汪大金，白建明

( 1.蘭州資源環(huán)境職業(yè)技術(shù)學(xué)院，甘肅 蘭州 730020；2.蘭州大學(xué)管理學(xué)院，甘肅 蘭州 730020)

1 引言

制造企業(yè)為了應(yīng)對快速變化的市場需求，通常會采用不同的生產(chǎn)策略來處理那些隨機(jī)到達(dá)的產(chǎn)品訂單。根據(jù)其生產(chǎn)系統(tǒng)的不同，這些策略一般可以分為兩種類型：按庫存生產(chǎn)(Make-to-Stock，MTS)和按訂單生產(chǎn)(Make-to-Order，MTO)。在MTS系統(tǒng)，生產(chǎn)在訂單之前完成，交付給顧客的商品之前已完成生產(chǎn)進(jìn)入成品庫存。而在MTO系統(tǒng)，生廠商接到訂單后才開始組織生產(chǎn)，每件產(chǎn)品在生產(chǎn)完成之后再交付顧客。因此，MTS能夠更容易滿足標(biāo)準(zhǔn)化、大批量的顧客訂購需求，這類生產(chǎn)的優(yōu)勢在于制造商可以獲得規(guī)模效益，并縮短了交貨期。相比較而言，MTO需要有更長的交貨期，而且生產(chǎn)效率也不會很高，適合那些個(gè)性化需求和定制要求的任何類型產(chǎn)品的生產(chǎn)?；趦烧叩膬?yōu)勢，生產(chǎn)企業(yè)通過提高制造系統(tǒng)的靈活性，允許其使用相同的生產(chǎn)設(shè)備為不同客戶提供生產(chǎn)和服務(wù)，盡管這種方法簡單有效，但這些額外的生產(chǎn)任務(wù)交替作業(yè)有可能造成生產(chǎn)線擁堵和機(jī)器松弛，影響正常的生產(chǎn)運(yùn)作；同時(shí)，由于設(shè)備調(diào)整周期、市場需求變化和生產(chǎn)成本等一些潛在的風(fēng)險(xiǎn)無法評估，迫使廠商不得不尋求更為有效的解決方法。因此，選擇一個(gè)介于MTS-MTO的混合系統(tǒng)、或者在兩者之間選擇一個(gè)中間策略的做法在一些公司越來越普遍。

早期對MTS-MTO混合系統(tǒng)研究主要集中在有限產(chǎn)能的單套生產(chǎn)設(shè)備條件下，根據(jù)產(chǎn)品需求率不同，區(qū)分哪一類可以按庫存生產(chǎn)、哪類產(chǎn)品僅僅在接到顧客訂單后再組織生產(chǎn)。Arreola等[1]最先對MTS-MTO共享單臺生產(chǎn)設(shè)備的優(yōu)化問題進(jìn)行了研究。Carr和Duenyas[2]、Caldentey和Wein[3]、Nio-Mora[4]和Youssef等[5]建立了處理這類問題的排隊(duì)模型，討論產(chǎn)品可區(qū)分的排產(chǎn)次序，確定那類產(chǎn)品可以進(jìn)入MTS或者是MTO系統(tǒng)。Soman等[6]、Wu等[7]、Chang和Lu[8]和Zhang Tao等[9]在食品企業(yè)、電子企業(yè)和鋼鐵企業(yè)的實(shí)證研究，提供了一個(gè)處理多類型產(chǎn)品需求的成功案例：當(dāng)接到的特定顧客需求的訂單相對于標(biāo)準(zhǔn)化產(chǎn)品訂單數(shù)量增加時(shí)，公司通過增加MTO設(shè)備來應(yīng)付這些需求的變化；但同時(shí)，專用于MTS標(biāo)準(zhǔn)化產(chǎn)品的生產(chǎn)設(shè)備卻出現(xiàn)剩余。Zhang等[10]建立了一個(gè)多服務(wù)臺的排隊(duì)模型，分析了兩種生產(chǎn)模式下的服務(wù)水平和生產(chǎn)績效。 Kanda等[11]和Tashakori[12]的研究關(guān)注到MTS-MTO混合系統(tǒng)的產(chǎn)品價(jià)格、質(zhì)量損失的問題，強(qiáng)調(diào)對訂單交付時(shí)間的管理是系統(tǒng)成功的關(guān)鍵因素?；诠?yīng)鏈視角，Altendorfer等[13]和Olhager等[14]的研究認(rèn)為，廠商的競爭優(yōu)勢不局限于改善他們的內(nèi)部運(yùn)作，外部供應(yīng)鏈的改善可以使供應(yīng)商獲得更多客戶信息和產(chǎn)品定制計(jì)劃，進(jìn)而影響MTS-MTO生產(chǎn)決策。肖群、馬士華[15]最新的研究表明，信息不對稱影響MTO和MTS系統(tǒng)決策變量最優(yōu)值的確定，并引起供應(yīng)鏈非效率現(xiàn)象，提出了一個(gè)信息共享補(bǔ)償機(jī)制。張濤等[16-17]比較了MTO和 MTO-MTS生產(chǎn)管理模式在鋼鐵企業(yè)的應(yīng)用，并建立了一個(gè)合同計(jì)劃方法的混合整數(shù)規(guī)劃模型，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，MTO-MTS管理模式能夠規(guī)避對需求預(yù)測不準(zhǔn)確的風(fēng)險(xiǎn)，可以協(xié)調(diào)快速交貨和降低庫存的矛盾，適應(yīng)客戶需求多品種、小批量的發(fā)展趨勢。

