顏尚君， 李錄平， 封 江， 陳鵬飛， 李焜林

(長沙理工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院， 長沙 410014)

隨著汽輪機(jī)單機(jī)功率的增大，末級葉輪的直徑顯著增大，末級葉片長度大幅增加，從而導(dǎo)致汽輪機(jī)末級葉輪槽處受到的離心力也越來越大，汽流在葉片上產(chǎn)生的彎矩大幅增加，而且末級葉輪處于濕蒸汽區(qū)，運(yùn)行環(huán)境極其惡劣，在多種交變載荷的共同作用下，這些區(qū)域極易產(chǎn)生疲勞裂紋，甚至有斷裂的危險(xiǎn)。李錄平等[1]在研究汽輪機(jī)葉片氣流激振力的來源與性質(zhì)的基礎(chǔ)上，建立了靜葉尾跡流產(chǎn)生的氣流激振力計(jì)算模型。史進(jìn)淵等[2]提出了汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子初始裂紋高周疲勞安全性的分析方法及其分析思路和評價(jià)判據(jù)。另外，筆者針對大功率汽輪機(jī)末級輪盤-葉片結(jié)構(gòu)的接觸狀態(tài)進(jìn)行應(yīng)力分析，得出了輪盤-葉片結(jié)構(gòu)接觸狀態(tài)應(yīng)力分別與轉(zhuǎn)速和負(fù)荷的定量關(guān)系。孫智甲等[3]采用有限元方法模擬圓柱齒輪齒根處疲勞裂紋的擴(kuò)展過程，分析了初始裂紋傾角對齒輪中疲勞裂紋的擴(kuò)展形貌以及齒輪疲勞壽命的影響。許德濤等[4]基于擴(kuò)展有限元法的齒輪裂紋擴(kuò)展計(jì)算方法，開展了齒根初始裂紋擴(kuò)展規(guī)律研究，借助ABAQUS軟件，分析齒根初始裂紋長度、方向和位置對裂紋擴(kuò)展路徑的影響規(guī)律，為齒輪疲勞裂紋擴(kuò)展及疲勞壽命的高效分析和精確預(yù)測提供了一種新途徑。目前，針對汽輪機(jī)輪緣結(jié)構(gòu)中疲勞裂紋的有限元模擬研究較少，而對于相關(guān)結(jié)構(gòu)的疲勞壽命準(zhǔn)確預(yù)測，主要是國外學(xué)者在進(jìn)行研究[5-7]。筆者嘗試在這方面進(jìn)行一些探索。

考慮到末級動葉上汽流力的周期性波動，筆者模擬了存在汽流力波動的情況下，在額定轉(zhuǎn)速3 000 r/min和超速3 300 r/min工況下輪緣最大應(yīng)力處疲勞裂紋的擴(kuò)展規(guī)律，旨在獲得上述工況下的輪緣疲勞裂紋擴(kuò)展循環(huán)次數(shù)與端面裂紋長度的關(guān)系曲線，通過比較在循環(huán)1×106次后2種工況下的裂紋擴(kuò)展長度，獲得超速工況下輪緣裂紋的擴(kuò)展特性規(guī)律。

1 分析思路及數(shù)學(xué)模型

1.1 分析思路

若對大功率汽輪機(jī)末級輪盤-葉片結(jié)構(gòu)接觸狀態(tài)下整體進(jìn)行應(yīng)力分析，有限元模型將會相當(dāng)大，計(jì)算代價(jià)也會極大。圖1為大功率汽輪機(jī)末級輪盤-葉片結(jié)構(gòu)整體三維實(shí)體圖形。

圖1 大功率汽輪機(jī)末級輪盤-葉片結(jié)構(gòu)三維實(shí)體模型Fig.1 3D model of last disc and blade of a large capacity steam turbine

然而，根據(jù)汽輪機(jī)末級輪盤的循環(huán)對稱特性，只需對其中的一個(gè)葉片結(jié)構(gòu)進(jìn)行應(yīng)力分析，即可獲得所需結(jié)果。

定義一個(gè)葉片結(jié)構(gòu)模型為全局模型(相對子模型)。分析內(nèi)容包括彈塑性力學(xué)分析和斷裂力學(xué)分析，彈塑性力學(xué)分析主要是分析各種應(yīng)力的結(jié)果，斷裂力學(xué)分析主要是分析裂紋擴(kuò)展路徑的模擬，此處重點(diǎn)進(jìn)行斷裂力學(xué)分析。對于輪緣裂紋類型而言，一般將裂紋等效為Ⅰ型和Ⅱ型復(fù)合型裂紋[8]。

