廣東省廣州市荔灣區(qū)教育發(fā)展研究院(510370) 龐新軍

廣東省華南師范大學數(shù)學科學學院(510631) 林曉珊

立體幾何是高中數(shù)學教學的重要模塊,立體幾何解答題是高考的必考大題,也是考生搶分的“必爭之題”.盡管該解答題難度中等,卻考查空間想象、推理論證、運算求解等多種能力,是高考選拔的重要分水嶺.數(shù)學成績好的考生志在拿滿分,成績中等的考生希望能拿到大部分的分,成績較弱的考生也希望能多得幾分.筆者有幸參加2018年高考評卷工作,文科立體幾何解答題平均分不足4分,理科也僅有5分,可見“必爭之題”還有很大的提升空間.本文擬通過解析試題特點,分析考生答題情況,剖析錯誤歸因,提出相應(yīng)備考建議,為教學一線的師生們提供參考.

一、試題再現(xiàn)

(一)試題解答與點評

題目1(2018年高考全國 I卷文科第 18題)如圖1,在平行四邊形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°,以AC為折痕將△ACM折起,使點M到達點D的位置,且AB⊥DA.

圖1

(1)證明:平面ACD⊥平面ABC;

(2)Q為線段AD上一點,P為線段BC上一點,且求三棱錐Q-ABP的體積.

(1)的解法一(通過證AB⊥平面ACD來證面面垂直)由已知 ∠ACM=90°,可得BA⊥AC.又AB⊥DA,AC、AD?平面ACD,且AC∩AD=A,所以AB⊥平面ACD.又AB?平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.

(1)的解法二(通過證DC⊥平面ABC來證面面垂直)由已知∠ACM=90°,可得△ACM為直角三角形.翻折后DC⊥AC,△ACD為直角三角形,故

連接DB,如圖2,已知AB⊥DA,可得又由DC2+BC2=DB2,所以△BCD為直角三角形,即DC⊥BC.因為AC、BC?平面ABC,且AC∩BC=C,所以DC⊥平面ABC.又因為DC?平面ACD,所以平面ACD⊥平面ABC.

圖2

(1)的解法三(通過兜圈證DC⊥平面ABC來證線面垂直)由已知∠ACM=90°,可得BA⊥AC.又BA⊥AD,AC、AD?平面ACD,且AC∩AD=A,所以AB⊥平面ACD.于是AB⊥CD.又因為CD⊥AC,AC∩AB=A,所以DC⊥平面ABC.因為DC?平面ACD,所以平面ACD⊥平面ABC.

點評以上3種解法均通過線面垂直來證明面面垂直,導致不同解法的關(guān)鍵是選取哪條線來垂直于哪個底面作為解答的突破口.解法一是選取AB⊥平面ACD,解法二、三是選取DC⊥平面ABC.其中,解法二是用勾股定理及其逆定理來證明,相比之下解法三就顯得啰嗦和固執(zhí),明明到了門口卻非要兜個圈再入.由此可看出,掌握好線面垂直和面面垂直判定定理是解決問題的基礎(chǔ),準確地選擇合適的線與面是解決問題的關(guān)鍵.

(2)的解法一(直接作圖法)如圖3,過點Q作QE⊥AC,垂足為E.因為由已知及(1)可得DC⊥平面ABC,所以QE⊥平面ABC,QE=1.由已知DC=CM=AB=3,又所以因此,三棱錐Q-ABP的體積為

圖3

(2)的解法二(利用體積之比轉(zhuǎn)移法)因為平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面ABC=AC,CD⊥AC,所以DC⊥平面ABC.于是,三棱錐Q-ABP的體積為:VCD=1.

(2)的解法三(利用體積之比半轉(zhuǎn)移法)由圖可知,三棱錐Q-ABP與三棱錐Q-ABC同高,又因為所以而三棱錐Q-ABC看成是以AB為高,△ACQ為底面的三棱錐.而所以S△ACQ=1.

點評解法一是最為常見的解法,要求學生在解答的過程中必須牢牢抓住“一作圖,二證明,三求解”要訣來進行.解法二是利用了體積之比,將問題中的求不規(guī)則圖形體積轉(zhuǎn)換為求規(guī)則圖形體積,即將一個高不好找,且底面積不好求的三棱錐Q-ABP轉(zhuǎn)化為一個高、底面積都容易計算的三棱錐D-ABC.解法三則是介于解法一與二之間,以解法二為基礎(chǔ)的另外解法,其中將原來的三棱錐Q-ABP轉(zhuǎn)化為另一個三棱錐Q-ABC,將其高與底面進行轉(zhuǎn)化從而解決題目.由此可見,該題解法多種,轉(zhuǎn)化多樣,不僅注重通性通法,還突出數(shù)學思想和能力,不同層次的考生選擇不同的方法去處理,有“一石兩鳥”之妙.敢于轉(zhuǎn)化,善于轉(zhuǎn)化,可使試題越變越簡單,這其中的轉(zhuǎn)化過程蘊藏著“多點想,少點算”變化規(guī)律,體現(xiàn)著從知識立意到能力立意,再到素養(yǎng)立意的跨越,這也許就是命題人所期望的數(shù)學素養(yǎng)的落地.

