白文平，劉宗昂，，魯加國(guó)

（1.91550部隊(duì)，遼寧大連116023；2.中國(guó)電子科技集團(tuán)第38研究所，合肥230088）

在圖像去噪領(lǐng)域，由于含噪圖像的來(lái)源不同，所含噪聲的種類(lèi)和數(shù)量不確定，所以難以尋求一個(gè)通用的方法解決各種圖像去噪的問(wèn)題。目前，圖像去噪在不同的應(yīng)用領(lǐng)域有著多種不同的方法。

早期的多數(shù)去噪方法屬低通濾波器的類(lèi)型，將具有高頻特性的圖像噪聲在空間域或變換域?yàn)V除[1-2]。近期有研究熱點(diǎn)集中在非線性變換域去噪[3-5]，然而，無(wú)論是傅里葉變換在頻率域的平滑，還是小波變換在頻率域和空間域上的雙管齊下，雖能達(dá)到去噪的目的，但同時(shí)也造成了目標(biāo)邊緣模糊，且沒(méi)有自適應(yīng)性。

在非線性變換領(lǐng)域的研究中，利用高階統(tǒng)計(jì)方法的獨(dú)立成分分析技術(shù)（ICA）[6-7]，因其具備數(shù)據(jù)適應(yīng)性特點(diǎn)，在去噪應(yīng)用中效果顯著而得到快速的發(fā)展[8-9]。它不需要提前獲得噪聲的類(lèi)型和圖像的信息，就能得到比較準(zhǔn)確的結(jié)果，這樣的優(yōu)勢(shì)自然使ICA技術(shù)成為了一個(gè)熱點(diǎn)的研究方向。

目前流行的用ICA技術(shù)來(lái)消除復(fù)雜噪聲的方法主要有：適應(yīng)性主成分分析（PCA）方法[10-11]、稀疏編碼收縮方法[12-13]、ICA混合模型[14]、獨(dú)立子空間分析[15-16]、多分辨率傅立葉變換獨(dú)立成分分析等。本文提出一種改進(jìn)的小波ICA去噪算法，以提高去噪效果。

1 ICA模型

借助PCA對(duì)ICA進(jìn)行說(shuō)明。假設(shè)特征向量x由2種成分x1與x2組成：

使用PCA方法對(duì)特征成分進(jìn)行分離的方法是：通過(guò)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸，尋找新的坐標(biāo)軸方向，使觀測(cè)數(shù)據(jù)在新的坐標(biāo)軸上的投影分量具有最大標(biāo)準(zhǔn)差。此坐標(biāo)軸方向即主方向，觀測(cè)數(shù)據(jù)在該方向上的投影即主成分。顯然，主方向上攜帶了最多的原始數(shù)據(jù)信息，主方向上的投影稱為主成分，可以用來(lái)逼近原始數(shù)據(jù)成分。坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)、平移后可表示為：

式（2）中：Cx為x的協(xié)方差矩陣；Cy為y的協(xié)方差矩陣

利用矩陣A可使其成為對(duì)角線矩陣，對(duì)角元素則為每個(gè)主成分Ym的方差，所有的主成分是互不相關(guān)的。上述就是利用PCA方法進(jìn)行主要成分分離的本質(zhì)。ICA被研究者們認(rèn)為是PCA的一個(gè)泛化，它不僅僅利用二階卷積，而是利用了更高階的卷積來(lái)對(duì)相互獨(dú)立的成分進(jìn)行分離?；ゲ幌嚓P(guān)的條件比相互獨(dú)立的條件弱，但對(duì)于高斯分布的隨機(jī)變量而言，互不相關(guān)等同于相互獨(dú)立。

因?yàn)槎鄠€(gè)隨機(jī)變量的總體分布，比其中一個(gè)隨機(jī)變量的分布更接近高斯分布[17]，所以可以先利用“負(fù)熵”來(lái)計(jì)算變量的非高斯性，用來(lái)表示獨(dú)立成分的分離程度，再用ICA方法尋找缺少先驗(yàn)信息的混合矩陣的逆。負(fù)熵表示為：

式（2）中：H(·)表示香農(nóng)熵函數(shù)；xgauss為具有相同協(xié)方差矩陣的高斯隨機(jī)變量x的集合。

通過(guò)概率密度估計(jì)熵的近似值：

式（4）中：E為理想期望值；x和v為具有0均值、單位方差的隨機(jī)變量；v同時(shí)為高斯隨機(jī)變量。

使用式（4）前，須對(duì)給定的隨機(jī)變量x進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，比較流行的FastICA算法通常利用2個(gè)比較優(yōu)秀的非二次函數(shù)G1進(jìn)行較好地近似，以實(shí)現(xiàn)熵最小化。

