陳正倉(cāng) ，周維佳

（1.中國(guó)科學(xué)院沈陽(yáng)自動(dòng)化研究所 機(jī)器人學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 沈陽(yáng) 110016；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

1 引言

隨著航空航天工業(yè)的不斷發(fā)展，空間機(jī)械臂越來(lái)越多地代替或輔助宇航員完成部分或全部的空間任務(wù)。目前，空間機(jī)械臂系統(tǒng)主要包括固定基空間機(jī)械臂系統(tǒng)，自由飛行系統(tǒng)和自由漂浮系統(tǒng)。前兩種系統(tǒng)與自由飛行系統(tǒng)的根本區(qū)別在于：前者的基體上安裝有位姿控制系統(tǒng)。盡管基體位姿控制系統(tǒng)具有較多的優(yōu)點(diǎn)，但是其缺點(diǎn)也較為明顯。其中包括，姿態(tài)控制器姿控能力的飽和問(wèn)題，位置控制器廢氣影響臨近結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的問(wèn)題，尤其要提到的是，位姿控制系統(tǒng)會(huì)消耗過(guò)多的不可再生能源，進(jìn)而增加空間機(jī)械臂系統(tǒng)的制造成本，甚至影響整個(gè)太空任務(wù)的壽命。因此，漂浮基空間機(jī)械臂系統(tǒng)越來(lái)越受到科學(xué)家們的重視。與固定基機(jī)械臂系統(tǒng)（如工業(yè)機(jī)械臂）不同，漂浮基空間機(jī)械臂系統(tǒng)（自由漂浮系統(tǒng)）在運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)和控制方法方面存在著諸多新的特點(diǎn)[1-2]。

由于沒(méi)有固定約束，機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致漂浮基體的位姿發(fā)生變化，基體位姿變化又會(huì)反過(guò)來(lái)影響機(jī)械臂末端執(zhí)行器的定位和操作精度。這種內(nèi)部耦合關(guān)系使得機(jī)械臂的控制變得更加復(fù)雜[3]。

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在多體系統(tǒng)非完整性分析領(lǐng)域做了很多工作。文獻(xiàn)[4]對(duì)非完整系統(tǒng)在控制過(guò)程中的應(yīng)用進(jìn)行了綜述。文獻(xiàn)[5]對(duì)空間機(jī)械臂系統(tǒng)目標(biāo)捕獲過(guò)程中的零響應(yīng)操作進(jìn)行了分析，其中，系統(tǒng)的非完整性是問(wèn)題出現(xiàn)的最大障礙，同時(shí)也是求解問(wèn)題的關(guān)鍵。文獻(xiàn)[6]對(duì)具有非完整約束的輪式移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤和避障進(jìn)行了研究。

與固定基機(jī)械臂這樣的完整系統(tǒng)相比，漂浮基空間機(jī)械臂系統(tǒng)的非完整性具體體現(xiàn)在：

（1）當(dāng)機(jī)械臂按照既定關(guān)節(jié)路徑運(yùn)動(dòng)后，然后再按照相反的關(guān)節(jié)路徑運(yùn)動(dòng)到初始關(guān)節(jié)位置時(shí)，機(jī)械臂末端執(zhí)行器相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的位置發(fā)生較大變化；

（2）當(dāng)機(jī)械臂按照一定的閉合關(guān)節(jié)路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，漂浮基體同樣不會(huì)回到初始位置；

（3）利用漂浮基系統(tǒng)的這種特性，通過(guò)輸入多個(gè)周期性的閉合關(guān)節(jié)路徑，可以以此來(lái)調(diào)節(jié)基體的姿態(tài)，最終獲得理想的基體位姿狀態(tài)。

為了更加清楚的了解系統(tǒng)內(nèi)部的這種耦合關(guān)系，必須對(duì)系統(tǒng)的非完整性進(jìn)行深入的討論[7]。完整與非完整的概念是力學(xué)上對(duì)約束的分類(lèi)方式，系統(tǒng)的非完整性體現(xiàn)在系統(tǒng)是否存在非完整約束[8]。漂浮基空間機(jī)械臂系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性變得復(fù)雜的根本原因是系統(tǒng)內(nèi)部的某些約束是非完整的。最終，通過(guò)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)[9]分析，進(jìn)行仿真試驗(yàn)過(guò)程。

