☉江蘇省天一中學(xué) 潘 干
在近幾年的高考題與模擬題中,經(jīng)常會(huì)碰到求解三角形面積的最值或取值范圍問題.此類問題的前景往往活潑多樣,而且解答難度較大,解決問題的思維方式多變,解決方法有時(shí)也多樣.下面結(jié)合一道三角形面積的最值問題來加以實(shí)例剖析,結(jié)合多維角度切入,達(dá)到殊途同歸,多點(diǎn)開花.
例題在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若則△ABC面積的最大值為______.
分析:本題給出三角形相關(guān)邊與角的關(guān)系的兩個(gè)關(guān)系式,根據(jù)射影定理與正弦定理得到c=1與a=2b,接下來解決問題的關(guān)鍵是找到三角形面積公式中所需要的一個(gè)角的正弦值或是對(duì)應(yīng)的底邊與高線之間的關(guān)系,可以借助余弦定理來轉(zhuǎn)化,可以借助平面直角坐標(biāo)系來處理,還可以借助海倫公式來巧妙解決,不同的切入點(diǎn)都要巧妙代入三角形的面積公式,綜合利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、利用基本不等式、利用不等式的性質(zhì)等來確定對(duì)應(yīng)的最值即可,進(jìn)而達(dá)到求解問題的目的.根據(jù)射影定理與正弦定理得到c=1與a=2b,通過余弦定理得到cosC的值,結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得sinC的關(guān)系式,代入三角形的面積公式,通過二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定三角形面積的最大值即可.
解法1:根據(jù)射影定理得c=acosB+bcosA.
根據(jù)射影定理與正弦定理得到c=1與a=2b,通過余弦定理得到cosA的值,結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得sinA的關(guān)系式,代入三角形的面積公式,通過二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定三角形面積的最大值即可.
解法2:根據(jù)射影定理得c=acosB+bcosA.
根據(jù)射影定理與正弦定理得到c=1與a=2b,通過構(gòu)造圖形,利用三角形邊與角之間的關(guān)系得到cosB的值,結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得sinB的關(guān)系式,代入三角形的面積公式,通過二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定三角形面積的最大值即可.
解法3:根據(jù)射影定理得c=acosB+bcosA.
如圖1,過A作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D,可得|AD|=sinB,
根據(jù)射影定理與正弦定理得到c=1與a=2b,結(jié)合c=1為定值,要求三角形面積的最大值,只需求出對(duì)應(yīng)的高的最大值即可,而通過建立平面直角坐標(biāo)系,根據(jù)距離公式建立關(guān)系式,得到頂點(diǎn)C的軌跡方程為對(duì)應(yīng)的圓的方程,那么點(diǎn)C取得離x軸距離最遠(yuǎn)的點(diǎn),即高為對(duì)應(yīng)的半徑,則可得到三角形面積的最大值.
解法4:根據(jù)射影定理得c=acosB+bcosA.
以AB邊所在直線為x軸,AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則
由a=2b可得a2=4b2,即整理可得
根據(jù)射影定理與正弦定理得到c=1與a=2b,通過半周長(zhǎng)的求解,結(jié)合海倫公式得到對(duì)應(yīng)的三角形面積的關(guān)系式,利用含參數(shù)b的表達(dá)式的變形,利用基本不等式來確定三角形面積的最大值即可.
解法5:根據(jù)射影定理得c=acosB+bcosA.
總結(jié):涉及三角形的面積的最值問題,解決問題的總體思維是通過代數(shù)運(yùn)算,將幾何模型代數(shù)化,利用正弦定理、余弦定理、三角相關(guān)公式等來轉(zhuǎn)化與解題,利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、基本不等式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、不等式的基本性質(zhì)等來確定最值.解決此類問題時(shí)還要注意的是,在利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、基本不等式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、不等式的基本性質(zhì)等確定最值時(shí),一定要考慮等號(hào)成立的條件.如果不等式多次放縮,那么等號(hào)成立的條件要同時(shí)成立,不要忽視.
通過從多個(gè)不同角度來處理,巧妙地把該題的底蘊(yùn)充分挖掘出來,多角度出發(fā),多方面求解,真正體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通,充分展現(xiàn)知識(shí)的交匯與綜合,達(dá)到提升能力,拓展應(yīng)用的目的.進(jìn)而真正達(dá)到在學(xué)中“悟”,在“悟”中不斷提升解題技能.正如我國(guó)著名數(shù)學(xué)家蘇步青先生所言:“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題,邊做邊思索,先知其然,然后知其所以然.”