廣東省東莞市東莞中學(xué)(523005) 龐進(jìn)發(fā)

2018年高考結(jié)束,全國(guó)高考I卷理科數(shù)學(xué)第20題統(tǒng)計(jì)概率解答題(以下簡(jiǎn)稱“試題”)就成為廣東省,乃至全國(guó)議論的數(shù)學(xué)熱點(diǎn)問(wèn)題,對(duì)問(wèn)題背景、設(shè)問(wèn)形式以及解答等方面有不同的議論.然而2016年廣東省進(jìn)入全國(guó)卷以后,統(tǒng)計(jì)概率解答題的得分都不盡人意.并且2016年和2017年全國(guó)高考I卷理科數(shù)學(xué)卷把統(tǒng)計(jì)概率解答題排在第19題位置,今年甚至排在第20題位置,相當(dāng)于次壓軸題.據(jù)了解,廣大數(shù)學(xué)教師對(duì)于統(tǒng)計(jì)概率解答題復(fù)習(xí)備考也在不斷地探討,但收效甚微.究其原因,初中、高中關(guān)于統(tǒng)計(jì)概率的教學(xué)更多的停留在表面的套用公式計(jì)算上,缺乏對(duì)統(tǒng)計(jì)概率背景的了解,過(guò)程的經(jīng)歷、體驗(yàn)和感受少,知識(shí)本質(zhì)的挖掘不透徹,對(duì)統(tǒng)計(jì)思維、隨機(jī)思想的培養(yǎng)不夠;高三復(fù)習(xí)備考時(shí),受2016年以前統(tǒng)計(jì)概率試題的思維影響,重套公式計(jì)算,缺乏對(duì)題目背景的分析、概率模型的構(gòu)建和統(tǒng)計(jì)意義的理解,并且沒(méi)有找到較多合適的訓(xùn)練素材.本文以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),從教育價(jià)值的的視角對(duì)“試題”進(jìn)行分析與提出備考建議.

試題(2018年全國(guó)高考I卷理科數(shù)學(xué)第20題)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不合格品,則更換為合格品,檢驗(yàn)時(shí),先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn),再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0＜p＜1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點(diǎn)p0.

(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中,則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.

(i)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求EX;

(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù),是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)?

1.近三年全國(guó)I卷理科數(shù)學(xué)試題的比較

通過(guò)比較發(fā)現(xiàn),近三年問(wèn)題背景都是工業(yè)生產(chǎn)的抽樣檢驗(yàn)決策問(wèn)題,2018年“試題”問(wèn)題背景為產(chǎn)品是否合格抽樣檢驗(yàn),廣大考生更加熟悉.統(tǒng)計(jì)概率問(wèn)題作為應(yīng)用性問(wèn)題,題目的字符數(shù)都比較多,重點(diǎn)考查了考生通過(guò)閱讀,整理數(shù)據(jù)、提取信息、構(gòu)建模型、進(jìn)行推斷、獲得結(jié)論的數(shù)據(jù)分析過(guò)程與能力,同時(shí)考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2018年“試題”有關(guān)次函數(shù)的最值點(diǎn)的求解,難度更大一些.

2.解法研究

2.1 問(wèn)題分析

統(tǒng)計(jì)概率問(wèn)題閱讀量比較大,那么如何在題目中提取有用的信息以及對(duì)數(shù)據(jù)的整理,非常關(guān)鍵,也是解決問(wèn)題的切入點(diǎn).如“試題”中通過(guò)“先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)”和“設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0＜p＜1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.”兩個(gè)信息,考生要聯(lián)想到相應(yīng)的知識(shí)—n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).而第(1)問(wèn)中“記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)”,考生要聯(lián)想到n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰有k次發(fā)生的概率計(jì)算方法與公式:“試題”中考生感覺(jué)比較陌生的是以概率p為自變量的函數(shù)f(p)形式,不能把f(p)與進(jìn)行對(duì)應(yīng):導(dǎo)致不能正確找到問(wèn)題解決的切入點(diǎn).還有第(1)問(wèn)要求函數(shù)最大值點(diǎn)p0,對(duì)于大多數(shù)考生也是難點(diǎn),因?yàn)榭季V的要求是考生會(huì)求“不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最大值、最小值”.但這里是求最大值點(diǎn)p0,運(yùn)用教材中給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則以及單調(diào)性的判定方法即可求解,考查了考生思維的靈活性.