啟動MTO生產(chǎn)的前提是生產(chǎn)商必須避免MTS產(chǎn)品出現(xiàn)短缺、MTO訂單在生產(chǎn)的時(shí)間窗口內(nèi)具有競爭優(yōu)勢、而且要保持設(shè)備的整體效率。能夠?qū)崿F(xiàn)這些目標(biāo)的一種方法是把一個(gè)混合生產(chǎn)系統(tǒng)劃分為兩組，一組安排MTS生產(chǎn)，另一組致力于滿足MTO需求，實(shí)際上，這種靜態(tài)方法分離了設(shè)備使其成為兩個(gè)獨(dú)立的生產(chǎn)單元，在面對市場需求變化時(shí)，每生產(chǎn)單元又要完成各自不同的任務(wù)需求，這種方法改變了混合系統(tǒng)的MTS和MTO產(chǎn)出效果，同時(shí)拉長了生產(chǎn)鏈和調(diào)整時(shí)間，使得一部分設(shè)備的效能未被充分利用，而另一部分機(jī)器服務(wù)響應(yīng)時(shí)間也低于平均水平。

與以往的研究不同，本文主要：

?構(gòu)建了一個(gè)多服務(wù)臺排隊(duì)模型描述MTS-MTO混合服務(wù)運(yùn)作系統(tǒng)。

?考慮MTS-MTO交貨時(shí)間的約束。用系統(tǒng)參數(shù)描述顧客服務(wù)水平在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的服務(wù)績效。

?提出優(yōu)先滿足訂貨需求的價(jià)格策略，確定具有優(yōu)先權(quán)的生產(chǎn)訂單。

?考慮機(jī)器執(zhí)行MTS、MTO不同操作任務(wù)的重置成本。

?提出了一個(gè)靈活服務(wù)規(guī)則，描述動態(tài)MTS-MTO混合系統(tǒng)的成本變化。

相對于靜態(tài)的專用于MTS和MTO混合設(shè)備，靈活的對MTS與MTO生產(chǎn)進(jìn)行切換提供了為潛在的優(yōu)質(zhì)客戶服務(wù)機(jī)會和降低庫存水平的能力。例如，如果MTS庫存下降到安全線下時(shí)，觸發(fā)柔性生產(chǎn)設(shè)備，系統(tǒng)自動被分派給MTS幫助其建立庫存，直到MTS庫存達(dá)到安全水平。同時(shí)，可切換的柔性設(shè)備幫助MTO減少了積壓的生產(chǎn)訂單。盡管這個(gè)混合系統(tǒng)看起來更加直觀有效，可能會減少機(jī)器的松弛能力，增加彈性的加工速度，但還需要研究確認(rèn)其有效性。

為此，本文構(gòu)建了一個(gè)有能力滿足標(biāo)準(zhǔn)化需求和大規(guī)模定制服務(wù)的多設(shè)備混合作業(yè)的多服務(wù)臺排隊(duì)模型來描述MTS-MTO運(yùn)作。建立一個(gè)混合的組策略控制介于MTS-MTO的柔性設(shè)備從當(dāng)前的生產(chǎn)狀態(tài)切換到另一種生產(chǎn)狀態(tài)；并且用一個(gè)和系統(tǒng)參數(shù)相同的隨機(jī)分布函數(shù)描述被界定為系統(tǒng)關(guān)鍵績效的指標(biāo)。模型結(jié)果用于確定在什么時(shí)間減少機(jī)器數(shù)量而不影響正常生產(chǎn)運(yùn)作、以及評估系統(tǒng)從靜態(tài)切換到動態(tài)系統(tǒng)的成本；以及找到滿足顧客服務(wù)需求最少的設(shè)備數(shù)量和控制庫存參數(shù)所需要的最小化的生產(chǎn)切換時(shí)間和庫存持有成本。

2 MTS-MTO混合系統(tǒng)描述與假設(shè)

考慮一個(gè)生產(chǎn)系統(tǒng)有兩個(gè)“虛擬”工作單元組成：其中UnitA生產(chǎn)庫存以滿足MTS的需求；UnitB用來建立響應(yīng)MTO的訂單需求。兩個(gè)單元中工作站的設(shè)備數(shù)量可能會有所不同。假設(shè)系統(tǒng)共有c臺設(shè)備，其中有e臺設(shè)備根據(jù)客戶需求和MTS庫存水平可以在MTS和MTO之間靈活切換，剩余的c-e臺的設(shè)備則專用于MTS生產(chǎn)。因此，MTS單元生產(chǎn)效能在c到c-e臺設(shè)備之間變化，而MTO單元則在e和0之間切換(如圖1所示)。