1.2 數(shù)學(xué)模型

由斷裂力學(xué)的基本知識可知，Ⅰ型和Ⅱ型復(fù)合型裂紋尖端附近的應(yīng)力場如下：

Ⅰ型裂紋尖端

(1)

(2)

(3)

Ⅱ型裂紋尖端

(4)

(5)

(6)

式中：σx、σy分別為x方向和y方向的平面正應(yīng)力；τxy為平面切應(yīng)力；KI、KII分別為Ⅰ型、Ⅱ型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子；r和θ為裂紋尖端局部坐標(biāo),如圖2所示。

圖2 裂紋尖端坐標(biāo)系與半徑圖Fig.2 Coordinate system and radius diagram for the end of crack

2 全局應(yīng)力分析

2.1 材料屬性

在全局模型中，只需進(jìn)行彈塑性力學(xué)分析，不需進(jìn)行斷裂力學(xué)分析，所以材料屬性參數(shù)僅需密度、彈性模量、泊松比和真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線。其中，真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線用理想彈塑性模型代替，即材料發(fā)生屈服后，應(yīng)力不隨應(yīng)變的增加而增加。各部件的材料屬性見表1。葉片屈服強(qiáng)度為750 MPa。

2.2 網(wǎng)格劃分

葉片全部采用四面體網(wǎng)格劃分，為C3D10M的修正二次單元，適合接觸計(jì)算，精度很高，缺點(diǎn)是計(jì)算量較大，為了保證葉片在接觸區(qū)域的計(jì)算精度，對重點(diǎn)的接觸區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格加密。采用2 mm尺寸，然后網(wǎng)格尺寸的設(shè)置隨著接觸區(qū)域距離的增加而逐漸增大。這種網(wǎng)格劃分在保證精度的同時(shí)，減少了計(jì)算規(guī)模。圖3(a)和圖3(b)為葉片的網(wǎng)格劃分圖。

表1 輪盤-葉片材料參數(shù)Tab.1 Material properties of the disc and blade

輪盤全部采用六面體網(wǎng)格C3D8R劃分。在接觸區(qū)域網(wǎng)格細(xì)分，尺寸與葉片保持一致，可以獲得更好的接觸計(jì)算結(jié)果。圖3(c)和圖3(d)為輪盤的網(wǎng)格劃分圖，圖3(e)為裝配體的網(wǎng)格模型局部圖。

2.3 載荷與邊界條件處理

汽輪機(jī)末級輪盤-葉片結(jié)構(gòu)受力復(fù)雜，應(yīng)力分析時(shí)應(yīng)主要考慮離心力的作用。且需考慮穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時(shí)的受力，此時(shí)模型可以采取靜態(tài)分析法，同時(shí)為了獲得更真實(shí)的結(jié)果，也應(yīng)考慮幾何大變形。

(1) 邊界條件設(shè)定。定義循環(huán)邊界條件，葉片數(shù)為64。

(2) 接觸條件設(shè)定。設(shè)定為摩擦因數(shù)為0.1的硬接觸，接觸類型為有限滑移的面面接觸。此種接觸算法最穩(wěn)定，精度最高。定義了輪盤與葉片的接觸，其中輪盤為從面，葉片為主面。

(3) 離心力設(shè)定。模擬汽輪機(jī)在正常轉(zhuǎn)速3 000 r/min以及超速3 300 r/min工況下末級輪盤-葉片結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分析，即314 rad/s和345.4 rad/s。對全體模型施加該角速度以模擬離心力的影響。

(4) 載荷變化規(guī)律設(shè)定。載荷均是由0線性增加到各自的最大值。其余主要約束有：輪盤中心繞轉(zhuǎn)動中心旋轉(zhuǎn)自由度釋放，其余自由度全部約束；對循環(huán)邊界的主面約束旋轉(zhuǎn)方向的自由度。

2.4 結(jié)果與分析

由于在材料的失效模式中主應(yīng)力貢獻(xiàn)最大，因此在所有失效模式中，均可采用主應(yīng)力來評價(jià)材料的斷裂情況。下面主要研究最大主應(yīng)力的計(jì)算結(jié)果。

(1) 當(dāng)轉(zhuǎn)速為3 000 r/min時(shí)，輪盤最大主應(yīng)力為338.7 MPa。圖4給出了此時(shí)輪盤的最大主應(yīng)力云圖。由4圖可知，輪槽根部應(yīng)力較大，該處最容易產(chǎn)生裂紋。

