教育部考試中心

2018年高考數(shù)學(xué)命題貫徹高考內(nèi)容改革的要求，將考試內(nèi)容和素質(zhì)教育要求有機(jī)結(jié)合，積極發(fā)揮高考在引導(dǎo)素質(zhì)教育、促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展中的重要作用，把促進(jìn)學(xué)生健康成長(zhǎng)成才和綜合素質(zhì)提高作為命題的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)。2018年高考數(shù)學(xué)試題考主干、考能力、考素養(yǎng)，重思維、重應(yīng)用、重創(chuàng)新，創(chuàng)新試題設(shè)計(jì)，重點(diǎn)考查基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用和思維方法的掌握，強(qiáng)化素養(yǎng)導(dǎo)向，給不同水平的學(xué)生提供充分展現(xiàn)才華的空間，服務(wù)大學(xué)選拔優(yōu)秀的學(xué)生，助推素質(zhì)教育的發(fā)展。統(tǒng)計(jì)圖表將數(shù)據(jù)呈現(xiàn)給考生，把考查重點(diǎn)后移到對(duì)數(shù)據(jù)的分析和理解上，減少考生分析整理數(shù)據(jù)的步驟，突出考查對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解和運(yùn)用能力。

“一增”是指增加試題和答案的開放性，鼓勵(lì)考生從多角度作答，引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)從培養(yǎng)學(xué)生“解題”到“解決問題”，引導(dǎo)學(xué)生從“做題”到“做人做事”素養(yǎng)的提升。

例1（2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅱ卷文、理科第18題）

圖1是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單位：億元）的折線圖.

1 強(qiáng)調(diào)聯(lián)系實(shí)際：一減一增

圖1

2018年高考數(shù)學(xué)命題把考試內(nèi)容與國(guó)家經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展、科學(xué)技術(shù)進(jìn)步、生產(chǎn)生活實(shí)際緊密聯(lián)系起來，通過設(shè)置真實(shí)的問題情境，考查考生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決實(shí)際問題的能力，著力體現(xiàn)“一減一增”。

“一減”是指在應(yīng)用題中減少繁雜運(yùn)算，采取“重心后移”策略，在題目中根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)用合適的

為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1,2,…,17）建立模型①：=?30.4+13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1,2,…,7）建立模型②：=99+17.5t.

（1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；

（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說明理由.

本題以環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資為背景，采用真實(shí)數(shù)據(jù)，在考查考生的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的同時(shí)，重點(diǎn)考查的是概率統(tǒng)計(jì)思想方法。試題的設(shè)計(jì)特點(diǎn)有：1）來源于真實(shí)情境，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與社會(huì)生活的密切聯(lián)系；2）采用真實(shí)數(shù)據(jù)，增強(qiáng)了試題情境的真實(shí)性和可靠性；3）試題沒有要求考生計(jì)算求解回歸方程，而是直接給出了回歸方程，減輕了數(shù)值計(jì)算的工作量；4）試題給出兩個(gè)模型，要求考生分析比較得出結(jié)論、闡明理由，體現(xiàn)了開放性。

2 突出關(guān)鍵能力：一多一少

2018年高考數(shù)學(xué)命題從培育學(xué)生支撐終身發(fā)展和適應(yīng)時(shí)代要求的能力出發(fā)，重點(diǎn)考查學(xué)生的獨(dú)立思考、邏輯推理、數(shù)學(xué)閱讀和表達(dá)、批判思維等關(guān)鍵能力，著力體現(xiàn)“一多一少”，即多考一點(diǎn)想的，少考一點(diǎn)算的。

在命題設(shè)計(jì)中，重視對(duì)學(xué)科主干知識(shí)的考查，杜絕偏題、怪題和繁難試題，試題內(nèi)容和分?jǐn)?shù)權(quán)重均與高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)的結(jié)構(gòu)相匹配，難題考查的知識(shí)點(diǎn)都落在學(xué)科主干內(nèi)容或者重要原理和方法上，以此引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)遵循教育規(guī)律、回歸課堂，用好教材，避免超綱學(xué)、超量學(xué)。

例2（2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷文科第17題）

已知數(shù)列{an}滿足a1=1，nan+1=2(n+1)an.設(shè)

（1）求b1，b2，b3；

（2）判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；（3）求{an}的通項(xiàng)公式.