系統(tǒng)描述與假設(shè)：

?MTS的服務(wù)需求來自批發(fā)商或零售商傳統(tǒng)的銷售渠道；而MTO的服務(wù)需求是顧客通過網(wǎng)店或其他通訊設(shè)備的直接訂購。MTS、MTO需求服從Poisson分布，定義其平均到達(dá)率分別為λs、λo，且相互獨(dú)立。

?系統(tǒng)中機(jī)器都具有相同服務(wù)率，相互獨(dú)立且服從指數(shù)分布，分別定義其平均服務(wù)率為μs、μo。用ρ表示系統(tǒng)服務(wù)強(qiáng)度，且ρ<1。

?系統(tǒng)中共有c臺設(shè)備，其中e(e

圖1 MTS-MTO混合生產(chǎn)系統(tǒng)

?MTS生產(chǎn)控制基于一個(gè)連續(xù)檢查的訂貨點(diǎn)(Order-up-to)策略。柔性設(shè)備e在兩個(gè)工作單元之間切換取決于MTS的庫存水平?？紤]e和c-e分別在MTS、MTO初始狀態(tài)工作的數(shù)量，我們稱這種狀態(tài)為混合模式(Hybrid mode)。定義S為訂貨點(diǎn)上限，so為安全庫存水平，其中N=S-so，n=c-e。如果MTS狀態(tài)庫存水平I(t)=S到達(dá)庫存上限，則缺貨水平L(t)=0。

?當(dāng)系統(tǒng)中的設(shè)備數(shù)量不足以滿足MTS需求，成品庫存水平持續(xù)減少，到達(dá)一個(gè)最小需求水平或安全庫存水平so，柔性設(shè)備e被切換到MTS幫助其建立庫存，此時(shí)MTO中沒有機(jī)器作業(yè)，定義其狀態(tài)為MTS模式(MTS mode)。當(dāng)MTS庫存水平到達(dá)最大庫存水平S，系統(tǒng)返回到混合模式，此時(shí)系統(tǒng)中靈活設(shè)備被關(guān)閉或者移走，MTS有c-e臺設(shè)備可用于生產(chǎn)(如圖2所示)。為MTS分配柔性設(shè)備是為了確保其服務(wù)水平，這個(gè)分配策略能夠最大化利用MTO單元柔性設(shè)備和最小化MTS單元的松弛能力。降低了庫存常態(tài)資源，增加訂貨周期的松弛能力；此外，還能夠利用這部分系統(tǒng)彈性使庫存的缺貨概率保持在一個(gè)較低水平，使庫存系統(tǒng)在面對市場需求波動時(shí)減少缺貨風(fēng)險(xiǎn)，維持系統(tǒng)正常運(yùn)作。?混合運(yùn)作策略允許系統(tǒng)靈活配置資源，而不是把這部分靈活的庫存資源設(shè)置在一個(gè)固定的水平上。安全庫存能夠在缺貨瞬間啟動補(bǔ)貨到達(dá)顧客需求的訂單水平而不需要支付額外的成本。此時(shí)系統(tǒng)應(yīng)該滿足兩個(gè)基本的約束條件：一是系統(tǒng)的缺貨概率小于極限值ε；二是在啟用安全庫存后顧客訂單的平均隊(duì)列不高于系統(tǒng)庫存最大容量值Qmax。

圖2 MTS-MTO混合系統(tǒng)庫存水平和需求服務(wù)水平變化

3 MTS、MTO混合運(yùn)作系統(tǒng)分析

3.1 MTS運(yùn)作系統(tǒng)分析

廠商為了避免缺貨，通常會設(shè)置一個(gè)較高水平的安全庫存。假設(shè)系統(tǒng)是通過選擇一個(gè)足夠大的安全庫存so來實(shí)現(xiàn)正常運(yùn)作，那么，系統(tǒng)在狀態(tài)MTS的庫存水平為P(L(t)≤S=N+so)=1。此時(shí)，系統(tǒng)可以滿足所有顧客的需求，不需要排隊(duì)，有N+so=I(t)+L(t)，系統(tǒng)庫存期望值近似的有：

E(I)=E(I|L≤N+so)=N+so-E(L)

(1)

系統(tǒng)決策目標(biāo)是確定在一個(gè)有c和c-e臺設(shè)備的動態(tài)服務(wù)系統(tǒng)中能夠有效控制系統(tǒng)平均等待時(shí)間和隊(duì)列長度的設(shè)備切換策略，從而實(shí)現(xiàn)庫存資源的有效配置和運(yùn)作成本最小化。

設(shè)L(t)表示時(shí)刻t系統(tǒng)在MTS狀態(tài)下的隊(duì)列長度，并設(shè)：

可證明{L(t)，J(t)}是有限狀態(tài)的生滅過程(QBD)[18]，狀態(tài)空間為：

Ω={(k,0:0≤k≤c-e)}∪{(k,j:c-e≤k≤N-1,j=0,1)}∪{(k,1:k≥N)}

(2)

(3)

系統(tǒng)在不同狀態(tài)下的概率由生滅過程平穩(wěn)解公式可求得：

(4)

(5)

其中：

(6)

通過平穩(wěn)分布概率，可以計(jì)算出系統(tǒng)在不同狀態(tài)時(shí)的隊(duì)長分布E(L)：

(7)