(a) 葉片壓力面網(wǎng)格劃分圖

(b) 葉片吸力面網(wǎng)格劃分圖

(c) 輪盤面一網(wǎng)格劃分圖

(d) 輪盤面二網(wǎng)格劃分圖

(e) 裝配體網(wǎng)格局部劃分圖圖3 葉片與輪盤網(wǎng)格劃分圖Fig.3 Grid partition of the blade and disc

(2) 超速工況下，當(dāng)轉(zhuǎn)速為3 300 r/min時(shí)，輪盤最大主應(yīng)力為339.6 MPa。圖5給出了此時(shí)輪盤的最大主應(yīng)力云圖.由圖5可知，輪槽根部應(yīng)力較大，該處最容易產(chǎn)生裂紋。

由以上分析可知，轉(zhuǎn)速為3 000 r/min和3 300 r/min時(shí)，輪盤最大主應(yīng)力都出現(xiàn)在輪槽根部位置，在離心力作用下，輪盤底部受到較大的拉應(yīng)力作用，因此該位置最容易產(chǎn)生裂紋。

(a) 輪盤面一最大主應(yīng)力云圖

(b) 輪盤面二最大主應(yīng)力云圖圖4 3 000 r/min時(shí)輪盤最大主應(yīng)力云圖Fig.4 Maximum principal stress of the disc at 3 000 r/min

(a) 輪盤面一最大主應(yīng)力云圖

(b) 輪盤面二最大主應(yīng)力云圖圖5 3 300 r/min時(shí)輪盤最大主應(yīng)力云圖Fig.5 Maximum principal stress of the disc at 3 300 r/min

3 局部應(yīng)力子模型裂紋擴(kuò)展分析

3.1 分析前處理

對汽輪機(jī)輪盤出現(xiàn)裂紋的部位進(jìn)行子模型重點(diǎn)分析。如圖6所示，截取部分為子模型分析部位。整個(gè)子模型還考慮了輪盤與葉片的相互作用。子模型分析類型與全局模型相同。計(jì)算結(jié)果輸出內(nèi)容需要再加上PHILSM(即水平集phi值)和STATUSXFEM，以便觀察裂紋擴(kuò)展情況。

圖6 子模型幾何模型Fig.6 Geometric model of the submodel

此模型的裂紋分析采用最大拉應(yīng)力理論，此失效模型與實(shí)際的疲勞裂紋擴(kuò)展路徑最接近。設(shè)定當(dāng)最大主應(yīng)力達(dá)到50 MPa時(shí)，裂紋萌生，選取基于能量的損傷演化類型，其軟化方式設(shè)置為線性，退化模式設(shè)置為極大值退化，混合模式采用冪次法則，混合比模式設(shè)置為能量模式，勾選[power]選項(xiàng)并設(shè)置為1，其法向斷裂能和2個(gè)方向的切向斷裂能都設(shè)為35 N/mm。為了控制損傷的穩(wěn)定性，設(shè)置一個(gè)黏度系數(shù)，取為5×10-5[9]。

交互作用主要有循環(huán)對稱以及葉片與輪盤的接觸，如圖7所示。

(a) 循環(huán)對稱邊界(b) 輪盤與葉片的接觸定義

圖7 輪盤與葉片的接觸定義

Fig.7 Contact definition of the disc and blade

除此以外，還需對輪盤指定裂紋XFEM屬性。初始裂紋設(shè)置在前面分析的最大主應(yīng)力區(qū)域。

3.2 邊界條件和載荷

全局模型是通過位移作為驅(qū)動變量將結(jié)果加載到子模型邊界上的，所以在此子模型中，除了循環(huán)對稱約束，其他的載荷和邊界條件已經(jīng)不需要，但要加上子模型1級盤和銷子的位移驅(qū)動邊界條件(見圖8)。

3.3 網(wǎng)格劃分

輪盤和葉片采用六面體網(wǎng)格劃分，單元類型為C3D8R，全局網(wǎng)格尺寸為2 mm，沿厚度方向劃分20等份，如圖9所示。

圖8 子模型邊界區(qū)域Fig.8 Boundary region of the submodel

圖9 子模型裝配體網(wǎng)格劃分Fig.9 Assembly grid division of the submodel

3.4 結(jié)果與分析

圖10和圖11分別為轉(zhuǎn)速在3 000 r/min和3 300 r/min時(shí)輪盤2個(gè)面的裂紋最終擴(kuò)展圖形。通過測量，3 000 r/min時(shí)裂紋擴(kuò)展長度最長為9.23 mm，而3 300 r/min時(shí)裂紋擴(kuò)展長度最長為12.75 mm。