本題是解答題的起點(diǎn)題，把等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式作為考查的重點(diǎn)，考查了分析、推理、計(jì)算等關(guān)鍵能力，體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)和考試大綱對(duì)數(shù)列學(xué)習(xí)的基本要求。該題雖以學(xué)生熟悉的數(shù)列遞推關(guān)系來設(shè)計(jì)，但不落俗套，在所求數(shù)列中加入了討論，通過3層設(shè)問展現(xiàn)了數(shù)學(xué)探究的過程，體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)研究型學(xué)習(xí)的理念。此外，試題的數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)潔，計(jì)算過程簡(jiǎn)單，有助于考生穩(wěn)定發(fā)揮。

例3（2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷理科第12題）

已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為

本題考查了立體幾何的重點(diǎn)內(nèi)容——直線與平面的位置關(guān)系，在突出考查考生空間想象能力的同時(shí)，也考查了考生的運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力。作為選擇題的壓軸題，該題的解題過程不需要繁雜的計(jì)算，但要求考生有較強(qiáng)的分析問題和解決問題的能力，需要考生靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，抓住問題的本質(zhì)特征。這類試題對(duì)提高思維的有效性，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)揮了積極的導(dǎo)向作用。

3 培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)：一破一立

創(chuàng)新是發(fā)展的第一動(dòng)力，2018年高考數(shù)學(xué)試題體現(xiàn)了創(chuàng)新導(dǎo)向。通過創(chuàng)新試題的呈現(xiàn)方式和設(shè)問方式，讓考生從不同的角度認(rèn)識(shí)問題，鼓勵(lì)考生主動(dòng)思考、發(fā)散思維，激發(fā)考生的想象力和思想的張力，把考生從標(biāo)準(zhǔn)答案中解放出來。創(chuàng)新試題設(shè)計(jì)新穎、靈活，不落俗套，脫離一般的解題套路，采取多樣的形式、多角度的設(shè)問、不唯一的答案，真實(shí)地考查考生的數(shù)學(xué)能力，而不是刷題和訓(xùn)練的技巧，引導(dǎo)基礎(chǔ)教育扎扎實(shí)實(shí)地實(shí)施素質(zhì)教育。

例4（2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅲ卷文、理科第18題）

某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人.第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：min）繪制了如圖2所示的莖葉圖：

（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；

（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過m和不超過m的工人數(shù)填入如表1所示的列聯(lián)表；

圖2

表1

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？

本題的第（1）問是開放性設(shè)問，考生可以根據(jù)莖葉圖，從概率、平均數(shù)、中位數(shù)、分布特征等角度分析回答問題，參考答案給出了4種理由，考生只要答出其中任意一種或者其他合理的理由均可得分；第（2）問要求考生計(jì)算，第（3）問要求運(yùn)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法分析并得出結(jié)論。3問的設(shè)計(jì)非常完整，層層遞進(jìn)，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，充分體現(xiàn)了試題的開放性和靈活性。

例5（2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅲ卷理科第8題）

某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立.設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，DX=2.4，P(X=4)＜P(X=6)，則p=

A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3

本題以被譽(yù)為中國(guó)新四大發(fā)明的移動(dòng)支付為背景，考查了考生的數(shù)學(xué)建模能力。試題具有時(shí)代氣息、生活氣息，容易激發(fā)學(xué)生的興趣和探究欲望，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。

4 探索內(nèi)容改革：一合一分

2018年高考數(shù)學(xué)繼續(xù)探索和嘗試不分文理卷，將全國(guó)Ⅱ卷、Ⅲ卷文理科相同試題的比例提高，采用倒“Y字型”排列：即文理科容易題和中檔題相同，構(gòu)成試卷的基礎(chǔ)和主體，其后文科增加中檔題，理科增加較難題，組成文理科不同難度結(jié)構(gòu)的試卷。通過這樣先合后分的設(shè)計(jì)達(dá)到“一石三鳥”的目的：一是增加文理科共同題的比例，為新高考數(shù)學(xué)不分文理科的改革進(jìn)行積極探索；二是保持文科試卷的難度平穩(wěn)；三是增強(qiáng)理科試卷的區(qū)分功能。