(8)

如果給定c，e，λs，μs的參數(shù)值，可以計(jì)算出設(shè)備數(shù)量變化時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)概率及平均的服務(wù)水平。圖3模擬了給定這些參數(shù)值時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)變化。結(jié)果顯示，隨著系統(tǒng)庫存水平趨于飽和，相對較高的設(shè)備數(shù)量使系統(tǒng)績效測度指標(biāo)大幅降低；同時(shí)，顧客服務(wù)水平?jīng)]有得到明顯改善。相比于單服務(wù)系統(tǒng)，混合情形下的系統(tǒng)降低了服務(wù)時(shí)間的波動，改進(jìn)了系統(tǒng)的運(yùn)作效率。

圖3 系統(tǒng)平均服務(wù)水平和隊(duì)長分布圖(參數(shù)c=8,e=2,λs=30,μs=4)

分析MTS在系統(tǒng)中運(yùn)作效能，還要考慮MTS庫存周期E(T)。也就是說，MTS機(jī)器從c到c-e，又從c-e到c的兩個(gè)連續(xù)的容量切換瞬間或兩個(gè)連續(xù)的能力交換之間的時(shí)間間隔。因此，在這個(gè)時(shí)間周期的窗口期內(nèi)，如何確定機(jī)器切換時(shí)點(diǎn)以控制庫存缺貨的概率，是系統(tǒng)運(yùn)作的關(guān)鍵。設(shè)Ts、To表示系統(tǒng)在MTS狀態(tài)和混合狀態(tài)的持續(xù)時(shí)間，有E(T)=Ts+To。那么系統(tǒng)平均時(shí)間記為：

E(T)=E(Ts)+E(To)

(9)

當(dāng)系統(tǒng)庫存維持在較高水平，由S=N-so，系統(tǒng)初期建立的庫存水平S將持續(xù)更長時(shí)間；此外，系統(tǒng)在MTS狀態(tài)的時(shí)間也會延長。由E(L)和E(I)，可以計(jì)算出系統(tǒng)在一個(gè)周期內(nèi)的平均成本Tc，包括周期內(nèi)庫存的持有成本和系統(tǒng)服務(wù)成本。定義h為單位庫存持有成本，d為單位時(shí)間服務(wù)成本，Cr為周期內(nèi)機(jī)器重置成本，w為單位時(shí)間等待成本，系統(tǒng)在單位時(shí)間的總成本期望值可表示為：

Tc(c,e,N,so)=hE(I)+d(c-e)+E(Cr)/E(T)+wE(L)=h(N+so-E(L))+d(c-e)+E(Cr)/E(T)+wE(L)=h(N+so)-(h-w)E(L)+E(Cr)/E(T)

(10)

上式中，E(I)和E(L)都是關(guān)于N的增函數(shù)，因此，對于給定的一個(gè)安全庫存，增加目標(biāo)庫存水平S，平均庫存水平也會隨之增加。同時(shí)，由E(I)=S-E(L)=N+so-E(L)，可求得庫存水平的期望值。圖4模擬了系統(tǒng)在取不同參數(shù)值時(shí)的總成本曲線變化。

圖4 成本函數(shù)關(guān)于N的模擬曲線(參數(shù)c=8,e=2,λs=30,μs=4)

如果安全庫存滿足需求的缺貨概率低于ε，那么，系統(tǒng)安全庫存水平的大小由ε和N共同確定。當(dāng)ρs=λs/(cμs)<1，此時(shí)，對于給定的變量(c,e,N,so)，安全庫存可表示為：

(11)

其中πN1是N的增函數(shù)，當(dāng)ε(1-ρ)<πN1，安全庫存so始終對N遞減。也就是說，即使持有一定數(shù)量的安全庫存，啟動生產(chǎn)補(bǔ)貨，系統(tǒng)的缺貨的風(fēng)險(xiǎn)依然相同。

以上討論了MTS系統(tǒng)動態(tài)變化，給出了設(shè)置最低安全庫存水平的條件。根據(jù)給定的參數(shù)值，可以測度系統(tǒng)運(yùn)作績效的指標(biāo)，如缺貨概率、服務(wù)時(shí)間和服務(wù)水平等。但這些結(jié)果還不能反映系統(tǒng)整體運(yùn)作效率，還要考慮系統(tǒng)在MTO狀態(tài)下的運(yùn)作情形。

3.2 MTO運(yùn)作系統(tǒng)分析

假設(shè)系統(tǒng)啟動/關(guān)閉時(shí)間To、Ts獨(dú)立且服從m階的PH(phase-type)分布，有不可約表示(α，G)和(β,H)，α表示系統(tǒng)中設(shè)備數(shù)量從1到c-e的N維行向量；β表示系統(tǒng)中設(shè)備數(shù)量從1到M+1的N′維行向量(N′=M+N-c+e，M是缺貨水平N的上限)，G和H表示N×N和N′×N′維矩陣，寫為：

(12)

(13)

系統(tǒng)從混合狀態(tài)到MTS狀態(tài)的持續(xù)時(shí)間期望值可以由E(TS)=-αG-1e和E(TO)=-βH-1e求得，其中e是列向量。