第(2)問(wèn)解決的關(guān)鍵是對(duì)“試題”中的信息“如檢驗(yàn)出不合格品,則更換為合格品”和“已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中,則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.”的聯(lián)系理解.也就是說(shuō)如果檢驗(yàn),就沒(méi)有不合格品進(jìn)入用戶手中,工廠只需要付每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用2元即可;如果不檢驗(yàn),若有不合格品進(jìn)入用戶手中,則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.考查了考生對(duì)信息的重新整合理解能力.還有對(duì)“試題”中“現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值”這個(gè)信息的處理,應(yīng)分拆開(kāi)理解與應(yīng)用.“現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件,結(jié)果恰有2件不合格品”是表示已經(jīng)檢驗(yàn)的20件產(chǎn)品,工廠只需付檢驗(yàn)費(fèi)20×2=40元,因?yàn)?件不合格品已經(jīng)更換為合格品,沒(méi)有不合格品進(jìn)入用戶手中.“以(1)中確定的p0作為p的值”是應(yīng)用在剩下的180件產(chǎn)品如果沒(méi)有檢驗(yàn),估計(jì)其不合格品的件數(shù),而這些不合格品進(jìn)入用戶手中,工廠需要支付賠償費(fèi),沒(méi)有檢驗(yàn)費(fèi).評(píng)卷過(guò)程中發(fā)現(xiàn),很多考生把以上兩個(gè)方面混在一起,直接把p的值等于而正確的理解是p=p0=0.1.

2.2 教育價(jià)值分析

“試題”重點(diǎn)對(duì)考生的數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的考查,考查了考生對(duì)統(tǒng)計(jì)概率基本概念的理解掌握,如n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰有k次發(fā)生的概率計(jì)算公式、二項(xiàng)分布及其數(shù)學(xué)期望的計(jì)算.“試題”特別考查了考生對(duì)信息處理能力,如何通過(guò)閱讀,獲取與整合有關(guān)統(tǒng)計(jì)信息,如把“試題”中的信息“如檢驗(yàn)出不合格品,則更換為合格品”和“已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中,則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.”進(jìn)行整合,找到問(wèn)題解決的突破口.“試題”還考查了考生概率分布模型的構(gòu)建,把不服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X轉(zhuǎn)化為服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量Y,并且應(yīng)用數(shù)學(xué)期望的線性關(guān)系求隨機(jī)變量X期望值.除此之外,“試題”對(duì)于運(yùn)算綜合能力也作了考查,如超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的求導(dǎo),求最大值點(diǎn).還有“試題”最后一問(wèn)對(duì)統(tǒng)計(jì)決策思維考查,考查考生通過(guò)數(shù)據(jù)分析進(jìn)行推斷的能力,“以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù),是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)”,即要從兩個(gè)方面計(jì)算.一方面是:如果對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品不作檢驗(yàn),則由前一問(wèn)已經(jīng)算出檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為490元;另一方面是:如果對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn),則只需付檢驗(yàn)費(fèi)用400元,檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為400元.然后比較兩種情況的期望值,即可下結(jié)論:應(yīng)該對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).

2.3 解法剖析

2.3.1 第一問(wèn)主要是根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰有k次發(fā)生的概率計(jì)算公式列出有關(guān)p的函數(shù)f(p),然后再求最大值點(diǎn).詳細(xì)解答如下:

解法一(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格的概率為因此

令f′(p)=0,得p=0.1.當(dāng)p∈(0,0.1)時(shí),f′(p)＞0;當(dāng)p∈(0.1,1)時(shí),f′(p)＜0.所以f(p)的最大值點(diǎn)為p0=0.1.

評(píng)析有很多考生不能正確寫(xiě)成f(p)解析式,其原因是對(duì)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰有k次發(fā)生的概率計(jì)算公式不熟悉.能正確寫(xiě)成f(p)解析式的考生,又有大部分不會(huì)求最大值點(diǎn),或者求導(dǎo)出錯(cuò)、求最大值點(diǎn)時(shí)沒(méi)有說(shuō)明單調(diào)性,表達(dá)不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?

