李 月，紀大偉，王 杰

（東北石油大學石油工程學院，黑龍江大慶163318）

隨著工業(yè)的迅猛發(fā)展，對石油需求量的不斷增加[1]，相對于水平井，直井開發(fā)過程中注水注驅(qū)油劑難度大、采收率較低[2-4]。因此，采用水平井進行生產(chǎn)[5]，為了使水平井增產(chǎn)，常采用壓裂技術以保證裂縫與油層的充分接觸，形成油氣水滲流通道，從而使原油高效產(chǎn)出，因此對水平井壓裂后的產(chǎn)能評價十分重要。

目前，國內(nèi)外對油藏產(chǎn)能評價方面的研究相對較少，主要根據(jù)油氣滲流理論、高等數(shù)學等知識，采用模擬法和解析法應用于產(chǎn)能評價[6-7]。模擬法主要包括數(shù)值模擬法和物理模擬法。數(shù)值模擬法主要針對氣液兩相流來研究水平井產(chǎn)能，現(xiàn)有的數(shù)值模型中對壓裂水平井產(chǎn)能的預測和評價不夠準確，需要進行深入的研究。物理模擬法通過建立物理模型，但是其模型較為理想化，不能更好地描述油藏復雜的儲層環(huán)境[8]。解析法主要針對穩(wěn)定單相流，利用數(shù)學理論，在Darcy公式的基礎上，通過Green函數(shù)、點源函數(shù)、Laplace變換[9]和傅立葉變換，推導出壓裂水平井的產(chǎn)能計算公式[10-12]。但是解析法誤差較大，多用于求解簡單情況的問題，應用范圍不大，且目前適用于油藏的水平井產(chǎn)能公式并不適用于氣藏。為此，本文通過建立多級壓裂水平井試井分析模型，利用多級壓裂水平井試井解釋軟件，快速、準確的對壓裂水平井進行產(chǎn)能評價，為油田的高效開發(fā)提供依據(jù)。

1 理論基礎

1.1 井筒儲集和表皮效應考慮方法

受天然氣所處的壓力環(huán)境影響，氣井在進行試井時，描述氣層壓力變化的偏微分方程演化成為壓力的非線性方程，很難求出解析解。為此引入擬壓力代替壓力作為微分方程的變量，從而在形式上使氣體微分方程與油水層關于壓力的微分方程保持一致，以簡化求解方程的過程。擬壓力的表達式為式（1）：

式中，p為地層壓力，MPa；p0為任意選取的參考壓力點，通常取p0=0 MPa；ψ(p)為氣體擬壓力，MPa/MPa?s；μ(p)為地層氣體黏度，MPa ?s；Z(p)為真實氣體偏差系數(shù)，無量綱。

引入井筒儲集和表皮效應到裂縫系統(tǒng)的Laplace空間不穩(wěn)定壓力公式[13]，即需要在Laplace空間推導一個新的壓裂水平井系統(tǒng)解釋模型時，可以先不考慮井筒儲集效應和表皮效應，在不穩(wěn)定壓力公式推導出來后，加入井筒儲集和表皮效應，使井筒引起的不穩(wěn)定壓力反應可以單獨使用，便于試井解釋模型的建立和組合分析。

對于壓裂水平井，當考慮井筒井底儲集和表皮效應時，不能使用傳統(tǒng)的有效井徑模型。

當不考慮表皮效應時，開始生產(chǎn)時t=0 h，應用Duhamel褶積定理，無量綱井底壓降為式（2）：

對式（2）進行Laplace變換可以寫成式（3）：

對式（3）進一步推導得到式（4）：

當考慮井筒儲集效應時，無量綱產(chǎn)量qD的表達式如式（5）所示：

當考慮表皮系數(shù)時，對定產(chǎn)量壓力響應，加上表皮系數(shù)，Laplace變換為：

將式（6）、（7）代入井底壓力無量綱表達式（4）中，得到式（8）：

式中，pD為無量綱擬壓力；tD為無量綱時間；qD為無量綱產(chǎn)量；CDf為無量綱井筒存儲系數(shù)；S為表皮系數(shù)。

繪制無量綱擬壓力及其導數(shù)曲線擬合圖版，如圖1所示。

圖1 無限大油藏1條裂縫試井解釋圖版Fig.1 Interpretation chart of 1 fractured well test in infinite r eservoir

1.2 無限大油藏水平井多裂縫系統(tǒng)

1.2.1 物理模型 假設油藏無限大，水平井內(nèi)壓裂多條裂縫，且沿井筒方向壓裂多條完全貫穿油層的垂直裂縫，僅在裂縫與井的交匯處產(chǎn)生壓降，水平井僅在裂縫處射孔，物理模型如圖2所示。圖2中，n為裂縫條數(shù)，條；f1為井筒；xf為x方向條帶源的寬度，m；yf1為y方向條帶源的寬度，m；D為兩條裂縫之間的距離，m。

圖2 多裂縫壓裂水平井物理模型示意圖Fig2 Multi-fracture fracturing horizontal well physical model schematic