2 小波變換和ICA相結(jié)合的圖像去噪算法

2.1 小波降維

垂直投影[18]技術(shù)雖然能夠?qū)D像維度降為一維信號(hào)，從而提高圖像去噪的效率，但是對(duì)于某些圖像而言，一維信號(hào)仍然顯得過(guò)大。

為了解決這樣的問(wèn)題，將一維信號(hào)作為特征向量，利用Morlet小波變換進(jìn)行降維。小波變換為圖像處理工程師提供了一種非常靈活的工具，它不僅取代了傅里葉變換，而且發(fā)展為體系完備的一套數(shù)學(xué)工具。本文為了降低計(jì)算復(fù)雜度采用一維小波變換來(lái)降低特征向量的維度。

小波濾波器通過(guò)卷積將信號(hào)分解為高頻與低頻成分：

2.2 小波ICA濾波器

獨(dú)立成分分析模型的輸入只能是矩陣，于是在小波ICA濾波器中，利用小波降維設(shè)計(jì)輸入矩陣。

圖像中噪聲成分的比例可能隨環(huán)境的變化而改變，就像獨(dú)立成分變量的混合比隨帶通濾波器窗口位置的不同而變化。圖1中，s1、s2與s3為觀測(cè)數(shù)據(jù)所包含的三個(gè)獨(dú)立分量。窗口T1與T2表示與兩個(gè)不同的帶通濾波器觀測(cè)窗口，顯然，從T1與T2帶通濾波器觀測(cè)窗口中看，s1、s2與s3的混合比例是不同的。

令s1與s2為信號(hào)x的2個(gè)獨(dú)立分量，x經(jīng)線性變換a、b后得到xa、xb，s1a與s1b分別表示來(lái)自不同觀測(cè)xa與xb中s1的分布，s2a與s2b分別表示來(lái)自不同觀測(cè)xa與xb中s2的分布。在獨(dú)立成分分析過(guò)程中，最終將利用s1a與s1b或s2a與s2b的相關(guān)性以及s1a與s2a或s1b或s2b的獨(dú)立性，從觀測(cè)數(shù)據(jù)中將s1與s2分離出來(lái)。需要注意的是，我們對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)中的各成分分量并不存在先驗(yàn)知識(shí)，只是將信號(hào)中的分量處理成包含盡量多的分量的數(shù)據(jù)。ICS濾波器就是將小波變換代替上述線性變換，成為一種帶通濾波器，但是因?yàn)榛旌蠄D像成分中的獨(dú)立成分變量以及圖像數(shù)據(jù)的缺失，ICS方法的效果不及ICA方法。

為了從理論上說(shuō)明小波ICA濾波器檢測(cè)獨(dú)立成分的可行性，需有兩點(diǎn)作為理論支撐：

首先，必須證明s1a與s1b是相關(guān)的，s1a與s1b間的相關(guān)函數(shù)為：

其次，要證明s1a與s2a是獨(dú)立的。令

因?yàn)橛蠩[s1(t1)s2(t2)]=0，則：

因?yàn)閟1(t)與s2(t)相互獨(dú)立，s1a與s2a在任何高階序數(shù)下都不相關(guān)，s1a與s2a相互獨(dú)立。同理可得s1b與s2b也相互獨(dú)立。

小波變換的定義為：

式（17）中：a為擴(kuò)張參數(shù)；x(k)為數(shù)據(jù)信息；*表示聯(lián)合操作。

本文使用基于小波和獨(dú)立成分分析的方法消除圖像噪聲，針對(duì)的不僅僅是白噪聲，而是未知的加性或者乘性甚至是混合噪聲，被未知的混合噪聲污染的圖像很難進(jìn)行去噪，在ICA的框架下需改變圖像的數(shù)理統(tǒng)計(jì)，修改混合標(biāo)準(zhǔn)ICA模型，調(diào)整反饋補(bǔ)償，使用二階以及更高階統(tǒng)計(jì)，采用附加ICA模型（MICA）去噪。含有混合噪聲的獨(dú)立源混合模型為：

式（18）、（19）中：Y=[Y1,Y2,…,Yn]T為向量表示的含有噪聲的圖像信息；x為干凈的無(wú)噪圖像信息；為圖像中的混合噪聲向量；i代表相應(yīng)像素位置；為圖像的n個(gè)獨(dú)立向量；A為混合矩陣，混合矩陣的逆稱為分離矩陣。

去噪的過(guò)程分為3個(gè)步驟：

1）白化，然后獨(dú)立成分分析發(fā)現(xiàn)一個(gè)非線性數(shù)據(jù)變換矩陣B，使其輸出盡可能獨(dú)立。

式（20）中：U為分離矩陣（歸一化矩陣）也就是混合矩陣A的逆；W為白化矩陣。

獨(dú)立成分分析可以通過(guò)高階圖像統(tǒng)計(jì)來(lái)尋求問(wèn)題的解。本文使用三階卷積圖像統(tǒng)計(jì)的方法，經(jīng)最小化求解。