“試題”的最大值點(diǎn)p0=0.1,恰好等于也可以推廣到一般的情況:

記n件產(chǎn)品中恰有k(0≤k≤n)件不合格品的概率為f(p),則f(p)的最大值點(diǎn)

實(shí)際上,n件產(chǎn)品中恰有k(0≤k≤n)件不合格品的概率為因此,令f′(p)=0,得當(dāng)時(shí),f′(p)＞0;當(dāng)時(shí),f′(p)＜0.所以f(p)的最大值點(diǎn)為

解法二(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格的概率為

因?yàn)?＜p＜1.所以當(dāng)且僅當(dāng)9p=1-p即時(shí),等號(hào)成立,即f(p)取得最大值.所以f(p)的最大值點(diǎn)

評(píng)析很少考生能正確應(yīng)用基本不等式求f(p)的最大值點(diǎn)p0,基本不等式的拆項(xiàng)對(duì)考生能力要求較高.

2.3.2 第二問(wèn)主要是在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上,應(yīng)用二項(xiàng)分布期望值求解公式求出檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值,并進(jìn)行決策判斷.詳細(xì)解答如下:

(2)由(1)知,p=0.1.

解法一令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù),依題意知Y～B(180,0.1).X=20×2+25Y即X=40+25Y,所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490(元).

評(píng)析隨機(jī)變量X表示“這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和”,不服從二項(xiàng)分布,而另外假設(shè)隨機(jī)變量Y表示“余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)”,服從二項(xiàng)分布,再建立起隨機(jī)變量X與Y的關(guān)系X=20×2+25Y,應(yīng)用數(shù)學(xué)期望的線性關(guān)系公式進(jìn)行求解,考查了考生轉(zhuǎn)化的能力以及概率模型意識(shí).有部分考試直接寫(xiě)出X的數(shù)學(xué)期望:沒(méi)有應(yīng)用二項(xiàng)分布,直接應(yīng)用樣本估計(jì)總體或幾何分布求解,依據(jù)不充分,思維不嚴(yán)謹(jǐn).

解法二(I)設(shè)檢驗(yàn)費(fèi)用為X1元,賠償費(fèi)用為X2元,若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),則檢驗(yàn)費(fèi)用為X1=20×2=40(元).因?yàn)橐呀?jīng)檢驗(yàn)了20件,還剩下180件沒(méi)有檢驗(yàn),設(shè)180件產(chǎn)品中有不合格產(chǎn)品n件,由(1)得即所以,E(X2)=18×25=450(元).所以,E(X)=450+40=490(元).

評(píng)析檢驗(yàn)費(fèi)用和賠償費(fèi)用分別計(jì)算其數(shù)學(xué)期望,再進(jìn)行求和.

解法三(i)X的可能取值為40,65,90,···,4540.

評(píng)析直接列出隨機(jī)變量X的所有可能取值,求出其分布列,然后再算出數(shù)學(xué)期望值,這方法理論上可以算出答案,但計(jì)算量非常大,極個(gè)別考生能夠正確表達(dá),有些考生只能列出X的可能取值為40,65,90,···,4540.很多考生都是錯(cuò)誤地列出X的可能取值為40,65,90,原因是把剩下的180件產(chǎn)品理解為20件產(chǎn)品中不合格產(chǎn)品可能有0,1,2件,關(guān)系上混淆.

解法四 (i)設(shè)檢驗(yàn)費(fèi)用為X1元,賠償費(fèi)用為X2元,每一件產(chǎn)品賠償費(fèi)用為ξ元.若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),則檢驗(yàn)費(fèi)用為X1=20×2=40(元).因?yàn)槊考a(chǎn)品不合格的概率為0.1,若有不合格品進(jìn)入用戶手中,賠償費(fèi)為25元.所以

所以Eξ=0×0.9+25×0.1=2.5.所以EX2=180×2.5=450(元).E(X)=450+40=490(元).

評(píng)析在計(jì)算賠償費(fèi)用時(shí),先計(jì)算每件產(chǎn)品賠償費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望值,再計(jì)算剩下180件產(chǎn)品的賠償費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望值.

(ii)如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.由于EX＞400,故應(yīng)該對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).

3.備考建議

3.1 以實(shí)例為載體,理解統(tǒng)計(jì)概率基本概念教學(xué)中應(yīng)通過(guò)對(duì)一些典型案例的處理,使學(xué)生經(jīng)歷較為系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理全過(guò)程,在此過(guò)程中學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)分析的方法,理解數(shù)據(jù)分析的思路,運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題.因此,在高考復(fù)習(xí)中,統(tǒng)計(jì)概率的復(fù)習(xí)也要結(jié)合具體的實(shí)例,通過(guò)課本中的例題、習(xí)題,讓學(xué)生深刻地理解統(tǒng)計(jì)概率的基本概念.例如對(duì)于條件概率的理解,就可以通過(guò)教材中的實(shí)例“三張獎(jiǎng)券中只有一張能中獎(jiǎng),現(xiàn)分別由三名同學(xué)無(wú)放回地抽取,如果已經(jīng)知道第一名同學(xué)沒(méi)有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券,那么最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率是多少?”,讓學(xué)生從不同角度的運(yùn)算,反復(fù)地理解條件概率以及運(yùn)算.