②采用PPT及視頻教學(xué)[5]。將重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容在PPT中以圖文并茂的形式展現(xiàn)在學(xué)生面前，提出問題讓學(xué)生討論解答，啟發(fā)思考，使學(xué)生參與其中；再結(jié)合視頻教學(xué)加深理解知識點(diǎn)，并對所學(xué)知識加以鞏固，使學(xué)生理解得更加透徹。

定義Qo為系統(tǒng)正在處理和等待的顧客訂單，則系統(tǒng)訂單數(shù)量不超過隊(duì)列長度的最大值，有E(Qo)≤Qmax，且訂單的數(shù)量始終不會超過系統(tǒng)設(shè)定的最大極限值Qmax。從更經(jīng)濟(jì)的角度考慮，系統(tǒng)不太可能頻繁的關(guān)閉和啟動這些閑置設(shè)備的，只有顧客在系統(tǒng)中排隊(duì)的累計(jì)量達(dá)到一定的臨界值才觸發(fā)，已知E(T)=E(TS)+E(TO)，則為系統(tǒng)服務(wù)效率η有：

(14)

因E(T)是N的增函數(shù)，在混合運(yùn)作過程中，關(guān)閉和開啟生產(chǎn)設(shè)備都有一個(gè)時(shí)間的延遲，缺貨水平N因常態(tài)庫存下降而增大，而服務(wù)強(qiáng)度的ρ就會變小，因此，系統(tǒng)服務(wù)效率會隨N增大而增大。

考慮MTO狀態(tài)是一個(gè)二維馬爾科夫過程{L(t),J(t)}，狀態(tài)空間為：

Ω={(k,j):k≥0,1≤j

其中{L(t),J(t)}是一個(gè)擬生滅過程，矩陣為：

其中所有子塊都是(N+N′)×(N+N′)階方陣，滿足：

(17)

A是矩陣(N+N′)×(N+N′)的子塊，記為：

(18)

若過程正常返，(k,j)表示{L(t),J(t)}狀態(tài)極限變量，并記：

πkj=limP{L(t)=k,J(t)=j}

(19)

系統(tǒng)狀態(tài)平穩(wěn)分布可寫為：

πk=(π0,π1,π2,…),k=1,2,…

(20)

當(dāng)且僅當(dāng)矩陣方程：

(21)

有最小非負(fù)解R，則：

(22)

穩(wěn)態(tài)概率向量可用矩陣幾何解表示為：

πk=π0Rk,k=0,1…

(23)

其中π0是線性齊次方程組：

(24)

的解，滿足正規(guī)化條件：

π0=(I-R)-1e=1

(25)

令R0=0，并且k迭代直到Rk+1-Rk<ε時(shí)，通過矩陣方程可計(jì)算出R的值。由式(25)可求得穩(wěn)態(tài)概率向量值π0，由系統(tǒng)平穩(wěn)分布結(jié)果，可以對系統(tǒng)平均隊(duì)列長度、顧客訂單服務(wù)時(shí)間和等待時(shí)間等關(guān)鍵績效指標(biāo)進(jìn)行測度，寫為：

E(Qo)=π0R(I-R)-2e

(26)

E(T)=[π0R(I-R)-2e]/λo

(27)

E(W)=E(T)-E(Qo)

(28)

4 MTS-MTO混合運(yùn)作模型與算法

通過上述的討論和分析，一個(gè)最優(yōu)化的策略是如何確定系統(tǒng)設(shè)備數(shù)量c、可切換的靈活設(shè)備數(shù)量e，系統(tǒng)訂單量S，以及MTS安全庫存so。由N=S-so，可以等價(jià)的得到一個(gè)策略集合{c,e,N,so}。在確定這些系統(tǒng)參數(shù)的最優(yōu)值時(shí)，約束條件要滿足MTS和MTO顧客服務(wù)水平和最少的設(shè)備數(shù)量、最低的庫存運(yùn)作成本，因此，我們嘗試構(gòu)建一個(gè)可以描述系統(tǒng)運(yùn)作績效指標(biāo)和確定最優(yōu)化策略的數(shù)學(xué)模型：

minTC(c,e,N,so)

E(Qo)≤Qmax

c=minc

(29)

模型求解的思路是首先根據(jù)MTO服務(wù)水平標(biāo)準(zhǔn)確定最低的設(shè)備數(shù)量c和e；其次，由{c,e}找到一個(gè)滿足最優(yōu)化庫存水平和資源分配策略的{N,so}；最后，根據(jù)系統(tǒng)中設(shè)備數(shù)量值c由一個(gè)固定的最小值到e的變化，找到一個(gè)滿足最優(yōu)化條件的策略集u={c,e,N,so}，其中minTC(c,e,N,so)=minu。因?yàn)槟Ｐ颓蠼獾膹?fù)雜性，本文采用了一個(gè)模擬的搜索算法，通過確定幾個(gè)關(guān)鍵參數(shù)邊界值，求得了一個(gè)最優(yōu)策略。