2）根據(jù)觀測(cè)窗口的相關(guān)性對(duì)圖像數(shù)據(jù)與噪聲數(shù)據(jù)進(jìn)行分離

3）求解混合矩陣的逆對(duì)圖像進(jìn)行還原。

3 實(shí)驗(yàn)及分析

使用本文提出的小波與ICA相結(jié)合的去噪算法、PCA算法和FastICA算法處理相同的噪聲圖像，比較去噪后圖像的峰值信噪比（PSNR）和平均絕對(duì)誤差（MAE）2個(gè)指標(biāo)，對(duì)圖像恢復(fù)能力與細(xì)節(jié)保持能力進(jìn)行評(píng)價(jià)。測(cè)試圖像大小為512×512，過(guò)濾窗口大小均為3×3。

通過(guò)使用被脈沖噪聲污染的圖像作為實(shí)驗(yàn)圖像進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，驗(yàn)證了文本提出的小波ICA濾波器的效率最高。圖2顯示了對(duì)20%脈沖噪聲污染的Lena圖像的去噪結(jié)果，圖2 c）～e）中MAE分別為2.79dB、2.36dB、1.93dB。本文方法恢復(fù)的圖像效果較好，包含較低的噪聲，保留了更多的細(xì)節(jié)，并給出了最小的MAE值。

圖2 對(duì)脈沖噪聲污染的Lena圖像去噪的效果比較Fig.2 Comparison of the effects of de-noising Lena image polluted with impulse noise

表1顯示了3種方法對(duì)包含10%脈沖噪聲的圖像去噪時(shí)PSNR的結(jié)果比較?？梢钥闯?，本文方法的效果遠(yuǎn)好于其他方法，可以得到較高的PSNR值。

為了證實(shí)本文算法的魯棒性，圖3與圖4顯示了對(duì)于包含10%～60%脈沖噪聲的圖像處理后的，相應(yīng)的PSNR的比較和MAE的比較。圖3與圖4清楚地顯示了本文方法優(yōu)于其他濾波器。

表1 處理10%脈沖噪聲圖像的PSNR比較Tab.1 PSNR comparison about denoising 10%impulse noise image

圖3 包含不同比例脈沖噪聲圖像去噪的PSNRFig.3 Comparison of PSNR contains varying proportions of impulse noise denoising

圖4 包含不同比例脈沖噪聲圖像去噪的MAEFig.4 Comparison of MAE contains different proportions of impulse noise denoising

本文比較了本方法與其他方法對(duì)混合噪聲（高斯噪聲σ=20脈沖噪聲20%）的消除效果，圖5顯示了對(duì)于包含混合噪聲（高斯噪聲σ=20脈沖噪聲20%）Lady圖像的去噪效果，如圖5所示，圖5 c）～e）中MAE分別為16.39dB、15.72dB、14.61dB。本文方法可以得到最好的可視效果，噪聲斑點(diǎn)最少，MAE值也最低。

表2顯示本文方法對(duì)比其他方法給出了最高的PSNR。

圖5 對(duì)包含混合噪聲Lady圖像的去噪效果比較Fig.5 Comparison of the effects of de-noising Lady image polluted with mixed noise

表2 去除混合噪聲的PSNR對(duì)比Tab.2 Comparison of three methods for denoising mixed noise

因?yàn)楸疚奶岢龅乃惴ㄒM(jìn)行小波變換、獨(dú)立成分分析、計(jì)算相關(guān)性、圖像重構(gòu)，在算法復(fù)雜度上高于PCA和FastICA方法，經(jīng)比較在不同的去噪應(yīng)用中，計(jì)算量增加了4.5%～9.7%。

4 總結(jié)

獨(dú)立成分分析是適合多源數(shù)據(jù)分析的高階統(tǒng)計(jì)方法，具有數(shù)據(jù)適應(yīng)性的特點(diǎn)非常適合圖像去噪，在對(duì)噪聲類(lèi)型、量級(jí)未知的情況下，能夠得到較好的去噪效果。本文先用小波變換對(duì)圖像進(jìn)行分解，降低特征向量的維度，再用獨(dú)立成分分析，通過(guò)負(fù)熵值來(lái)評(píng)價(jià)隨機(jī)變量的非高斯性，根據(jù)觀測(cè)窗口的相關(guān)性對(duì)圖像與噪聲進(jìn)行分離，最后求解混合矩陣的逆對(duì)圖像進(jìn)行還原。對(duì)比實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文提出的方法在PSNR和MAE指標(biāo)上效果優(yōu)于PAC和FastICA濾波器，且本文方法得益于ICA的數(shù)據(jù)適應(yīng)性特點(diǎn)，不僅對(duì)脈沖噪聲有效，對(duì)脈沖和高斯混合噪聲也同樣有效。