2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)一般方程

漂浮基空間機(jī)械臂系統(tǒng)是由一個(gè)漂浮基體和安裝在其上的n單自由度關(guān)節(jié)機(jī)械臂組成的。假設(shè)系統(tǒng)處于微重力環(huán)境中且不受外力作用；不考慮關(guān)節(jié)摩擦，按照從基體到末端連桿的方向?qū)Ω鬟B桿進(jìn)行編號(hào)。

圖1 漂浮基空間機(jī)械臂系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Structure Diagram of a Space Based Manipulator System

選擇系統(tǒng)廣義坐標(biāo)變量為：基體位姿速度（包括質(zhì)心線速度和瞬時(shí)定軸轉(zhuǎn)速）變量=（，）T∈R6和關(guān)節(jié)角速度變量φ˙∈Rn，該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為[10]：

式中：H（φ）∈R（n+6）×（n+6）—系統(tǒng)廣義慣性質(zhì)量矩陣；

τ∈Rn—作用在n個(gè)主動(dòng)關(guān)節(jié)上的輸入力矩矢量。

對(duì)于圖1的系統(tǒng)，因?yàn)槠涮幱谖⒅亓Νh(huán)境，忽略系統(tǒng)勢(shì)能，

其動(dòng)能可表示為：

選擇漂浮基固連坐標(biāo)系為參考系，由于系統(tǒng)不受外力干擾且初始動(dòng)量為零，根據(jù)動(dòng)量守恒定理可知：

式中：Hb（φ）∈R6×6—基座廣義質(zhì)量矩陣；

Hbφ（φ）∈R6×n—基座與機(jī)械臂廣義耦合質(zhì)量矩陣。

將式代入式可得，系統(tǒng)關(guān)于獨(dú)立輸入關(guān)節(jié)變量的一般方程：

式中：H*（φ）∈Rn×n—機(jī)械臂廣義慣性質(zhì)量，與固定基系統(tǒng)相比，此質(zhì)量矩陣是此類(lèi)系統(tǒng)的一般表現(xiàn)形式，當(dāng)漂浮基慣性參數(shù)較之于機(jī)械臂較大，甚至是機(jī)械臂慣性參數(shù)可以忽略時(shí)，二者近似相等。

3 系統(tǒng)非完整性分析

本節(jié)主要討論系統(tǒng)的非完整性問(wèn)題。從非完整性定義出發(fā)，給出系統(tǒng)約束類(lèi)型，根據(jù)相關(guān)已知條件和判定定理，最終判定系統(tǒng)的非完整性質(zhì)。另外，從實(shí)際系統(tǒng)特征角度考慮，廣義坐標(biāo)存在不可積分項(xiàng)，也可以說(shuō)明系統(tǒng)在特定方向上是非完整的，那么整個(gè)系統(tǒng)就是非完整的。

3.1 系統(tǒng)非完整性判定

約束一般分為幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束兩類(lèi)，幾何約束只限制系統(tǒng)的空間位形，約束方程可表示為：

式中：參數(shù) t表示時(shí)間，q=［q1，q2，…，qn］T—系統(tǒng)位形的廣義坐標(biāo)向量；n—廣義坐標(biāo)的空間維數(shù)。而運(yùn)動(dòng)約束不僅顯示系統(tǒng)的空間位形，還限制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)速度，其約束方程可表示為：

式中：m—系統(tǒng)獨(dú)立約束的個(gè)數(shù)。

然而，在很多實(shí)際問(wèn)題中，運(yùn)動(dòng)約束可以實(shí)現(xiàn)關(guān)于系統(tǒng)廣義速度的線性化，即：

當(dāng)系數(shù)矩陣W（q）是行滿秩的，且m＜n。此時(shí)的約束類(lèi)型被稱(chēng)為普法夫（Pfaffian）約束。

定義1：n維向量空間Rn中存在兩個(gè)變矢量域X1（x）∈Rn和X2（x）∈Rn，那么，X1和 X2的李括號(hào)運(yùn)算，可寫(xiě)作［X1，X2］，也是一個(gè)n維矢量域，可表示為：

