gè)自由度的振動(dòng)源自系統(tǒng)第1個(gè)自由度的振動(dòng),其能量來自外激勵(lì)F1(ω11)輸入到系統(tǒng)第1個(gè)自由度的能量.這正是文獻(xiàn)[10]所闡述的“能量轉(zhuǎn)移”觀點(diǎn).以下分析將表明,上述觀點(diǎn)并不正確.

(3)在系統(tǒng)原點(diǎn)響應(yīng)達(dá)到反共振狀態(tài)前,外激勵(lì)向系統(tǒng)輸入能量;當(dāng)達(dá)到反共振時(shí),外激勵(lì)維持跨點(diǎn)響應(yīng)振幅.事實(shí)上,在系統(tǒng)原點(diǎn)響應(yīng)達(dá)到反共振狀態(tài)之前的瞬態(tài)響應(yīng)階段,外激勵(lì)在系統(tǒng)第1個(gè)自由度上做功,向系統(tǒng)輸入能量.該能量激發(fā)起系統(tǒng)第2個(gè)自由度作不耗能的振動(dòng),產(chǎn)生彈性恢復(fù)力抵消外激勵(lì)對(duì)第1個(gè)自由度的作用.隨著第1個(gè)自由度振動(dòng)衰減,外激勵(lì)做功趨于零.但根據(jù)跨點(diǎn)響應(yīng)的表達(dá)式X2(ω11)=-F1Z12(ω11)/detZ(ω11)可知,跨點(diǎn)響應(yīng)所呈現(xiàn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)幅值要靠外激勵(lì)來維持.此時(shí),若降低外激勵(lì)力幅值,系統(tǒng)會(huì)再次經(jīng)歷瞬態(tài)階段,第2個(gè)自由度的振動(dòng)幅值會(huì)降低,直至重新達(dá)到動(dòng)力平衡,形成穩(wěn)態(tài)的反共振.特別的,若F1→0,必導(dǎo)致X2(ω11)→0.

以上分析表明,現(xiàn)有文獻(xiàn)中的“動(dòng)力吸振”、“能量轉(zhuǎn)移”觀點(diǎn)并不正確,而基于動(dòng)力平衡分析所得到的“動(dòng)力減振”觀點(diǎn)更為恰當(dāng).

2.2 跨點(diǎn)反共振問題

對(duì)于系統(tǒng)跨點(diǎn)響應(yīng)X2(ω21)=0這種反共振現(xiàn)象,尚未見有文獻(xiàn)討論其力學(xué)機(jī)理.事實(shí)上,跨點(diǎn)反共振現(xiàn)象與原點(diǎn)反共振現(xiàn)象的力學(xué)機(jī)理有所不同.此時(shí),外激勵(lì)通過第1個(gè)自由度向系統(tǒng)輸入能量,導(dǎo)致第1個(gè)自由度發(fā)生受迫振動(dòng),但輸入的能量無法傳遞到第2個(gè)自由度上.

更進(jìn)一步看,跨點(diǎn)反共條件是存在頻率ω21使Z12(ω21)=0,進(jìn)而導(dǎo)致跨點(diǎn)頻響函數(shù)H21(ω21)=0.這可理解為系統(tǒng)兩個(gè)自由度之間的阻抗無限大,能量傳輸被阻止了.

(1)系統(tǒng)同時(shí)存在慣性耦合m12和彈性耦合k12,在外激勵(lì)頻率達(dá)到ω21時(shí)這種耦合被抵消了,外激勵(lì)通過第1個(gè)自由度向系統(tǒng)輸入能量,但該能量無法傳遞到第2個(gè)自由度.

(2)系統(tǒng)僅存在慣性耦合m12,當(dāng)ω21=0時(shí)該耦合消失,即靜態(tài)外激勵(lì)引起第1個(gè)自由度運(yùn)動(dòng),而第2個(gè)自由度保持靜止.

(3)系統(tǒng)的兩個(gè)自由度之間不存在任何耦合,外激勵(lì)只引起第1個(gè)自由度振動(dòng).

3 案例分析

圖1 兩自由度系統(tǒng)及其固有振型Fig.1 A system of two degrees of freedom and its natural mode-shapes

考察圖1所示的兩自由度線性系統(tǒng),其中均質(zhì)剛性桿AB的質(zhì)量為m=6,長(zhǎng)度為ηL,其中η≥1是無量綱系數(shù);兩個(gè)彈簧的距離為L(zhǎng),剛度為k1=k2=1,質(zhì)量可忽略不計(jì).現(xiàn)取圖1桿端部向上位移xA和xB為廣義坐標(biāo).在這組廣義坐標(biāo)描述下,系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別為:

(5)

由此可得到系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣:

(6)

3.1 固有振動(dòng)

對(duì)于不同的η2取值,求解廣義特征值問題:

(K-ω2M)φ=0

(7)

得到如下三種固有振動(dòng):

3.2 反共振頻率

系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣為:

H(ω) =(K-ω2M)-1

(8)

根據(jù)式(8),可得到原點(diǎn)和跨點(diǎn)頻響函數(shù)的反共振頻率分別滿足:

(9)

參考3.1節(jié)對(duì)固有振動(dòng)的討論,可繪制圖2所示的系統(tǒng)固有振動(dòng)頻率平方和反共振頻率平方關(guān)系.