此外，根據(jù)試題的難度，文理科試卷中相同題在題序位置上有所不同，如全國(guó)Ⅱ卷第11題以抽象函數(shù)作為載體，考查觀察、歸納、推理的能力，在理科中屬于中高難度的試題，對(duì)文科學(xué)生來說，難度會(huì)更大，因此在文科卷中是作為選擇題的壓軸題出現(xiàn)的；全國(guó)Ⅱ卷理科第19題為解析幾何題，考查了數(shù)形結(jié)合的思想以及用代數(shù)方法解決幾何問題的能力，在理科卷中屬于中等難度題，在文科卷中則在第20題作為較難題出現(xiàn)，以體現(xiàn)對(duì)文理科學(xué)生要求上的差別。

2018年高考數(shù)學(xué)分文理科的全國(guó)卷共6套，在試題難度上進(jìn)行了調(diào)整，使之更適合考生水平，以此引導(dǎo)和鼓勵(lì)更多的學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)。由于試卷整體難度的調(diào)整，考查思路的變化，試題的風(fēng)格、排列也都打破了常規(guī)，防止學(xué)生機(jī)械地應(yīng)試，有利于引導(dǎo)學(xué)生掌握基礎(chǔ)和主干知識(shí)、全面提升能力。

5 增強(qiáng)文化浸潤(rùn)：一中一外

獨(dú)特的歷史和文化是我們民族的根，也是立德樹人、繁衍發(fā)展的文化基因，蘊(yùn)含強(qiáng)大感召力的文化積淀。2018年高考數(shù)學(xué)試題把中國(guó)傳統(tǒng)文化的精華引入到考試內(nèi)容中，使試題不僅打上中華文化的烙印，體現(xiàn)東方數(shù)學(xué)的特點(diǎn)；而且在弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化的同時(shí)，注意吸收世界數(shù)學(xué)文化的精華，引導(dǎo)學(xué)生胸懷祖國(guó)，放眼世界。

例6（2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅲ卷文、理科第3題）

中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來.構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖3所示的木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是

圖3

早在7 000年前的河姆渡文化，充滿智慧的華夏先民已經(jīng)發(fā)明了榫卯結(jié)構(gòu)，并以此構(gòu)建家園，從而居木繁衍，開啟了燦爛流長(zhǎng)的中華文明。作為中國(guó)木文化起源的榫卯，其歷史遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了漢字，不僅是中華民族向世界貢獻(xiàn)的第五大發(fā)明，更是中華文明與世界交流的最鮮明象征。本題以優(yōu)秀的中華木土文化為背景，以榫卯為載體，創(chuàng)新形式，考查考生的空間想象能力和空間圖形的轉(zhuǎn)化能力。

例7（2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅱ卷理科第8題）

我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30=7+23.在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是

本題考查古典概率計(jì)算，試題的背景——哥德巴赫猜想曾在我國(guó)家喻戶曉。40年前，著名作家徐遲發(fā)表舉國(guó)轟動(dòng)的報(bào)告文學(xué)《哥德巴赫猜想》，曾經(jīng)感召無數(shù)青年投身數(shù)學(xué)，激勵(lì)一代人為“科學(xué)的春天”而奮斗；40年后，通過解答此題，學(xué)生能體會(huì)到數(shù)學(xué)名題的魅力，在新時(shí)代，學(xué)習(xí)陳景潤(rùn)的科研攻關(guān)精神，樹立投身祖國(guó)現(xiàn)代化科技事業(yè)的崇高理想和遠(yuǎn)大志向。

例8（2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷理科第10題）

圖4是古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則

圖4

A.p1=p2B.p1=p3

C.p2=p3D.p1=p2+p3

本題對(duì)古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底在研究化圓為方問題時(shí)曾研究過的圖形作了簡(jiǎn)化，并以此為背景，設(shè)計(jì)了一個(gè)幾何概型問題，解答此題要用到“割補(bǔ)”思想和勾股定理。通過本題的求解，不僅引導(dǎo)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)文化，關(guān)注幾何之美，關(guān)注生活中的數(shù)學(xué)問題，也使學(xué)生體會(huì)到概率的應(yīng)用。

科學(xué)選拔各類人才，適應(yīng)社會(huì)發(fā)展對(duì)多樣化高素質(zhì)人才的需要，是高考的重要功能之一；同時(shí)高考通過考能力、考素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生注重能力培養(yǎng)。2018年高考數(shù)學(xué)努力發(fā)揮學(xué)科特點(diǎn)，科學(xué)設(shè)計(jì)試題，較好地發(fā)揮了選拔優(yōu)秀學(xué)生和引導(dǎo)素質(zhì)教育發(fā)展的功能。