題目2(2018年高考全國I卷理科第18題)如圖4,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AD,BC的中點,以DF為折痕把△DFC折起,使點C到達點P的位置,且PF⊥BF.證明:

(1)平面PEF⊥平面ABFD;

(2)求DP與平面ABFD所成角的余弦值.

圖4

圖5

(1)的解答由已知可得:BF⊥PF,BF⊥EF.PF、EF?平面PEF,且PF∩EF=F,所以BF⊥平面PEF,又BF?平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.

(2)的解法一(空間向量法)如圖5,作PH⊥EF,垂足為H.由(1)得PH⊥平面ABFD.以H為坐標原點,的方向為y軸正方向.為單位長度1,建立如圖所示的空間直角坐標系H-xyz.由(1)得,DE⊥PE,又DP=2,DE=1,所以又PF=1,EF=2,故PE⊥PF.可得,則H(0,0,0),,所以為平面ABFD的法向量.設(shè)DP與平面ABFD所成的角為θ,則

(2)的解法二(傳統(tǒng)作圖法)如圖6,過點P作PH⊥EF于H.因為平面PEF⊥平面ABFD,平面PEF∩平面ABFD=EF;PH?平面PEF,所以PH⊥平面ABFD.連接DH,則∠PDH為DP與平面ABFD所成的角.因為EF⊥AD,所以PE⊥AD.在Rt△PDE中,在△PEF中,PE2+PF2=3DE2+DE2=(2DE)2=EF2,所以△PEF為直角三角形.

圖6

點評本題是一道平面幾何的翻折問題,難度中等.對第(2)問而言,第一種常見解法是空間向量法,此外還有另外兩種角度解決該問.第一個角度是建立如圖5的H-xyz空間直角坐標系,通過設(shè)EH=a,PH=b,借助求出PH,EH,FH從而解決問題.第二個角度是通過D作PH的平行線以其為z軸,分別為x,y軸正方向,建立D-xyz空間直角坐標系,其余步驟同解法一類似來解決問題.

第二種常見解法是傳統(tǒng)作圖法,需要學生明確“一作圖,二證明,三求解”來解決問題.還有另外兩個角度來求PH長度.其中一個角度是設(shè)EH=a,PH=b,再通過△DEH,△PDH,△PHF是直角三角形,利用勾股定理求出PH,EH從而解決問題.另一個角度則是用等體積法求PH.通過證明PH⊥平面PDE可將三棱錐看成是F-PDE,又因為PH⊥平面FDE,所以三棱錐可以看成是P-FDE,通過等面積即可求出PH.由此可見,本題的難點在于點P位置的確定,用空間向量法就要準確寫出點P的坐標,用傳統(tǒng)作圖法就要準確求出PH的長度.無論第(2)問從何種角度出發(fā),都需要利用好第(1)問的結(jié)論,數(shù)形結(jié)合挖掘出相關(guān)的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

(二)典型錯誤

筆者將題目1的主要錯誤匯總?cè)缦?以題目1為例,題目2主要錯誤與題目1類似).

表一:題目1第(1)問主要錯誤分析匯總表

表二:題目1第(2)問主要錯誤分析匯總表

主要錯誤心理分析從表一、二來看,學生所出現(xiàn)的主要錯誤有:

1.概念、定理理解不透徹,忽視數(shù)學理解

從表一來看,學生所出現(xiàn)的錯誤歸其原因都是未能理解線面垂直定理.從數(shù)學教育心理學的角度來說,學生所未能夠理解的定理與性質(zhì),是指學生未能在大腦中形成與該定理、性質(zhì)相關(guān)的數(shù)學表象.在題目1第(1)問中,要證明面面垂直,則需要從面面垂直表象中喚起線面垂直這個表象,逐步聯(lián)想直至最終解決問題.從表一中可知,大部分學生在聯(lián)想這一形式中沒有做好.

2.數(shù)學思維的缺乏

數(shù)學思維包括形象思維和邏輯思維.對事物的數(shù)學概念加以加工則為形象思維,即知識的聯(lián)想與遷移.邏輯思維的表現(xiàn)形式主要有分析、綜合、抽象、概括、比較等.