(10)

易見,此時(shí)沒有反共振現(xiàn)象.

圖2 對(duì)稱振動(dòng)固有頻率平方反對(duì)稱振動(dòng)固有頻率平方原點(diǎn)反共振頻率平方和跨點(diǎn)反共振頻率平方隨η2的變化.Fig.2 Variations of the natural frequency of symmetric vibration, the natural frequency of anti-symmetric vibration,the anti-resonant frequencies and with an increase of η2

3.3 剛性桿上任意點(diǎn)的反共振

在剛性桿左端點(diǎn)施加沿xA正向的正弦激勵(lì)fA(t)=FAsinωt,根據(jù)式(4)得到剛性桿兩端的頻率響應(yīng)向量:

(11)

為考察剛性桿上任意點(diǎn)s處的頻率響應(yīng),引入無量綱參數(shù)ξ=s/ηL∈[0,1],則點(diǎn)s處的頻率響應(yīng)為:

Xs(ω) =[(1-ξ)XA(ω)+ξXB(ω)]

(12)

在點(diǎn)s處產(chǎn)生位移反共振的條件是,存在頻率ωsA≥0使得:

(1-ξ)(η2+1-4η2ω2)+ξ(2η2ω2+1-η2)=0

(13)

若指定無量綱位置坐標(biāo)ξ,則反共振頻率ωsA滿足:

(14)

當(dāng)η2<3時(shí),圖3(a)給出反共振頻率ωsA與無量綱位置坐標(biāo)ξ的關(guān)系;當(dāng)η2>3時(shí),該關(guān)系如圖3(b)所示.

圖3 剛性桿上任意位置ξ處的反共振頻率ωsAFig.3 Anti-resonance frequency ωsA of the rigid beam at the location coordinate ξ

對(duì)于指定的無量綱位置坐標(biāo)ξ,由式(14)得到該點(diǎn)產(chǎn)生反共振的頻率

(15)

以下分別討論原點(diǎn)反共振和跨點(diǎn)反共振問題.

b. 當(dāng)ξ>0時(shí),Xs(ω)成為跨點(diǎn)響應(yīng),其反共振頻率由式(15)給出.特別當(dāng)ξ=1/2時(shí),反共振頻率為ωsA=ω2=1,而ξ=1/2正是系統(tǒng)第2階固有振型的節(jié)點(diǎn).此時(shí),剛性桿在左端簡(jiǎn)諧激勵(lì)fA(t)=FAsint作用下發(fā)生第2階共振,呈現(xiàn)繞剛性桿質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng).事實(shí)上,若跨點(diǎn)反共振頻率與系統(tǒng)某階固有頻率重合,則反共振位置必然是該階固有振型的節(jié)點(diǎn).

4 結(jié)語

本文分析簡(jiǎn)諧激勵(lì)下兩自由系統(tǒng)的反共振問題,主要結(jié)論是:當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)原點(diǎn)反共振時(shí),外激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)不做功,系統(tǒng)跨點(diǎn)響應(yīng)是能量守恒的簡(jiǎn)諧振動(dòng),但其幅值要靠外激勵(lì)來維持;當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)跨點(diǎn)反共振時(shí),外激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)做功,但系統(tǒng)兩個(gè)自由度之間的阻抗無限大,導(dǎo)致能量無法傳輸.對(duì)于原點(diǎn)反共振的力學(xué)機(jī)理解釋,現(xiàn)有文獻(xiàn)中的“動(dòng)力吸振”、“能量轉(zhuǎn)移”等觀點(diǎn)均存在問題,建議采用基于動(dòng)力平衡分析得到的“動(dòng)力減振”觀點(diǎn).

文中通過由兩個(gè)相同彈簧支撐的剛性桿的簡(jiǎn)諧受迫振動(dòng)來說明上述概念,展示了豐富的跨點(diǎn)反共振現(xiàn)象.例如,在桿左端施加簡(jiǎn)諧激勵(lì)、右端測(cè)量穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí),跨點(diǎn)反共振頻率可出現(xiàn)在低于第1階固有頻率的任意頻率處,也可出現(xiàn)在高于第2階固有頻率的一個(gè)頻段內(nèi).又如,在桿左端施加簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí),跨點(diǎn)反共振可出現(xiàn)在從桿左端到桿長(zhǎng)2/3間的任意位置上.再如,當(dāng)跨點(diǎn)反共振頻率與系統(tǒng)某階固有頻率相重合時(shí),反共振位置就是該階固有振型的節(jié)點(diǎn).

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