☉浙江省象山縣第二中學 呂增鋒

☉浙 江 省 象 山 中 學 林薇薇

相對于學生而言，教師是“專家”，知識淵博，思維活躍，各種解題方法信手拈來，但是對教師而言，卻容易忽視學生作為“初學者”思維幼稚與不成熟的一面，往往喜歡把自己的思維理解方式強加給學生，把自己所認為的正確觀點和好的解題方法直接告訴學生，從而導致教師的“教”與學生的“學”嚴重脫節(jié).這種現(xiàn)象在數(shù)學解題教學中尤為突出，教師常常因為過于追求解題方法的“短、頻、快”，忽視問題的探索過程，一味地“灌輸”解題技巧，從而無法使學生的數(shù)學思維能力得到有效提升.于是，教師有效地“稚化”自己的思維，隱蔽自己的外在權(quán)威，懸置自己擁有的知識，不以“專家”自居，而是有意識地把自己的思維降格到與學生相仿的水平，退回到初學者的狀態(tài)，把熟悉當成陌生、把再次授課當成首次接觸，設身處地地揣摩學生的認知狀況和思維特點，以平等身份和學生一起尋找攻克難關的對策就顯得尤為迫切.

一、理解通法，展現(xiàn)思維共性

在解題教學中，很多教師習慣于把“最好”的方法教給學生，而忽視了通解通法在發(fā)展學生思維能力時的重要價值；很多教師習慣于把各種解法“一股腦”地展現(xiàn)給學生，而忽視了一題多解容易導致思維過度分散的副作用.因此，通解通法是解題教學的切入口，它有助于理解發(fā)現(xiàn)學生的思維動向，有助于教師從學生原有知識和經(jīng)驗中找到向“最近發(fā)展區(qū)”發(fā)展的“支架”，把課堂變成師生共同提出問題、解決問題的陣地，促進學生積極參與課堂探究活動，讓學生在親身經(jīng)歷的活動中了解數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程.

問題：已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個零點，則3a+b的取值范圍是______.

分析：本題主要考查二次函數(shù)的圖像、函數(shù)的零點、不等式及利用線性規(guī)劃求范圍等知識點，意在滲透數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，提高運算求解能力.

通法：由題意得：

圖1

其對應的平面區(qū)域如圖1所示.

易知3a+b∈（-5，0）.

利用線性規(guī)劃知識，借助數(shù)形結(jié)合思想是解決此類問題的通法，也是學生固有的思維方式，它是教師進行教學設計時的重要依據(jù)之一，教師能否把握好學生的思維心理和思維特點，能否對學生接受知識的心理作出切合實際的判斷，是教師解題教學成功的關鍵所在.

二、構(gòu)造變式，引發(fā)思維沖突

如果教師平鋪直敘地傳授新的解題方法，就很容易演變成教師個人的“絕活”表演，而學生只能成為置身事外的觀眾.在這樣的情境下，再好的數(shù)學方法與數(shù)學思想也無法激起學生的興趣，教學效果就會大打折扣.如果教師通過構(gòu)造變式，故意給學生制造解題障礙，使得學生原有的解題方法變得不再“合適”，從而引發(fā)思維沖突，迫使學生去尋找新的方法.

變式1：已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）在區(qū)間［0，1］上有兩個零點，則a2-2b的取值范圍是______.

變式2：已知實數(shù)a，b滿足0＜a-b≤1，且函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）在區(qū)間（0，1）上至少有一個零點，則3a+b的取值范圍是______.

分析：變式題的基本解答套路雖然與原題類似，但比較麻煩的是變式1對于“a2-2b”的幾何意義的理解令很多學生一籌莫展，而變式2涉及了分類討論思想，要把“有零點”情況分為兩類：“1個零點或者兩個零點”，這樣解題的過程相對就比較煩瑣了.于是，就引發(fā)了學生對于“其他”簡便解法的思考.

“稚化思維”要求教師把思維的觸角深入到學生的思維領地，進行發(fā)掘和研究，想學生所想，惑學生所惑.因此，根據(jù)教學需要，教師蓄意制造可引起迷惑的思維環(huán)節(jié)，并且在教學難點處，教師裝作一籌莫展的樣子，通過“設疑——析疑——釋疑”的方式來激發(fā)學生的求知欲.