(a) 輪盤面一的裂紋擴(kuò)展(9.23 mm)

(b) 輪盤面二的裂紋擴(kuò)展(9.23 mm)圖10 轉(zhuǎn)速為3 000 r/min時(shí)輪盤2個(gè)面的裂紋最終擴(kuò)展圖形Fig.10 Final propagation of cracks on two surfaces of the disc at 3 000 r/min

4 疲勞裂紋擴(kuò)展分析

4.1 分析前處理

疲勞裂紋擴(kuò)展不包含接觸分析，對于整體模型的接觸采用綁定進(jìn)行分析。在疲勞裂紋擴(kuò)展分析中，僅需保留彈性模量和泊松比以及Paris公式和臨界斷裂韌度。分析類型為Direct Cyclic，計(jì)算結(jié)果輸出內(nèi)容為PHILSM(即水平集phi值)和STATUSXFEM，以便觀察裂紋擴(kuò)展情況。將輪盤與旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)RP-1設(shè)置為耦合。為了分析疲勞裂紋擴(kuò)展情況，在輪盤底下根部預(yù)設(shè)了0.5 mm的初始微裂紋。

(a) 輪盤面一的裂紋擴(kuò)展(12.75 mm)

(b) 輪盤面二的裂紋擴(kuò)展(9.23 mm)圖11 轉(zhuǎn)速為3 300 r/min時(shí)輪盤2個(gè)面的裂紋最終擴(kuò)展圖形Fig.11 Final propagation of cracks on two surfaces of the disc at 3 300 r/min

4.2 邊界條件和載荷

邊界條件包括離心力和周期性的汽流力，且汽流力是加載在葉片單個(gè)面上的。加載圖如圖12所示。

圖12 疲勞裂紋擴(kuò)展載荷加載圖Fig.12 Loading diagram for propagation of the fatigue crack

作用在葉片上的汽流力是波動的，類似正弦曲線的下半部，因此輪緣所受的應(yīng)力大小也是變化的，模型加載幅值大小為1.705 kPa。汽流力周期波動載荷譜見圖13。

4.3 網(wǎng)格劃分

模型采用六面體網(wǎng)格劃分，在裂紋可能擴(kuò)展區(qū)域細(xì)化網(wǎng)格。單元總數(shù)為35 256。圖14給出了輪盤整體網(wǎng)格模型及其局部網(wǎng)格模型。

圖13 汽流力載荷譜Fig.13 Load spectrum of the steam load force

(a) 輪盤整體網(wǎng)格模型

(b) 輪盤局部網(wǎng)格模型圖14 輪盤整體網(wǎng)格模型和局部網(wǎng)格模型Fig.14 Integral and local grid division of the disc

4.4 結(jié)果與分析

當(dāng)轉(zhuǎn)速為3 000 r/min時(shí)，不同循環(huán)次數(shù)下的裂紋狀態(tài)如圖15所示，圖中輪盤右邊是進(jìn)汽邊。

圖16為額定轉(zhuǎn)速3 000 r/min下的疲勞裂紋擴(kuò)展循環(huán)次數(shù)與端面裂紋長度的擬合關(guān)系曲線。從圖16可以看出，裂紋的擴(kuò)展可分為3個(gè)階段：(1) 初始擴(kuò)展階段。額定轉(zhuǎn)速下循環(huán)次數(shù)為40 281時(shí)裂紋開始擴(kuò)展，擴(kuò)展初期裂紋擴(kuò)展速率較快，而循環(huán)次數(shù)為200 000時(shí)，裂紋擴(kuò)展速率趨于穩(wěn)定；(2) 平穩(wěn)擴(kuò)展階段。循環(huán)次數(shù)在200 000～820 000內(nèi)，裂紋長度增加值僅為0.5 mm左右；(3) 快速擴(kuò)展階段。循環(huán)次數(shù)在820 000以后，裂紋擴(kuò)展速率急速增加，一直到循環(huán)1×106次后，裂紋擴(kuò)展長度為3.4 mm。

圖16中擬合曲線數(shù)學(xué)表達(dá)式為

y=0.009 5x3-0.119 7x2+0.503 7x+0.855

(7)