算法步驟如下：

步驟1：計(jì)算minc=max{int(λo/μo+λc/μc)}，e=max{int(c-λc/μc)}；u={}，轉(zhuǎn)入步驟3。

步驟2：如果e+1

步驟3：由{c,e,ε}和式(11)，找到系統(tǒng)成本Tc最小和安全庫存缺貨概率ε最低的(N*,so*)，得到一個(gè)策略集u={c,e,N*,so*}；如果u≠{}，Tc(c,e,N*,so*)>Tc(u)，轉(zhuǎn)入步驟2；否則，進(jìn)入下一步。

步驟4：如果u={c,e,N*,so*}是找到E(Qo)*的可行解，那么E(Qo)和u={c,e,N*,so*}找到的E(Qo)*的值一致；如果E(Qo)*不存在，則轉(zhuǎn)入步驟2。如果E(Qo)*

步驟5：重新設(shè)置參數(shù)u={c,e,N*+1,so*}，找到E(Qo)**，如果E(Qo)**

步驟6：用{c,e,Qmax}找到N的下限值Ndown，且滿足條件E(Qo)

步驟7：用{c,e,Qmax}找到N的上限值Nup，且滿足條件E(Qo)

步驟2；用Nup和式(11)確定上限值so，令N*=Nup,so*=sup，且u={c,e,N*,so*}，進(jìn)入下一步。

步驟8：如果u={}，Tc(c,e,N*,so*)

步驟9：如果e+1

為了檢驗(yàn)算法的有效性，使用上文討論時(shí)給定的參數(shù)值：λs=30，μs=4，λo=3，μo=2，h=10，d=10，w=10，并假設(shè)系統(tǒng)允許缺貨的最大上限Qmax=30個(gè)單位。

由步驟1，得到c=max{int(30/4+3/2)+1,2}=10，e=max{int(10-30/4),1}=2；由步驟3， {c,e}={10,2}和ε找到Tc最小的{N*,so*}={35,9}；由步驟4，u={10,2,35,9},找到E(Qo)*=257.90>Qmax=27；由步驟5，找到E(Qo)**=215.10

令e=2+1=3，由步驟3，找到{c,e}={10,3}時(shí)Tc最小的{N*,so*}={33,12}；由步驟4，u={10,3,33,12},找到E(Qo)*=30.48>Qmax=30；由步驟5，找到E(Qo)**=30.03

令e=3+1=4，由步驟3，找到{c,e}={10,4}時(shí)Tc最小的{N*,so*}={38,12}；由步驟4， 在u={10,4,38,12}是可行解時(shí),找到E(Qo)*=26.65Qmax時(shí)，u={10,4,38,12}是目前迭代出的最優(yōu)策略，由步驟9，e+1

當(dāng)e=4+1=5時(shí)，策略u={10,5,34,13}，當(dāng)u≠{}，Tc(10,5,34,13)>Tc(10,4,38,12)，返回步驟2。按照上述步驟迭代至e=9+1=c時(shí)，由步驟9可知，停止搜索，此時(shí)u={10,4,38,12}仍為成本Tc最小和缺貨概率ε最低的最優(yōu)策略。

5 MTS-MTO混合運(yùn)作系統(tǒng)績效測度分析與討論

為了觀察靜態(tài)系統(tǒng)與動態(tài)系統(tǒng)在單獨(dú)作業(yè)和混合作業(yè)時(shí)的優(yōu)劣，表1～表4分別給出了系統(tǒng)在不同參數(shù)值時(shí)的績效測度值。

表1是MTO和MTS到達(dá)速率最低時(shí)的系統(tǒng)績效值。在這個(gè)系統(tǒng)中，柔性設(shè)備的數(shù)量小于系統(tǒng)中總的設(shè)備數(shù)量。但隨著MTO、MTS到達(dá)速率的增加，靈活設(shè)備的數(shù)量也隨之增加。此時(shí)，由于MTS的松弛資源被切換到了MTO，動態(tài)系統(tǒng)中成品庫存水平較低。而當(dāng)MTS庫存量下降到安全庫存水平so，動態(tài)系統(tǒng)切換所有的柔性設(shè)備返回MTS，此時(shí)，可用于MTS生產(chǎn)作業(yè)的設(shè)備數(shù)量高于靜態(tài)系統(tǒng)的設(shè)備數(shù)量，相對于靜態(tài)系統(tǒng)，動態(tài)切換策略允許系統(tǒng)能夠更快速的幫助MTS恢復(fù)目標(biāo)庫存量S。即使持有較少的成品庫存，MTS在動態(tài)系統(tǒng)的缺貨率(低于0.3%)仍然要低于靜態(tài)系統(tǒng)(0.9～4.8%)。

表1 靜態(tài)系統(tǒng)和動態(tài)系統(tǒng)績效指標(biāo)比較(c=11,λs=33,λo=3)