三、回歸本質(zhì)，促進思維共鳴

通常情況下，數(shù)學題目存在著多種解題思路，從表面上看這些解題方法形式繁多，讓人眼花繚亂，但無論哪種解題方法其都根植于數(shù)學問題的本質(zhì).先搞清楚問題的實質(zhì)，然后通過不同角度的分析，就會產(chǎn)生不同的解題方法，從而引發(fā)師生思維的共鳴.

回歸原題，它的本質(zhì)是函數(shù)零點問題的延伸，而零點既可以看成是方程的“根”，也可以理解為兩個函數(shù)圖像之間的“交點”，從思想方法層面上看，“根”、“零點”、“交點”之間的轉(zhuǎn)化實質(zhì)上就是數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化.通常情況下，解決此類問題是把“根”轉(zhuǎn)化為“零點”或者“交點”，把“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，那我們能不能反其道而行呢？

巧法1：把零點轉(zhuǎn)化為根

令方程f（x）=0的兩個根為x1，x2，則f（x）=x2-（x1+x2）x+x1x2，所以a=-（x1+x2），b=x1x2，則3a+b=-3x1-3x2+x1x2=（x1-3）（x2-3）-9，因為x1，x2∈（0，1），所以3a+b∈（-5，0）.

此法對于變式1也適用，能夠迅速得到a2-2b=x12+x22∈［0，2］.

巧法2：把零點轉(zhuǎn)化為交點

因為f（x）=x2+ax+b=0?-x2=ax+b，令g（x）=-x2，h（x）=ax+b，即g（x）=h（x），則h（3）=3a+b.于是，問題轉(zhuǎn)化為當g（x）與h（x）有兩個交點時，求h（3）的取值范圍.如圖2所示，可知當直線h（x）=ax+b與g（x）=-x2相切于原點與點（1，-1）是兩個臨界位置.當相切于點（1，-1）時，容易求得a=-2，b=1，則h（x）=-2x+1，此時h（3）=-5，所以3a+b∈（-5，0）.

此法對變式2也適用，只是與原題相比，變式2多了一組限制條件，反映到圖像上就是多了一條臨界線段.因為0＜a-b≤1，則-1≤h（-1）=-a+b＜0，如圖3所示，則P，Q兩點是h（x）=ax+b滿足題目條件的臨界位置，容易求得3a+b∈（-2，3）.

圖2

圖3

基于“稚化思維”的解題教學一般遵循“舊知識固定點——新知識聯(lián)結(jié)點—新知識生長點”的思維方式進行有序展開，這樣就容易讓學生將學習新知識的過程轉(zhuǎn)化成為自己意義建構(gòu)的過程.

四、辨析訓練，達成思維共振

解題教學最終目的就是在教師組織下，引導學生學習“專家”思維活動成果，實現(xiàn)學生思維結(jié)構(gòu)向“專家”思維結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化.為了順利實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，例題分析后的“辨析應用”是必不可少的，它可以在“專家”與學生思維活動之間架設認知的橋梁，使師生之間在認識程序上達到“同頻”，引起教與學的思維“共振”.

經(jīng)過前面的學習，學生已經(jīng)基本掌握了這類函數(shù)零點問題的解題方法，具體如圖4所示，但在實際解題過程中究竟如何靈活選擇合適的解題方法還需進一步明確，因此，結(jié)合例題進行針對性的辨析訓練是必不可少的.

圖4

例1已知函數(shù)（fx）=x2+ax+b（a，b∈R）在區(qū)間［-1，1］上有零點，且滿足0≤b-2a≤1，則b的取值范圍是______.

例2已知函數(shù)（fx）=x2+ax+b（a，b∈R）在區(qū)間［0，1］上有零點，則ab的最大值是______.

例3已知a，b∈R且0≤a+b≤1，函數(shù)（fx）=x2+ax+b在］上至少存在一個零點，則a-2b的取值范圍為______.

分析上述三道例題的特點，就會發(fā)現(xiàn)，例1與例2適用于“巧法2”，因為它們能夠構(gòu)造出對應的直線與拋物線，b-2a可以轉(zhuǎn)化為h（-2），而而例3適用于“巧法1”，a-2b可以表示為x1，x2的函數(shù).

教師“稚化”自己的思維，以學生的思維方式為教學的起點，惑學生之所惑、難學生之所難、錯學生之所錯、思學生之所思，從而降低數(shù)學理解的門檻，促進知識的自然生成，最終達到“智化”學生思維的目的.