王 磊 ，劉 洋 ，許慶兵

（1.滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽滁州239000；2.滁州學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，安徽滁州239000）

1 預(yù)備知識(shí)

環(huán)常通過它們的模來研究，因?yàn)槟？梢钥醋魇黔h(huán)的表示。每個(gè)環(huán)R都有一個(gè)自然的模結(jié)構(gòu)，其模乘定義為環(huán)中的乘法，所以通過模的方法更具有一般性。因此，人們經(jīng)常通過某個(gè)環(huán)上的模范疇來研究環(huán)。Morita等價(jià)就是這一觀點(diǎn)的一個(gè)自然結(jié)論。

設(shè) M 是左 R-右 S-雙模RMS，對任意 r∈R，定義 λ（r）（x）=rx，則 λ∶R→End（MS）是環(huán)同態(tài)。對任意s∈S，定義 ρ（s）（x）=xs，則 ρ∶S→End（RM）是環(huán)同態(tài)。若 λ 或 ρ是單射，則稱RM（或 MS）是忠實(shí)的；若 λ 和ρ是滿射，則稱RMS是平衡雙模；若λ和ρ是雙射，則稱RMS是忠實(shí)平衡雙模。若RMS是忠實(shí)（平衡）雙模，則RM和MS均為忠實(shí)（平衡）的。若RMS是忠實(shí)平衡雙模，則RM是生成子當(dāng)且僅當(dāng)MS是有限生成投射模。

設(shè)R與S均為環(huán)，若Mod-R≈Mod-S，則稱R與S是Morita等價(jià)，記為R≈S。設(shè)F：Mod-R≈Mod-S，G：Mod-S≈Mod-R，η：GF→1Mod-R，ξ：FG→1Mod-S，則有交換圖，如圖 1 所示。

圖1 等價(jià)交換圖

對任意RM、SN，存在Z-模同態(tài)

當(dāng)RM≈MS時(shí)，φ 與 θ是自然同構(gòu)，且（G，F(xiàn)）和（F，G）是伴隨對。

本文的環(huán)均為有單位元的結(jié)合環(huán)，Morita等價(jià)的詳細(xì)介紹參見文獻(xiàn)［1-4］，最新研究進(jìn)展參見文獻(xiàn)［5-6］。

2 Morita不變量

引理1（Eilenberg-Watts） 對函子F：Mod-R→Mod-S，以下條件等價(jià)：

（1）F有右伴隨函子G；

（2）F右正合且保持直和（直積）；

（3）對R-S-雙模P，F(xiàn)?-?RP，G?HomS（P，-）。

證明（3）?（1）：令G?HomS（P，-）。

（1）?（2）：因?yàn)镕是G的左伴隨函子，所以F右正合且保持直和。

（2）?（3）：令P=F（S），因F是函子，有EndR（R）→EndS（F（R））=EndS（P），因而，對任意r∈R，由r左乘可得R-自同態(tài)λr，因而可誘導(dǎo)F（R）=P的S-自同態(tài)F（λr），對r∈R，p∈P，定義rp：=F（λr）（p），則P是R-S-雙模。

對M∈Mod-R，M?HomR（R，M）→HomS（F（R），F(xiàn)（M））?HomS（P，F(xiàn)（M）），由此得fM：M→HomS（P，F(xiàn)（M））。事實(shí)上fM是R-模同態(tài)。由張量與Hom函子伴隨性HomR（M，HomS（P，F(xiàn)（M）））?HomS（M?RP，F(xiàn)（M）），fM誘導(dǎo) S-模同態(tài) gM：M?RP→F（M）。

因?yàn)樗羞@些結(jié)構(gòu)都是自然的，所以有自然變換g：-?RP→F，因gR同構(gòu)且R是Mod-R的生成子，所以g是自然同構(gòu)。

引理2 設(shè)R，S是有直積的abel范疇。令F，G：R→S是保直積的正合函子，F(xiàn)→G是一自然變換。若F（P）?G（P），其中 P 是R 的生成子，則 F?G。

證明 記P(I)表示直積，令M∈R，則M又可分解為：P(I)→P(J)→M→0。在F與G作用下有下面行為正合的交換圖，如圖2所示。在豎直方向，左邊與中間的態(tài)射是同構(gòu)，則最右邊也是同構(gòu)。

圖2 正合交換圖

定理 1 設(shè) F：Mod-R→Mod-S 是范疇等價(jià)，M，M′，M′∈Mod-R，則：

（1）0→M′→M→M′→0在Mod-R中正合?0→F（M′）→F（M）→F（M′′）→0在Mod-R中正合；

（2）⊕α∈AMα=（M，（Pα）α∈A）?⊕α∈AF（Mα）=（F（M），（F（Pα））α∈A）；

（3）U 是 M-投射（M-內(nèi)射）模?F（U）是 F（M）-投射（F（M）-內(nèi)射）模；

（4）U是投射（內(nèi)射）模?F（U）是投射（內(nèi)射）模；

（5）U是生成（余生成）M?F（U）是生成（余生成）F（M）；

（6）U是生成（余生成）子?F（U）是生成（余生成）子；

（7）單同態(tài)（滿同態(tài)）f：M→M′是本質(zhì)（多余）的?F（f）：F（M）→F（M′）是本質(zhì)（多余）的；

（8）f：M→M′是內(nèi)射包（投射蓋）?F（f）：F（M）→F（M′）是內(nèi)射包（投射蓋）；

（9）M是有限生成（有限余生成）?F（M）有限生成（有限余生成）。

證明 （1）（2）證明參見文獻(xiàn)［3］。

（3）?，設(shè)f：f（M）→f（M′）是滿同態(tài)，則θ（f）滿同態(tài)。設(shè)g：F（U）→N，則由U的投射性有交換圖，如圖3所示。即θ（f）h=θ（g）。所以g=θ-1（θ（f）h）=fF（h），故F（U）是F（M）-投射模。