定義2：由一個(gè)或幾個(gè)線性無(wú)關(guān)的n維變矢量域Xi（x）∈Rn所張成的n維線性子空間被稱(chēng)為一個(gè)分布。一般地，這個(gè)分布可以用如下形式表示：

定義3：如果一個(gè)分布△中任意兩個(gè)矢量的李括號(hào)仍屬于這個(gè)分布，即該分布內(nèi)的李括號(hào)運(yùn)算具有閉合性，則稱(chēng)此分布具有對(duì)合性。定理1：滿足普法夫約束條件的獨(dú)立速度坐標(biāo)可積分的充要條件是其組成的分布滿足對(duì)合性（弗羅貝尼烏斯定理（Frobenius’Theorem））。

3.2 漂浮基空間機(jī)械臂系統(tǒng)的非完整性分析

對(duì)于圖1的系統(tǒng)，定義系統(tǒng)狀態(tài)變量為系統(tǒng)廣義姿態(tài)（3-2-1歐拉角 θ=［θ1，θ2，θ3］）矢量，即 y＝（θT，φT）T，輸入變量 u=φ˙。由式可知，基體姿態(tài)速度矢量與系統(tǒng)關(guān)節(jié)角速度之間的關(guān)系可表示為：

式中：Jωbφ—移動(dòng)基座相對(duì)于機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)雅克比矩陣。

根據(jù)剛體角速度表示變換法則，可知基體姿態(tài)矢量對(duì)時(shí)間的微分與其瞬時(shí)定軸角速度之間的關(guān)系可表示為：

聯(lián)立式和式，系統(tǒng)狀態(tài)方程可以寫(xiě)為：

為了說(shuō)明系統(tǒng)的完整性，選擇系數(shù)矩陣K的n個(gè)列向量作為n個(gè)變矢量域，構(gòu)成了廣義速度分布span（K1，…，Kn）。其中變矢量域 Ki=（a1i，a2i，a3i，eTi）T，ei∈Rn—單位標(biāo)準(zhǔn)矢量。

計(jì)算任意兩個(gè)變矢量域Ki和Kj的李括號(hào)，有

式中：矢量 b=（b1ij，b2ij，b3ij，0）T不能恒為 0，即［Ki，Kj］?span（K1，…，Kn）。因此系統(tǒng)狀態(tài)方程所對(duì)應(yīng)的廣義速度分布內(nèi)不滿足李括號(hào)運(yùn)算的閉合性，根據(jù)定義1、定義2、定義3以及弗羅貝尼烏斯定理可知，漂浮基空間機(jī)械臂系統(tǒng)是一個(gè)非完整系統(tǒng)。

4 3DOF空間機(jī)械臂系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

以三維空間中三連桿漂浮基空間機(jī)械臂系統(tǒng)為對(duì)象進(jìn)行仿真，選擇整個(gè)系統(tǒng)的質(zhì)心為慣性系原點(diǎn)，并分別在基體質(zhì)心處以及各連桿關(guān)節(jié)中心處建立各連體坐標(biāo)系，基體連體坐標(biāo)系方向初始時(shí)刻與慣性系方向相同。如圖2所示。其中，連桿固結(jié)矢量a表示系統(tǒng)各連桿質(zhì)心到相應(yīng)連桿關(guān)節(jié)的位置矢量，矢量b表示關(guān)節(jié)質(zhì)心到下一連桿關(guān)節(jié)的位置矢量。矩陣I表示系統(tǒng)各連桿的等效慣性張量，對(duì)每一個(gè)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，可以將每個(gè)剛性連桿的慣性張量矩陣在固結(jié)坐標(biāo)系下用中心慣性張量代替。系統(tǒng)幾何慣性參數(shù)，如表1所示。