(1)數(shù)學形象思維—聯(lián)想解決問題的能力不強

題目1第(2)問是綜合推理計算,學生的錯誤主要在于無法從現(xiàn)有的新圖形(即考題圖形)中在頭腦中加工改造成熟悉的表象(即平時訓練的題目)來解決問題,即在新圖形中對應(yīng)的尋找到需要的線段、平面(即形成表象),遷移至所學知識來解決問題.簡而言之,即學生在證明的過程中沒有掌握解決問題的一定的通法通則,因而在解決問題的過程中無法對知識進行很好的聯(lián)想與遷移.

(2)數(shù)學邏輯思維—空間想象能力不足、邏輯思維能力不強

如表二中的第一種錯誤:直接進行線面垂直,無法用題目中現(xiàn)有、易求線段代替,錯誤出現(xiàn)的關(guān)鍵在于學生的空間想象能力的不足,無法將空間中的線段相互聯(lián)系起來,尋找出所需線段.

同時在題目1第(1)問的第三種解法可知,學生無法從題圖形抽象出自己所需線段與平面,即抽象概括能力的缺乏.在證明的過程容易受到其他條件的干擾,無法從整體角度分析題目的條件,逐步推導證明,即綜合分析概括能力不足,因而導致了第(1)問的證明思維混亂.

二、試題特點分析

(一)難度、題型和考點都保持穩(wěn)定

為了將2018年題目與往年的試題進行對比,筆者將近3年新課標文理科I、II、III卷立體幾何解答題所考查的問題做了整理:

表三:近三年新課標文理科I、II、III卷“立體幾何”解答題考點統(tǒng)計表

由表三可以發(fā)現(xiàn),歷年來立體幾何解答題的考查內(nèi)容均較為穩(wěn)定,均考查立體幾何的基本知識和基本思想方法(以“證明簡單的幾何命題,線、面夾角問題,面積、體積問題”為主).其中第(1)問較多考查簡單定理的推理證明,其中以考查垂直關(guān)系為主,平行關(guān)系為輔;第(2)問較多考查綜合推理計算,文科以考查面積、體積問題為主,理科以考查線面、面面所成角為主.由表三可知,題目1、題目2也均遵循此命題風格.

題型穩(wěn)定決定了解法穩(wěn)定,基于文理科的考查要求,文科第(2)問只要求依據(jù)傳統(tǒng)作圖法解決,理科第(2)問可用空間向量法與傳統(tǒng)作圖法解決,前幾年主要以空間向量法為重,近年來逐漸有二者平衡并重的趨勢.

(二)試題圖形多以錐體為載體

立體幾何解答題屬于中檔基礎(chǔ)題,試題圖形的變換則更能夠全面考查學生的空間想象能力.筆者將近3年新課標文理科I、II、III卷立體幾何解答題試題圖形進行統(tǒng)計,如下表四:

表四:近三年新課標I、II、III卷文理科“立體幾何”解答題考查圖形統(tǒng)計表

由表四可知,課標卷試題圖形多以錐體為主,內(nèi)容多以“一維直線與二維平面的關(guān)系”為主,并將其放入三維的立體空間中來考查.因錐體比柱體更具有一般性,不僅可以考查學生對于多面體性質(zhì)的理解,而且將能計算與證明有機結(jié)合,需要學生需具有良好的空間想象、邏輯推理能力等綜合能力才可以游刃有余的解決題目.

但一般性的圖形中又涵蓋一些特殊性(例如存在棱、面垂直的關(guān)系,平面幾何的性質(zhì)等),這在一定程度上簡化了試題的難度,引導學生找出解答的突破點.從上述分析中可以看出,題目1、題目2圖形同樣遵循此命題風格.

(三)解法多種,趨向多想少算

高考數(shù)學試題注重考查學生對基本的數(shù)學概念和思想的掌握與運用,鼓勵考生多想少算,這貼近新高考改革的方向.通過近3年的新課標I、II、III卷命題趨勢可知,立體幾何解答題存在“解法多種,計算量下降”的趨勢,更為偏重空間邏輯推理.試題在命制過程中傾向更適合傳統(tǒng)作圖法來解決,而用空間向量法反而更容易增加錯誤率(從題目2第(2)問兩個解法中即可看出).

高考數(shù)學命題將“多考點想,少考點算”作為一條基本的命題理念,如果考生在解決題目的過程中,借助空間想象與邏輯推理,互相輔助探索證明圖形,從代數(shù)與幾何兩個角度明確圖形中各角、線、面關(guān)系,不僅可以減少繁瑣的運算,更可以更直接快捷地解決題目,在考場上節(jié)省下寶貴的時間.同時,《課程標準》、《考試大綱》明確指出培養(yǎng)學生的空間想象、邏輯推理能力是立體幾何的主要目的.

三、復習備考建議

(一)重視基礎(chǔ)概念、定理教學是基本任務(wù)

立體幾何作為高考解答題的基礎(chǔ)題,備考重點應(yīng)該放在“基礎(chǔ)概念、原理、方法”的理解上.由表一、二的歸納不難看出考生的主要失分原因是對基礎(chǔ)概念、定理理解不透徹(比如題目1第(1)問的出錯原因多是對線面、面面垂直定理的不理解),這樣的出錯顯得尤為可惜.