另一方面，從靜態(tài)系統(tǒng)移動彈性資源到動態(tài)系統(tǒng)，可以減少M(fèi)TS庫存風(fēng)險(xiǎn)，但前提是系統(tǒng)服務(wù)強(qiáng)度要保持在一個(gè)相對較低的水平，此時(shí)MTO運(yùn)作的優(yōu)勢并不明顯。盡管在動態(tài)系統(tǒng)中有更多的容量可用，但動態(tài)系統(tǒng)的平均隊(duì)列長度要大于靜態(tài)系統(tǒng)的平均隊(duì)列長度。出現(xiàn)這種結(jié)果的主要原因是動態(tài)切換策略造成了系統(tǒng)額外速率的變化。在這種情形下，從MTS系統(tǒng)提取的額外容量資源的優(yōu)勢不足以彌補(bǔ)由于系統(tǒng)切換而帶來的重置成本。

表2顯示了系統(tǒng)參數(shù)c=11,λs=21,λo=9，服務(wù)時(shí)間不變、總的需求服務(wù)強(qiáng)度λo/μo+λs/μs為9.75時(shí)的結(jié)果。在這個(gè)系統(tǒng)中，靜態(tài)系統(tǒng)有5臺專用于MTO的設(shè)備，動態(tài)系統(tǒng)有6臺柔性設(shè)備。和模型求解方法示例相同，設(shè)置一個(gè)安全庫存，其中靜態(tài)系統(tǒng)設(shè)置為0、動態(tài)系統(tǒng)設(shè)置為3個(gè)單位，結(jié)果表明，MTS需求率較低的時(shí)候其缺貨風(fēng)險(xiǎn)也較低，系統(tǒng)需要更低或不設(shè)置安全庫存。與表1的示例結(jié)果相似，動態(tài)系統(tǒng)的MTS庫存水平明顯優(yōu)于靜態(tài)系統(tǒng)，混合系統(tǒng)需要更低的MTS庫存，以支持相同或更低的缺貨風(fēng)險(xiǎn)。此時(shí)動態(tài)系統(tǒng)中MTO的平均隊(duì)列長度已接近于靜態(tài)系統(tǒng)的平均隊(duì)列長度。

在動態(tài)的作業(yè)系統(tǒng)中，隨著N的增大和柔性設(shè)備在MTO系統(tǒng)中占用更長時(shí)間，動態(tài)系統(tǒng)組切換策略績效相對于靜態(tài)系統(tǒng)改善的速度也越來越明顯。表3給出了MTO、MTS需求率水平較高時(shí)的績效測度值。仍假設(shè)其服務(wù)時(shí)間不變、總的需求服務(wù)強(qiáng)度為9.75，此時(shí)有8臺設(shè)備專用于靜態(tài)系統(tǒng)MTO生產(chǎn)，而動態(tài)系統(tǒng)中有9臺柔性設(shè)備。靜態(tài)系統(tǒng)的安全庫存設(shè)置為0、動態(tài)系統(tǒng)的安全庫存設(shè)置為9個(gè)單位。如前所述，動態(tài)系統(tǒng)的MTS庫存水平繼續(xù)優(yōu)于靜態(tài)系統(tǒng)，且動態(tài)系統(tǒng)的MTO平均隊(duì)列長度開始低于靜態(tài)系統(tǒng)。顯然，單一切換系統(tǒng)在MTS的資源具有優(yōu)勢時(shí)確實(shí)比混合切換系統(tǒng)運(yùn)作的效果更好，但這個(gè)相對優(yōu)勢隨著N的增加在逐漸縮小。

表2 靜態(tài)系統(tǒng)和動態(tài)系統(tǒng)績效指標(biāo)比較(c=11,λs=21,λo=9)

表3 靜態(tài)系統(tǒng)和動態(tài)系統(tǒng)績效指標(biāo)比較(c=11,λs=9,λo=15)

表4結(jié)果顯示，隨著MTS和MTO服務(wù)需求強(qiáng)度的不斷增加，調(diào)整系統(tǒng)容量帶來的收益開始高于系統(tǒng)重置的變動成本，且動態(tài)系統(tǒng)的平均隊(duì)列長度低于靜態(tài)系統(tǒng)的水平。設(shè)置到達(dá)率與表1相同的水平，但設(shè)備總數(shù)減少到10。為了便于比較，調(diào)整靜態(tài)系統(tǒng)的MTS、MTO服務(wù)速率和動態(tài)系統(tǒng)的需求水平相一致，此時(shí)，靜態(tài)系統(tǒng)有8臺專用MTS設(shè)備和2臺MTO設(shè)備。使用與上述示例相同的規(guī)則設(shè)置安全庫存水平，得到靜態(tài)系統(tǒng)的so=26、動態(tài)系統(tǒng)的so=13。通過比較在較高服務(wù)強(qiáng)度水平下的混合切換策略和單獨(dú)切換策略的動態(tài)系統(tǒng)，我們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)系統(tǒng)的MTS庫存已較為接近，但混合系統(tǒng)的MTS庫存水平略低。值得注意的是單獨(dú)的切換策略和混合的切換策略并不發(fā)生在同一時(shí)點(diǎn)，因此在某些情況下單臺設(shè)備的切換系統(tǒng)可能是兩個(gè)競爭系統(tǒng)的最佳替代方案。

表4 靜態(tài)系統(tǒng)和動態(tài)系統(tǒng)績效指標(biāo)比較(c=10,λs=33,λo=3)

