一、問(wèn)題提出

在陽(yáng)光體育活動(dòng)時(shí)間，小亮、小瑩、小芳和大剛到學(xué)校乒乓球室打乒乓球，當(dāng)時(shí)只有一個(gè)空球桌，他們只能選兩人打第一場(chǎng).如果確定大剛做裁判，用“手心”“手背”的方法決定其余三人哪兩人打第一場(chǎng).游戲規(guī)則是：三人同時(shí)伸“手心”“手背”中的一種手勢(shì)，如果恰好有兩人伸出的手勢(shì)相同，那么這兩人上場(chǎng)，否則重新開(kāi)始.這三人伸出“手心”或“手背”都是隨機(jī)的，請(qǐng)用畫樹(shù)狀圖的方法求小瑩和小芳打第一場(chǎng)的概率.(2015年山東省聊城市中考數(shù)學(xué)試題第22題）

參考答案：畫樹(shù)狀圖，如圖1所示.

圖1

所有等可能的情況有8種，其中小瑩和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同的情況有2種，則小瑩與小芳打第一場(chǎng)的概率為

二、解題困惑

筆者所在學(xué)校的教師對(duì)該問(wèn)題的理解持三種觀點(diǎn)，分別是：

觀點(diǎn)1：從小亮、小瑩、小芳三人中選出兩人打第一場(chǎng)，共有三種結(jié)果，分別為（小亮，小瑩）、（小亮，小芳）、（小瑩，小芳），并且是等可能事件，因此圖1所示的樹(shù)狀圖中第1、8兩個(gè)分枝無(wú)法確定誰(shuí)打第一場(chǎng)，理應(yīng)舍去，即實(shí)際共有6種可能結(jié)果，所以正確答案為小瑩與小芳打第一場(chǎng)的概率為

觀點(diǎn)2：由于三人出現(xiàn)相同手勢(shì)是客觀存在的，且每種手勢(shì)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的，樹(shù)狀圖中第1、8兩個(gè)分枝是必要的、不可或缺的，因此參考答案正確.

觀點(diǎn)3：基于對(duì)“否則重新開(kāi)始”的文本解讀，因此游戲的次數(shù)無(wú)法確定，若游戲要連續(xù)進(jìn)行n次才能確定打第一場(chǎng)的選手，故小瑩與小芳打第一場(chǎng)的概率為

三種觀點(diǎn)，到底誰(shuí)是誰(shuí)非？老師們困惑不已.

三、惑因分析

筆者經(jīng)過(guò)仔細(xì)思索，認(rèn)為一線教師之所以存在困惑，其原因在于：

（1）在本題所提及的游戲中，是否為等可能事件呢？從概率類型來(lái)看，是否屬于古典概型？這些是存在困惑的原因之一.

從游戲過(guò)程來(lái)看，每個(gè)人所出手勢(shì)“手心”“手背”是隨機(jī)的，而且可能性也是均等的，因此是等可能事件概率.小亮、小瑩、小芳所出手勢(shì)所有可能的結(jié)果如圖1所示.其中小亮與小瑩、小亮與小芳、小芳與小瑩打第一場(chǎng)的概率均為，而無(wú)法確定小芳與小瑩打第一場(chǎng)的概率同樣為.因此從概率問(wèn)題類型上看，這種游戲?qū)儆诠诺涓判?

很顯然，觀點(diǎn)1不成立.

（2）解讀題目提供的相關(guān)信息，發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)次數(shù)無(wú)法確定（未確定誰(shuí)打第一場(chǎng)時(shí)需繼續(xù)實(shí)驗(yàn)直至確定出來(lái)為止）.但從題目中提供的參考答案看，命題者的本意是只需一次實(shí)驗(yàn)就可以確定小瑩與小芳打第一場(chǎng)的概率.難道這個(gè)游戲?qū)嶒?yàn)一次與連續(xù)兩次乃至連續(xù)三次……計(jì)算出的概率都是？這又是老師們困惑的另一原因.

為了進(jìn)一步探索問(wèn)題的根源，筆者請(qǐng)山東的許永忠老師利用EXCEL（軟件版本為2010版）進(jìn)行了游戲的隨機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如表1所示：

表1

從表中數(shù)據(jù)不難得出，觀點(diǎn)2也不正確，只有觀點(diǎn)3成立.

四、我來(lái)解惑

基于以上分析，運(yùn)用古典概型可以得出如下結(jié)論：

1.經(jīng)歷連續(xù)不同次數(shù)的游戲，求出的概率是不相同的

（2）若一次游戲不能確定誰(shuí)打第一場(chǎng)，則需要進(jìn)行第二次游戲（即連續(xù)兩次游戲），其計(jì)算要用到參考文獻(xiàn)［1］中提及的等枝法，將圖1的樹(shù)狀圖再畫一級(jí)，即在第1枝和第8枝下各生8枝，另外6枝下也分別生等“份量”的同結(jié)果的8枝，最后共有64枝，如圖2所示.

圖2

其中，圖2-1、2-2具體如下：

圖2-1

圖2-2

說(shuō)明：A——手心；B——手背；圖中虛線所示樹(shù)狀圖表示實(shí)際游戲中不需要進(jìn)行，這里畫出，是為了將這一游戲由非古典概型轉(zhuǎn)化古典概型，便于相關(guān)事件概率的計(jì)算.

從圖2可以看出，此時(shí)三人出現(xiàn)相同手勢(shì)的分枝共有4枝，因此它的概率變成了，即通過(guò)連續(xù)兩次游戲確定小芳與小瑩打第一場(chǎng)的概率為.

以此類推，若連續(xù)兩次游戲還不能確定誰(shuí)打第一場(chǎng)，則要進(jìn)行第三次游戲（即連續(xù)三次游戲），根據(jù)游戲的規(guī)則，這4種情形又要重新開(kāi)始，即對(duì)應(yīng)的這4枝下又生8枝，另60枝下也分別生等“份量”的同結(jié)果的8枝，共512枝，其中三人出現(xiàn)相同手勢(shì)的分枝共有8枝，因此通過(guò)連續(xù)三次游戲確定小芳與小瑩打第一場(chǎng)的概率為……顯然，這個(gè)樹(shù)狀圖若無(wú)限畫下去，按照“等枝法”不難發(fā)現(xiàn)，連續(xù)進(jìn)行n次游戲所得小芳與小瑩打第一場(chǎng)的概率為）n.因此，筆者認(rèn)為老師們所持的觀點(diǎn)3是正確的.

2.該游戲不可能無(wú)限進(jìn)行下去

在“連續(xù)進(jìn)行n次游戲才能確定出三人中哪兩人打第一場(chǎng)”的條件下，可以計(jì)算出小芳與小瑩打第一場(chǎng)的概率為，即當(dāng)n→+∞時(shí)因此連續(xù)游戲的次數(shù)不會(huì)很大.

基于“當(dāng)n≥2時(shí)，小芳與小瑩打第一場(chǎng)的概率計(jì)算難度很大，超出了課標(biāo)要求”，因此建議將原題問(wèn)題修改為“請(qǐng)用畫樹(shù)狀圖的方法求通過(guò)一次游戲確定小瑩和小芳打第一場(chǎng)的概率.”