從解答過程來看,立體幾何解答題主要是證明線面關(guān)系為主,考查綜合推理計算,但其實質(zhì)是建立在線面垂直、平行關(guān)系基礎(chǔ)上的推理計算問題,所以在強調(diào)基礎(chǔ)教學的過程中,尤要重視線線、線面、面面關(guān)系的教學.在基礎(chǔ)教學的過程中,應(yīng)多讓學生掌握解題方法的通性通法,例如證面面垂直要轉(zhuǎn)化為線面垂直來證,二面角的求法有直接作圖與空間向量法等,正所謂“磨刀不誤砍柴工”,只有基礎(chǔ)扎實了,后續(xù)的綜合類題目才能更好“攻下”.

(二)重視平面幾何的教學是關(guān)鍵任務(wù)

立體幾何解答題是一道“將一、二維線面放入三維空間考查”的試題,點、線、面、體息息相關(guān),不可分割,解決方法通常都是“將立體問題平面化,將三維問題二維化”,這種化歸思想落腳點要求學生需要熟練掌握一定的平面幾何知識.自2016年新課標卷刪除“幾何證明選講”這一模塊知識的考查后,許多學校、教師在教學上大大弱化了平面的幾何知識的教學.并且由表四可發(fā)現(xiàn),部分試題圖形(例如題目1、題目2)是由平面幾何翻折演變而成的.

自考試內(nèi)容中刪去“幾何證明選講”模塊后,立體幾何的解題難度、廣度發(fā)生很大的變化,其中的根本原因是因為平面幾何的知識滲透于參與其中.考試內(nèi)容刪去“幾何證明選講”的模塊并不意味著要削弱對推理論證能力的考查,考生所畏懼的平幾知識知識作了一個華麗的轉(zhuǎn)身,依然笑藏在高考的試卷里.因此,進行立體幾何的教學過程中,教師應(yīng)該有意識的加強學生平面幾何的學習,由線至面至體,才能讓學生在頭腦中真正形成幾何框架,真正提高學生的幾何能力,從而提高學生的解題能力.

(三)加強空間想象、邏輯推理能力的培養(yǎng)是首要任務(wù)

從題目1、題目2多種解法可以發(fā)現(xiàn),用直接作圖法解決均比用空間向量法解決更為簡便.以往許多學生習慣一上手就用空間向量法“粗暴”解決題目,且不說空間向量法在一定程度上需要學生更好的計算能力,就是這種“統(tǒng)一的”解題思想也容易禁錮學生的空間想象能力.從近年高考題中來看,第(2)問出現(xiàn)了傳統(tǒng)作圖法比空間向量法更為簡便的趨勢,這將標志著立體幾何會從以前的“復雜計算量”題型逐步轉(zhuǎn)向“易計算、強邏輯”題型,因此,加強培養(yǎng)學生的空間想象、邏輯推理能力刻不容緩.

在培養(yǎng)學生的空間想象與邏輯推理能力上要多從不同的視角看待問題,學會多想象、多推理,從多角度剖析圖形.理科生應(yīng)該注重傳統(tǒng)作圖法與空間向量法兩手抓,并讓兩種方法互相幫助理解,文科生則要穩(wěn)抓傳統(tǒng)作圖法的同時適當輔助其他方法來幫助理解,讓學生從典型例題訓練中來不斷內(nèi)化、升華數(shù)學能力.

(四)重視數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是終極任務(wù)

數(shù)學教育的目標是提升學生的數(shù)學素養(yǎng),引導學生會用數(shù)學的眼光觀察世界,會用數(shù)學思維去思考世界,會用數(shù)學語言表達世界.高考作為最重要的選拔性考試,承擔著用考題引導培養(yǎng)素養(yǎng)方向走向的重擔.高考數(shù)學命題既關(guān)注對數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能的考查,更關(guān)注學生終身發(fā)展所需要的數(shù)學核心素養(yǎng).而立體幾何解答題主要培養(yǎng)學生通過觀察圖形進行數(shù)學直觀想象,運用邏輯推理證明出命題和通過數(shù)學運算來推導出空間關(guān)系三個方面的素養(yǎng).

在日常教學活動中,教師要準確把握課程目標、課程內(nèi)容、學業(yè)質(zhì)量的要求,合理地設(shè)計教學目標,再通過相應(yīng)的教學實施,在學生掌握知識技能的同時,促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)的提升和達成.教師要結(jié)合相應(yīng)的教學內(nèi)容,落實“四基”,培養(yǎng)“四能”,促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展,達到相應(yīng)水平的要求,部分學生可以達到更高水平的要求.