圖3 U投射交換圖

?設(shè)f：M→G（N）是滿同態(tài)，g：U→G（N），則θ-1（f）：F（M）→N是滿同態(tài)，由F（U）的投射性有交換圖，如圖4所示。即存在h，使得θ-1（f）h=θ-1（g）。故g=θ（θ-1（g））=θ（θ-1（f）h）=fθ（h），即存在θ（h）：U→M，使得g=fθ（h），故 U 是 M-投射。

圖 4 F（U）投射交換圖

（4）由（3）直接可得。

（5）U 是生成 M，所以有 U(A)→M→0，由（2）有（FU）(A)→F（M）→0。

（6）由（5）可得。

（7）?欲證 F（f）：F（M）→F（M′）本質(zhì)，即證對任意同態(tài) g：F（M′）→N，若 gF（f）單，要有 g 單。而當(dāng)gF（f）單時(shí)，φ（gF（f））=φ（g）f單，若 f本質(zhì)，則 φ（g）單，有 g 單，故 F（f）本質(zhì)。

?要證 f：M→M′本質(zhì)，即證對任意同態(tài) g：F（M′）→N，若 G（g）f單，要有 G（g）單。而當(dāng) G（g）f單時(shí)，由于θ-1（G（g）f）=GF（f）單，而F（f）本質(zhì)，故g單，所以G（g）單，因而f本質(zhì)。

（8）由（4）（7）可得。M′內(nèi)射就有 F（M′）內(nèi)射。f本質(zhì)就有 F（f）本質(zhì)，故 F（f）為內(nèi)射包。

（9）由（5）（2）可得。

3 Morita等價(jià)的刻劃

定義1 若RP是有限生成投射生成子，則稱RP是預(yù)生成子（progenerator）。

例如RP 是預(yù)生成子,當(dāng)且僅當(dāng)存在 m＞0，n＞0，使得 R(m)?P⊕P ′，且 R(n)?R⊕R ′。

定理 2 設(shè) R≈S，F(xiàn)：Mod-R→Mod-S，G：Mod-S→Mod-R 是互逆等價(jià)函子。令 P=F（R），Q=G（S），則有：

（1）存在雙模SPR，RQS同構(gòu)：P?RQ?S，Q?RP?R，其逆也成立；

（2）SPR，RQS忠實(shí)平衡；

（3）SP，PR，RQ，QS均為預(yù)生成子；

（4）SPR?HomS（Q，S）?HomR（Q，R），RQS?HomS（P，S）?HomR（P，R）；

（5）F=HomR（Q，-）?（P?R-），G=HomS（P，-）?（Q?S-）。

證明（1）依題意知（F，G）是伴隨對，由引理1可得F?-?RQ，G?HomS（Q，-）。類似的，（G，F(xiàn)）也是伴隨對，也有 G?-?SP，F(xiàn)?HomR（P，-）。因?yàn)?F與 G 擬逆函子，所以有自然同構(gòu)：1?GF?-?R（Q?SP），1?FG?-?S（P?RQ），因此有P?RQ?S，Q?RP?R。

反之，假設(shè)有雙模同構(gòu)P?RQ?S，Q?RP?R，令F?-?RQ，G?-?SP，則有FG?-?S（P?RQ）?-?SS?1。同理GF=1。因而F與G可逆。所以Mod-R?Mod-S。

（2）由附加結(jié)構(gòu)知 RR可誘導(dǎo)雙模SF（P）R，即SPR，SSS可誘導(dǎo)雙模RG（S）S，即RQS。由于 R?End（RR），而 End（RR）?End（SF（R）），所以 R?End（SF（R））?End（SP）。由于SP=F（RR）且RR 是預(yù)生成子，故SP 是預(yù)生成子。由預(yù)備知識(shí)知PR忠實(shí)平衡，所以SPR忠實(shí)平衡。同理可證RQS忠實(shí)平衡，RQ，QS均為預(yù)生成子，所以（2）（3）得證。

所以（4）得證。

設(shè)M∈Mod-R，HomS（S，F(xiàn)（M））?HomR（G（S），M）=HomR（Q，M），而HomS（S，F(xiàn)（M））?F（M），所以F（M）?HomR（Q，M），由張量函子與Hom的伴隨性可得F=HomR（Q，-）?（P?R-）。同理可證G=HomS（P，-）?（Q?S-）。所以（5）得證。

推論1 設(shè)R與S為環(huán)，F(xiàn)：Mod-R→Mod-S，G：Mod-S→Mod-R為加法函子，則F和G互逆等價(jià)?存在雙模SPR使得：

（1）SP，PR為預(yù)生成子；

（2）SPR平衡雙模；

（3）F?（P?R-），G=HomS（P，-），且若有雙模SPR滿足上述條件，則Q?HomR（P，R）是RQS雙模，其中RQ，QS均為預(yù)生成子，F(xiàn)=HomR（Q，-），G=HomS（P，-）。