3.2 加強(qiáng)閱讀與信息處理能力培養(yǎng)

閱讀與信息處理能力考查是近三年全國(guó)I卷理科數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)概率解答題的突出特點(diǎn),有文字閱讀,也有數(shù)學(xué)圖表的閱讀.如2016年全國(guó)I卷理科數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)概率解答題就涉及到柱狀圖以及文字的理解,通過(guò)柱狀圖獲取到以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率信息,可以得出1臺(tái)機(jī)器更換零件數(shù)為8,9,10,11的頻率分別為:0.2,0.4,0.2,0.2,從而得出2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)X的所有可能取值為16,17,18,19,20,21,22,然后再求出X的分布列.復(fù)習(xí)備考時(shí)可以結(jié)合典型的例子,給學(xué)生充分的時(shí)間,引導(dǎo)學(xué)生閱讀,通過(guò)閱讀后,讓學(xué)生表述,提升信息處理的基本能力.

3.3 注重滲透模型化思想

高考中統(tǒng)計(jì)與概率的問(wèn)題基本上是應(yīng)用問(wèn)題,情景的設(shè)置貼近學(xué)生的生活實(shí)際,對(duì)數(shù)學(xué)建模都有一定的要求.特別是理科試卷集中在離散型隨機(jī)變量的分布列、離散型隨機(jī)變量的期望值和方差等.例如,要求學(xué)生能夠識(shí)別題中提出的隨機(jī)變量服從什么分布,并應(yīng)用相應(yīng)公式,求出其分布列.如2017年試題是通過(guò)“根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).”和“假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù)”判斷隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布.所以在復(fù)習(xí)備考時(shí)需要引導(dǎo)學(xué)生分析,試題給出多少個(gè)隨機(jī)變量.如果是一個(gè)隨機(jī)變量,先判斷其是否服從兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布或超幾何分布,或者一般的分布;如果是兩個(gè)隨機(jī)變量,要判斷是研究線性相關(guān)問(wèn)題還是獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題,從而強(qiáng)化學(xué)生的模型意識(shí).

3.4 突出統(tǒng)計(jì)思維培養(yǎng)

統(tǒng)計(jì)思維是一種重要的思維方式,它和確定性思維一樣成為人們不可缺少的思想武器,由不確定的數(shù)據(jù)進(jìn)行推理也是同樣有力而普遍的方法.統(tǒng)計(jì)的基本思維模式是歸納,它的特征之一是通過(guò)部分的數(shù)據(jù)來(lái)推測(cè)全體數(shù)據(jù)的性質(zhì).因此,統(tǒng)計(jì)結(jié)果具有隨機(jī)性,統(tǒng)計(jì)推斷是有可能犯錯(cuò)誤的,這點(diǎn)與確定性思維不同.近三年高考試題對(duì)統(tǒng)計(jì)思維都有考查,2016年試題是“以購(gòu)買(mǎi)易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),在n=19與n=20之中選其一,應(yīng)選用哪個(gè)?”,2017年試題是“(I)試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性;”與“用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查?”.因此在復(fù)習(xí)備考中,特別要引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用統(tǒng)計(jì)的思維來(lái)決策,一方面要有數(shù)據(jù)作為依據(jù),另一方面要體現(xiàn)推斷的隨機(jī)性,如“估計(jì)”等.

3.5 強(qiáng)化運(yùn)算綜合能力

運(yùn)算綜合能力是解決統(tǒng)計(jì)概率問(wèn)題必不可少的能力,并且高考對(duì)運(yùn)算綜合能力考查要求都比較高,在復(fù)習(xí)備考中要有足夠的重視.一方面要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)相應(yīng)的運(yùn)算方法,另一方面要培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立運(yùn)算能力,讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)算的全過(guò)程.如2017年試題中“剔除之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ(精確到0.01)”,運(yùn)算方法要求比較靈活,運(yùn)算量也比較大.