當(dāng)轉(zhuǎn)速為3 300 r/min時(shí)，不同循環(huán)次數(shù)下的裂紋狀態(tài)如圖17所示。圖18為轉(zhuǎn)速3 300 r/min下的疲勞裂紋擴(kuò)展循環(huán)次數(shù)與端面裂紋長度的擬合關(guān)系曲線。從圖18可以看出，次數(shù)裂紋的擴(kuò)展也分為3個(gè)基本階段：(1) 初始擴(kuò)展階段。這個(gè)階段的擴(kuò)展速率較快。(2) 平穩(wěn)擴(kuò)展階段。循環(huán)次數(shù)為170 000時(shí)，裂紋擴(kuò)展速率開始下降，在170 000～800 000內(nèi)，裂紋長度增加了僅0.8 mm左右。(3) 快速擴(kuò)展階段。循環(huán)次數(shù)在800 000以后，裂紋擴(kuò)展速率急速增加，循環(huán)次數(shù)從800 000增加到1×106，裂紋長度增加了約2.2 mm，一直到循環(huán)1×106次后，裂紋擴(kuò)展長度為4.7 mm。

(a) 初始裂紋擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)

(b) 40 281次時(shí)裂紋擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)

(c) 336 200次時(shí)裂紋擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)

(d) 812 050次時(shí)裂紋擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)

(e) 1×106次時(shí)裂紋擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)圖15 3 000 r/min時(shí)不同循環(huán)次數(shù)下的裂紋擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)Fig.15 Crack propagation at different numbers of cycle at 3 000 r/min

圖16 3 000 r/min裂紋長度與循環(huán)次數(shù)的關(guān)系曲線Fig.16 Crack length vs. cycle number at 3 000 r/min

(a) 初始裂紋擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)

(b) 31 668次時(shí)裂紋擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)

(c) 293 340次時(shí)裂紋擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)

(d) 989 840次時(shí)裂紋擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)

(e) 1×106次時(shí)裂紋擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)圖17 3 300 r/min下不同循環(huán)次數(shù)下的裂紋擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)Fig.17 Crack propagation at different numbers of cycle at 3 300 r/min

圖18中擬合曲線數(shù)學(xué)表達(dá)式為

y=0.001 1x5-0.025 7x4+0.227 2x3-

0.911 7x2+1.748 8x+0.515 8

(8)

對比圖16和圖18發(fā)現(xiàn)，隨著循環(huán)次數(shù)的增加，裂紋擴(kuò)展速率先是顯著增加，然后會經(jīng)過一段平緩的裂紋擴(kuò)展期，在達(dá)到一定的循環(huán)次數(shù)后，裂紋擴(kuò)展速率將會極速增加，說明此時(shí)結(jié)構(gòu)已經(jīng)達(dá)到了快要失穩(wěn)的狀態(tài)，此時(shí)裂紋在快速擴(kuò)展階段，兩者在裂紋擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)上基本相同，但在結(jié)構(gòu)上超速工況比額定工況要更快達(dá)到失穩(wěn)狀態(tài)。

圖18 3 300 r/min裂紋長度與循環(huán)次數(shù)的關(guān)系曲線圖Fig.18 Crack length vs. cycle number at 3 300 r/min

5 結(jié) 論

(1) 在轉(zhuǎn)速為3 000 r/min和3 300 r/min時(shí)，輪盤最大主應(yīng)力都出現(xiàn)在輪槽根部位置，該位置最容易產(chǎn)生裂紋。

(2) 計(jì)算得出3 000 r/min時(shí)裂紋擴(kuò)展長度最長為9.23 mm，而3 300 r/min時(shí)裂紋擴(kuò)展長度最長為12.75 mm。。

(3) 超速工況下不僅容易造成裂紋擴(kuò)展，而且裂紋擴(kuò)展速率較額定轉(zhuǎn)速要快，隨著循環(huán)次數(shù)的增加，兩者裂紋擴(kuò)展速率先是顯著增加，然后會經(jīng)過一段平緩的裂紋擴(kuò)展期，在達(dá)到一定循環(huán)次數(shù)后，裂紋擴(kuò)展速率將會極速增加，說明此時(shí)結(jié)構(gòu)已經(jīng)達(dá)到了快要失穩(wěn)的狀態(tài)，此時(shí)裂紋為快速擴(kuò)展階段，兩者在裂紋擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)上基本相同，但在結(jié)構(gòu)上超速工況比額定工況要更快達(dá)到失穩(wěn)狀態(tài)。

(4) 所得出的額定轉(zhuǎn)速和超速狀態(tài)下裂紋長度與循環(huán)次數(shù)的擬合曲線為工程實(shí)際問題提供了參考。

致謝：感謝清潔能源與智能電網(wǎng)2011協(xié)同創(chuàng)新中心資助。