江蘇省吳縣中學(xué) (郵編：215151)

利用函數(shù)圖象解決函數(shù)相關(guān)的值域、單調(diào)性、零點(diǎn)問題在高考和各地模擬考試中已經(jīng)屢見不鮮，而解決這類問題的本質(zhì)就應(yīng)該是準(zhǔn)確的畫出函數(shù)所對應(yīng)的“草圖”.有了精確的“草圖”，函數(shù)中相應(yīng)的問題就都能夠迎刃而解了.

但是在具體解題過程中學(xué)生解題的受阻點(diǎn)往往就是在如何能夠“簡單精確”的畫出函數(shù)的“草圖”.我們的課堂教學(xué)有時因?yàn)槭艿浇虒W(xué)進(jìn)度的影響，在函數(shù)圖象教學(xué)環(huán)節(jié)可能不夠深入，講解的不夠透徹，導(dǎo)致學(xué)生對此類問題理解的不深入、不透徹、不全面.

在一次學(xué)校組織的月考中有一道填空題：“函數(shù)y=2x-1,x∈(-∞,2],則該函數(shù)的值域?yàn)開_____.”本人執(zhí)教的兩個班級該題的得分并不是很理想，這樣的分?jǐn)?shù)與出題者的原本預(yù)期有著很大的出入，深入了解后究其原因，發(fā)現(xiàn)問題出在多數(shù)學(xué)生在解決該問題時雖然都是從圖象作為切入點(diǎn)，但是作圖時往往畫的很“草”，沒有抓住函數(shù)圖象的“細(xì)節(jié)”——漸近線，導(dǎo)致從圖象上看函數(shù)值域時候出現(xiàn)了偏差，本題其實(shí)就是將學(xué)生熟知的指數(shù)函數(shù)y=2x整體向下平移1個單位，但是指數(shù)函數(shù)y=2x本身是有一條漸近線，但是與x軸重合了，平日作圖時學(xué)生不需要單獨(dú)再添加，可是在將該函數(shù)向下平移時候，漸近線也應(yīng)該同時向下平移，所以必須獨(dú)立添加，不可忽視.但是此時學(xué)生往往壓根兒沒有考慮到，所以最終得到了錯誤的結(jié)果(-∞,3],而非正確答案(-1,3].

既然發(fā)現(xiàn)了問題，找到了“惹禍”的根源，那么接下來就必須“痛定思痛”，反思我們的教學(xué)，幫助學(xué)生減少或者避免這些無謂的失分.可是在教材上雖然在反比例函數(shù)、指對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及正切函數(shù)都已經(jīng)涉及到了漸近線，但是并沒有真正意義上的完善漸近線的概念，究其緣由可能是由于現(xiàn)在的教材淡化了極限的內(nèi)容，所以課堂上教師的教學(xué)與學(xué)生的學(xué)習(xí)基本上只是從圖象上去直觀的感受，這也就導(dǎo)致了學(xué)生對漸近線理解不到位，沒有達(dá)到“數(shù)形統(tǒng)一的境界”.可是在平時的練習(xí)中、考試中、甚至在高考題中，都會有漸近線的出現(xiàn)，所以教師在教學(xué)中還是要對漸近線加以強(qiáng)化，從而避免在這一“細(xì)節(jié)”方面出現(xiàn)無謂的失分.

現(xiàn)將常見函數(shù)的漸近線做了一下匯總，希望能得到專家的指點(diǎn).

1 反比例函數(shù)的漸近線

反比例函數(shù)是初中所熟知的基本初等函數(shù)之一，函數(shù)有兩條漸近線分別為x、y軸，而在高中階段所涉及的反比例函數(shù)往往會將其進(jìn)行平移，在平移過程中學(xué)生就會將原有的漸近線忽略掉，從而導(dǎo)致在判斷值域或函數(shù)零點(diǎn)的時候出現(xiàn)問題.

例1(2017年南京高三一模)設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，

若函數(shù)y=f(x)-m有四個不同的零點(diǎn)，則m的取值范圍______.

圖1

圖2

若函數(shù)g(x)=f(x)-ax有三個不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

2 指對數(shù)函數(shù)的漸近線

這里所謂的“指對數(shù)型”函數(shù)其實(shí)是將指對數(shù)函數(shù)進(jìn)行一系列的平移變換后得到的新的函數(shù)，在平移過程中同樣也一定要注意原函數(shù)中漸近線的變化.

例3設(shè)函數(shù)

若函數(shù)y=f(x)-m有三個不同的零點(diǎn)x1、x2、x3,則實(shí)數(shù)x1+x2+x3的取值范圍______.