1.2.2 數(shù)學模型 首先采用Newman乘積方法求出相應的空間或平面點源解析式，然后在匯源分布區(qū)域內(nèi)對此點源解析式進行積分，最后可得到問題的解[14-15]。對于無限大油藏單裂縫二維源函數(shù)，可用x方向條帶封閉地層中寬為2 xf的條帶源、y方向條帶封閉地層中直線源兩個瞬時源函數(shù)的乘積給出。

x方向條帶源為式（10）：

根據(jù)Newman乘積，得出沿y方向產(chǎn)生的多裂縫直線源的二維源函數(shù)解析式為式（12）：

對式（12）進行積分，可得多級壓裂水平井系統(tǒng)的壓降表達式為式（13）：

假設流體在水平井井筒與裂縫之間流動為無限導流，由于水平井內(nèi)裂縫與井筒相連接，所以水平井井筒壓降與裂縫處產(chǎn)生壓降相同。再由水平井定產(chǎn)歸一條件得式（14）方程組：

對式（14）進行求解可以得到井底壓力及各裂縫沿井筒的流量分布。

2 實例應用

水平井X一共壓裂4條裂縫，裂縫參數(shù)如表1所示。該水平井滲透率1.2×10-3μm2，井筒表皮系數(shù)0，井筒儲存系數(shù)2.3，原始地層壓力30 MPa，有效厚度5 m，孔隙度0.17，油井半徑0.1 m，壓縮系數(shù)0.000 2，體積系數(shù) 1.1。

表1 裂縫參數(shù)Table1 Fracture parameters

基于上述原理，將耿文爽等[16]研制的多級壓裂水平井試井解釋軟件轉(zhuǎn)入產(chǎn)能評價模塊，該模塊包括基本參數(shù)、裂縫參數(shù)輸入和計算模塊三部分。輸入?yún)?shù)后，繪制出對應的IPR曲線或產(chǎn)量遞減曲線，如圖3所示。

在表1方案的基礎上，采用單因素變量法研究裂縫變長對壓裂水平井產(chǎn)能的影響，如圖4所示。裂縫間距不變，仍為50 m，設計方案如表2所示。

在其它參數(shù)不變的情況下，將圖4與圖3進行對比，結果表明，隨著裂縫半長增加，壓裂水平井產(chǎn)能增加，隨著壓裂水平井的生產(chǎn)，當壓力下降到同一最低點時，由圖3（a）可知，生產(chǎn)10 h產(chǎn)量為1.73×105m3/d；由圖 4（a）可知，同一壓力條件下生產(chǎn)10 h產(chǎn)量為1.87×105m3/d，但是由于裂縫長時成本較高，因此需根據(jù)實際情況優(yōu)選最佳的裂縫長度。

圖4 不同裂縫變長條件下不同生產(chǎn)階段IPR曲線和產(chǎn)量遞減趨勢曲線Fig.4 IPR cur ve and pr oduction decline tr end cur ve of different pr oduction stages under differ ent cr acks conditions

表2 不同裂縫半長條件下的裂縫參數(shù)Table2 Fracture parameters under diffent fracture halflength conditons

在表1方案的基礎上，采用單因素變量法研究裂縫表皮系數(shù)對壓裂水平井產(chǎn)能的影響，如圖5所示。其中，裂縫間距不變，仍為50 m，設計方案如表3所示。

通過上述對比方法可知，在其它參數(shù)不變的情況下，在生產(chǎn)能力相同時，隨著裂縫表皮系數(shù)的增大，壓裂水平井壓降和產(chǎn)能均變化不明顯，這是由于裂縫附近儲層滲透能力越差，裂縫表皮系數(shù)對壓力波傳播范圍內(nèi)儲層平均滲透能力的影響減弱，導致產(chǎn)能變化不明顯。

圖5 不同裂縫表皮系數(shù)條件下不同生產(chǎn)階段IPR曲線和產(chǎn)量遞減趨勢曲線Fig.5 IPR cur ve and pr oduction decline tr end cur ve of different production stages under different cr ack skin factor conditions

表3 不同裂縫表皮系數(shù)條件下的裂縫參數(shù)Table3 Fractur e par ameter s under diffent cr ack skin factor

3 結 論

（1）應用多級壓裂水平井試井解釋及產(chǎn)能評價軟件，計算出不同生產(chǎn)階段下產(chǎn)量隨井底流壓的變化曲線，以及不同井底流壓下產(chǎn)量隨生產(chǎn)時間的變化曲線，通過這種方法能夠?qū)λ骄煌a(chǎn)階段進行產(chǎn)能預測評價。

（2）通過對比同一生產(chǎn)階段的IPR曲線和產(chǎn)量遞減曲線可知裂縫距離、裂縫半長、裂縫表皮系數(shù)對水平井產(chǎn)能的影響的大小，結果表明，裂縫半長對產(chǎn)能影響遠大于裂縫距離和裂縫表皮系數(shù)對產(chǎn)能的影響。