圖2 3-DOF空間機(jī)械臂系統(tǒng)簡(jiǎn)圖Fig.2 A 3-DOF Space Based Manipulator System

表1 系統(tǒng)相關(guān)幾何、慣性參數(shù)Tab.1 Geometric and Inertia Parameters of the System

設(shè)定仿真初始值為關(guān)節(jié)角度φ=［0；0；0］（系統(tǒng)初始時(shí)刻處于展開(kāi)狀態(tài)）。以機(jī)械臂空載轉(zhuǎn)移過(guò)程為研究對(duì)象，按照一定的關(guān)節(jié)控制率τ=K（qd-q）+Dq˙給機(jī)械臂關(guān)節(jié)施加主動(dòng)關(guān)節(jié)輸入。給定關(guān)節(jié)目標(biāo)狀態(tài)qd=［0.5；-0.2；0.3］，進(jìn)而規(guī)劃系統(tǒng)關(guān)節(jié)路徑，獲得仿真結(jié)果。

仿真結(jié)果：仿真過(guò)程中關(guān)節(jié)角的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖3所示?；w質(zhì)心位置與姿態(tài)所受的響應(yīng)情況，如圖4所示。從以上仿真結(jié)果可以看出，與固定基系統(tǒng)不同，當(dāng)機(jī)械臂關(guān)節(jié)按照一定的控制率運(yùn)動(dòng)時(shí)，機(jī)械臂通過(guò)關(guān)節(jié)1對(duì)基體產(chǎn)生力的作用，相應(yīng)地，基體的位姿受到擾動(dòng)；反過(guò)來(lái)，基體位姿的運(yùn)動(dòng)又會(huì)對(duì)機(jī)械臂的末端位移和運(yùn)動(dòng)精度產(chǎn)生影響。這正是式所描述的系統(tǒng)內(nèi)部存在的動(dòng)力學(xué)耦合現(xiàn)象。為了更有力的說(shuō)明系統(tǒng)的非完整性，進(jìn)行進(jìn)一步的仿真試驗(yàn)。令關(guān)節(jié)角繼續(xù)按關(guān)節(jié)路徑從目標(biāo)位置qd回歸初始位置，如圖5所示?；w姿態(tài)響應(yīng)的變化情況，如圖6所示。對(duì)比仿真結(jié)果圖4和圖6，當(dāng)機(jī)械臂關(guān)節(jié)完成一個(gè)閉環(huán)路徑時(shí)，基體姿態(tài)并沒(méi)有回歸到初始狀態(tài)。因此可以說(shuō)明，基體姿態(tài)的變化過(guò)程不僅與系統(tǒng)當(dāng)前關(guān)節(jié)角有關(guān)，還與關(guān)節(jié)角運(yùn)動(dòng)歷史有關(guān)，這也恰恰說(shuō)明了系統(tǒng)的非完整性。

圖3 關(guān)節(jié)角變化軌跡Fig.3 Path of Joints

圖4 基體RPY角變化曲線Fig.4 The RPY Angle Curves of a Floating Base

圖5 關(guān)節(jié)路徑II（從目標(biāo)位置回歸初始位置）Fig.5 Path II of Joints（From Desirable Configuration to Initial One）

圖6 基體RPY角變化曲線IIFig.6 The RPY Angle Curves II of a Floating Base

5 結(jié)語(yǔ)

（1）以漂浮基空間機(jī)械臂系統(tǒng)為對(duì)象，建立了機(jī)械表與漂浮基體之間的耦合動(dòng)力學(xué)模型；

（2）討論了物理系統(tǒng)的非完整特性，并給出了漂浮基空間機(jī)械臂系統(tǒng)非完整性的判定過(guò)程；

（3）給出兩組仿真試驗(yàn)，第一組試驗(yàn)結(jié)果表明，機(jī)械臂的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)會(huì)對(duì)基體的位姿帶來(lái)影響，即機(jī)械臂和漂浮基體之間存在耦合關(guān)系，第二組試驗(yàn)結(jié)果表明，系統(tǒng)關(guān)節(jié)輸入條件閉合的情況下，基體位姿沒(méi)有回到初始狀態(tài)，這也反映了系統(tǒng)是一個(gè)非完整系統(tǒng)。