圖3

3 含絕對值函數(shù)的漸近線

含絕對值的函數(shù)在平時練習(xí)中也是經(jīng)常會出現(xiàn)的，模擬練習(xí)中含絕對值的函數(shù)往往需要學(xué)生更加認(rèn)真的觀察，從而去畫出準(zhǔn)確的“草圖”.

例4已知f(x)=|xex|,g(x)=f2(x)+tf(x)(t∈R),若滿足g(x)=-1的x有四個值，則t的取值范圍為______.

圖4

本題易錯點(diǎn)是在當(dāng)x→-∞時，y→0,從而挖掘出漸近線，學(xué)生在解題過程中往往看到(-∞,-1)為單調(diào)減，函數(shù)圖象就是從+∞就往下“走”.這樣處理本題就遇到了“易錯點(diǎn)”，而當(dāng)x→-∞時，函數(shù)值涉及了極限的思想，教師可以讓學(xué)生帶入具體的數(shù)據(jù)從而直觀感受函數(shù)值的趨勢，這樣就可以讓學(xué)生了解x軸其實(shí)就是該函數(shù)的漸近線.

同時解題過程中也可以讓學(xué)生自行概括函數(shù)漸近線的求法：(1)當(dāng)x→-∞時，y→c(常數(shù))，則y=c就是函數(shù)的一條水平漸近線；(2)當(dāng)x→c(常數(shù))時，y→±∞,則x=c是函數(shù)的一條垂直x軸的漸近線.

4 分式函數(shù)的漸近線

分式函數(shù)在處理時必須遵循定義域先行的原則，把分母不為零作為研究函數(shù)的首要原則，分母為零反映到圖象上對應(yīng)的是x=x0這樣的一條漸近線.

例5(2016年全國卷)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點(diǎn).(1)求a的取值范圍；(2)略.

圖5

解析此題方法較多，現(xiàn)重點(diǎn)選擇介紹漸近線在這題中的應(yīng)用：

法二令(x-2)ex+a(x-1)2=0,(x-2)ex=-a(x-1)2,令g(x)=(x-2)ex利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g(x)單調(diào)區(qū)間：(-∞,1)為減,(1,+∞)為增，且當(dāng)x→-∞時，y→0,所以函數(shù)存在漸近線y=0.令函數(shù)h(x)=-a(x-1)2,如要使得f(x)有兩個零點(diǎn)，即g(x)與h(x)要有兩個交點(diǎn)，所以可得a∈(0,+∞).

類似的題目在我們平時考試過程中應(yīng)該會常見，如：

例6(2017年蘇州高二期末考試)對于函數(shù)f(x),若其定義域內(nèi)存在兩個不同的實(shí)數(shù)x1、x2,使得xif(xi)=1,(i=1,2)成立，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P，若函數(shù)f(x)=aex具有性質(zhì)P，則實(shí)數(shù)a的取值范圍______.

圖6

由上述這些練習(xí)可以知道，漸近線在我們平時的數(shù)學(xué)練習(xí)中反復(fù)出現(xiàn)，存在就有存在的意義、價值，所以我們要把它研究透徹，研究細(xì)致.從另一方面講，漸近線其實(shí)不可怕，可怕的是我們沒有具備發(fā)現(xiàn)、挖掘它的一雙“慧眼”，而這雙“慧眼”并不是與生俱來，是需要通過不斷的訓(xùn)練而慢慢養(yǎng)成的.

自然科學(xué)發(fā)展史表明，科學(xué)始于觀察，在巴甫洛夫的辦公室墻上就貼著“觀察，觀察，再觀察”的橫幅，由此可見觀察對數(shù)學(xué)的研究和學(xué)習(xí)也是十分重要.不僅僅科學(xué)家、數(shù)學(xué)家需要觀察，學(xué)生在平時學(xué)習(xí)知識、解題過程中也必須要有觀察.有了觀察就有了思考，有了思考才有解題的思路.所以教師在教學(xué)過程中一定要培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立的去研究函數(shù)圖象，不要干預(yù)學(xué)生，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)漸近線，這樣才能慢慢培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)感覺.

當(dāng)然此類問題不是短時間能夠快速解決的，教師可以在復(fù)習(xí)階段通過一系列的微專題的訓(xùn)練和探究，幫學(xué)生系統(tǒng)的整理漸近線問題處理得方法，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生深刻理解其本質(zhì)，同時也可以借此機(jī)會提升學(xué)生獨(dú)立解決問題、探索問題的能力.