通過表4還可以觀察到成品庫存和MTS缺貨率的變化情況：隨著N增加，動態(tài)MTS利用率增加、MTO利用率下降，而且動態(tài)系統(tǒng)主導(dǎo)了靜態(tài)系統(tǒng)平均庫存水平的變化和缺貨率的大小。尤其是MTS缺貨風(fēng)險(xiǎn)的差異更為明顯：當(dāng)N=30時(shí)，MTS在動態(tài)系統(tǒng)中的缺貨率為1.1%，此時(shí)，靜態(tài)系統(tǒng)的安全庫存必須從so=26增加到160才能滿足批量需求。此外，MTO平均隊(duì)列長度在動態(tài)混合系統(tǒng)比靜態(tài)系統(tǒng)低約1/4。因此，為了更好的利用系統(tǒng)彈性資源，庫存運(yùn)作策略可設(shè)計(jì)為由動態(tài)系統(tǒng)控制靜態(tài)系統(tǒng)的三個(gè)關(guān)鍵績效指標(biāo)：平均庫存、MTS缺貨率和MTO隊(duì)列長度。與上述討論的結(jié)果一致，在服務(wù)強(qiáng)度較低的系統(tǒng)中，MTO比MTS的需求率更高，但MTO的績效表現(xiàn)在動態(tài)和靜態(tài)系統(tǒng)之間的差異更大。

圖5 MTO平均隊(duì)列長度在動態(tài)系統(tǒng)和靜態(tài)系統(tǒng)比較(c=11,e=4,N=40)

隨著MTO運(yùn)作服務(wù)強(qiáng)度的增加，動態(tài)系統(tǒng)資源優(yōu)勢逐漸超過了由于系統(tǒng)切換帶來的變化性的損失，同時(shí)，動態(tài)系統(tǒng)MTO平均隊(duì)列長度優(yōu)于靜態(tài)系統(tǒng)。為了證明這一點(diǎn)，采用表1中使用的參數(shù)值，設(shè)置c=11，N=40，MTO訂單λo的到達(dá)率從2.8增加到3.8，增量為0.2；用于MTO作業(yè)的設(shè)備服務(wù)速率為2，并且靜態(tài)系統(tǒng)需要2臺設(shè)備用于MTO作業(yè)；系統(tǒng)中的服務(wù)強(qiáng)度從0.7變化到0.95，增量為0.05。圖5描述和比較了動態(tài)和靜態(tài)系統(tǒng)MTO平均隊(duì)列長度的變化。當(dāng)系統(tǒng)平均到達(dá)速率處于最大值3.8、系統(tǒng)服務(wù)強(qiáng)度為0.95時(shí)，動態(tài)切換策略減少了約2/3的靜態(tài)系統(tǒng)平均隊(duì)列長度。也就是說，企業(yè)在隊(duì)列長度的減小的窗口期內(nèi)可以縮短MTO訂單交貨時(shí)間，或者在承諾交貨期限內(nèi)接受更多的訂單。

6 結(jié)語

研究通過控制一組可靈活切換設(shè)備的方法，動態(tài)的調(diào)整系統(tǒng)生產(chǎn)資源，實(shí)現(xiàn)對庫存水平的有效控制。我們建立了一個(gè)多服務(wù)臺排隊(duì)模型分別描述了MTS和MTO系統(tǒng)運(yùn)作的主要績效指標(biāo)，提出了混合系統(tǒng)最優(yōu)化的決策模型。分析和比較了不同狀態(tài)下系統(tǒng)運(yùn)作特點(diǎn)，我們發(fā)現(xiàn)，混合系統(tǒng)能夠降低系統(tǒng)運(yùn)作成本和平均隊(duì)列長度，減少顧客等待時(shí)間，并分析了不同狀態(tài)下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率分布和系統(tǒng)參數(shù)之間的變化關(guān)系?；旌蠜Q策的優(yōu)化模型找到了最優(yōu)運(yùn)作策略和成本最小化的機(jī)器使用數(shù)量，并能夠根據(jù)市場變化，靈活調(diào)節(jié)生產(chǎn)彈性，增加了為潛在客戶服務(wù)的能力?；旌舷到y(tǒng)運(yùn)作績效測度結(jié)果表明，動態(tài)靈活的調(diào)整策略和服務(wù)規(guī)則在MTS- MTO混合生產(chǎn)系統(tǒng)具有良好效果和實(shí)踐意義。

未來的研究方向之一是將我們的模型擴(kuò)展到產(chǎn)品需求被定價(jià)決策而影響，而標(biāo)準(zhǔn)化產(chǎn)品的價(jià)格通常是由市場決定的，定制產(chǎn)品相關(guān)的價(jià)格和交貨時(shí)間是系統(tǒng)決策變量和庫存決策時(shí)要考慮的重要因素。此外，本研究另一個(gè)可能的擴(kuò)展是多產(chǎn)品生產(chǎn)情形下，采用不同的切換策略來檢查系統(tǒng)的運(yùn)作性能，考慮通過建立更為靈活的服務(wù)規(guī)則來研究隨機(jī)需求下混合生產(chǎn)系統(tǒng)運(yùn)作績效，而這個(gè)系統(tǒng)不僅僅局限于在MTS狀態(tài)和MTO狀態(tài)。