郭懷攀, 李 昊, 陳衛(wèi)東, 周徐斌

(1. 南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南京 210016；2. 上海衛(wèi)星工程研究所, 上海 200240)

雙穩(wěn)定層板是一種具有兩種穩(wěn)定構(gòu)型的非對(duì)稱鋪設(shè)復(fù)合材料層板結(jié)構(gòu)[9-11]，因其在構(gòu)型轉(zhuǎn)變過程中顯示出非線性及負(fù)剛度特性，有學(xué)者開始研究用其作為負(fù)剛度機(jī)構(gòu)，構(gòu)建準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，Shaw等[12]發(fā)現(xiàn)使用雙穩(wěn)定層板可以減小隔振結(jié)構(gòu)的固有頻率而不降低結(jié)構(gòu)的承載能力。陸澤琦[13]系統(tǒng)的研究了雙穩(wěn)定層板的負(fù)剛度特性，并將其引入雙層隔振系統(tǒng)進(jìn)行試驗(yàn)研究，發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中加入雙穩(wěn)定層板后能改善系統(tǒng)的隔振性能。

本文利用理論和有限元方法研究了正交鋪設(shè)復(fù)合材料層板的非線性特性。通過分析及設(shè)計(jì)，使得正交非對(duì)稱層板具有準(zhǔn)零剛度特性。采用準(zhǔn)零剛度正交非對(duì)稱層板作為隔振器進(jìn)行隔振研究，預(yù)測(cè)其隔振效率，并與線性隔振系統(tǒng)進(jìn)行比較。探究將其運(yùn)用于衛(wèi)星微振動(dòng)控制的可行性。

1 理論模型

雙穩(wěn)定層板為非對(duì)稱鋪層，層板在制造溫度時(shí)板為平板構(gòu)型，由于預(yù)浸料在垂直纖維方向的熱膨脹系數(shù)與沿纖維方向熱膨脹系數(shù)的不同，在層板冷卻至室溫過程中，垂直纖維方向與沿纖維方向均產(chǎn)生殘余熱應(yīng)力，層板在殘余熱應(yīng)力作用下產(chǎn)生固化變形。圖1所示為正交鋪設(shè)層板中殘余熱應(yīng)力在垂直纖維方向與沿纖維方向的單位長(zhǎng)度的截面內(nèi)的合力與合彎矩。

圖1 正交層板中殘余熱應(yīng)力的合力與合彎矩示意圖Fig.1 Sketch map of resultant force and resultant moment of residual thermal stress in cross-ply laminates

假設(shè)層板中心固定限制其平動(dòng)及轉(zhuǎn)動(dòng)。利用Hamilton法則Lagrangian方程的一階變分在時(shí)間上的積分為零建立層合板動(dòng)力學(xué)模型。

(1)

式中：T為板的動(dòng)能；∏為板的總勢(shì)能；WF為外力對(duì)板做的功。

1.1 層合板總勢(shì)能

正交鋪設(shè)雙穩(wěn)定層板的坐標(biāo)系如圖2所示，坐標(biāo)系的原點(diǎn)為層板中心點(diǎn)，坐標(biāo)主軸與層板邊緣平行。層板鋪設(shè)以中心面(即坐標(biāo)軸xoy面)為分界中心面以下為0°鋪層，以上為90°鋪層，0°鋪層與90°鋪層厚度相等，文中所描述層合板厚度均為層合板總厚度。

(a)非穩(wěn)定構(gòu)型 (b)穩(wěn)定構(gòu)型1 (c)穩(wěn)定構(gòu)型2圖2 正交鋪設(shè)雙穩(wěn)定層板坐標(biāo)示意圖Fig.2 Cartesian coordinate system for cross-ply bistable laminate

根據(jù)Kirchhoff假設(shè)，可得到雙穩(wěn)定層板面內(nèi)應(yīng)變表達(dá)式為

(2)

(3)

因?yàn)殡p穩(wěn)定層板的大變形，在計(jì)算其中心面應(yīng)變時(shí)需引入von Karman幾何非線性假設(shè)，得到雙穩(wěn)定層板的中心面應(yīng)變表達(dá)式為

(4)

考慮殘余熱應(yīng)力影響，層板每一各向異性層(如第k層)的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系在層合板坐標(biāo)系下的表達(dá)式為

(5)

聯(lián)立式(2)、(4)并在層合板厚度方向上積分，可以得到層合板單位長(zhǎng)度上的合力與合力矩。

(6)

(7)

式(6)、(7)可以改寫為：

(8)

式中:A、B、D矩陣分別為層板的拉伸剛度矩陣、拉彎耦合剛度矩陣以及彎曲剛度矩陣：

(9)

Nt和Mt分別為層合板的殘余熱應(yīng)力在層合板厚度方向上積分得到的合力和合彎矩:

(10)

最后，層合板的總勢(shì)能可寫為：

(11)

式中:Lx和Ly分別為層合板的平面尺寸。

因?yàn)閷雍习鍨榉菍?duì)稱鋪層，層合板內(nèi)部存在拉彎耦合，因此,層合板中心面上的應(yīng)變包含薄膜應(yīng)變和彎曲應(yīng)變。由式(9)可知，層合板的拉伸剛度矩陣與層合板厚度方向上坐標(biāo)零點(diǎn)的位置無關(guān)，可得層合板在截面上的合力與薄膜應(yīng)變的關(guān)系為：

N=Aεm

(12)

式中:εm為層合板的薄膜應(yīng)變，聯(lián)立式(12)與式(8)，可以得到層合板的薄膜應(yīng)變與中心面應(yīng)變之間的關(guān)系式為

ε0=εm-A-1BK+A-1Nt

(13)

對(duì)于正交鋪設(shè)層合板，其彎曲方向與坐標(biāo)軸平行，結(jié)合邊界條件以及層合板變形的對(duì)稱性特點(diǎn)，可假設(shè)正交鋪設(shè)層合板的面外位移函數(shù)為：

w=ax2+by2+a1x4+b1y4+
a2x6+b2y6+ex2y2

(14)

式中:ai，bi，e為未知參數(shù)，則可求得層合板彎曲曲率為：

(15)

假設(shè)層合板的薄膜應(yīng)變形式為：

(16)

式中:ci，di為未知參數(shù)。將式(16)代入式(13)可得到層合板的中心面應(yīng)變，對(duì)層合板中心面應(yīng)變積分可得到層合板中心面面內(nèi)位移函數(shù)，聯(lián)立式(14)可求得層合板的中心面剪切應(yīng)變。

1.2 外力做功

為了驅(qū)動(dòng)雙穩(wěn)定層合板從一種穩(wěn)態(tài)跳變到另一種穩(wěn)態(tài)，需要雙穩(wěn)定對(duì)層合板施加驅(qū)動(dòng)力，學(xué)者們研究了利用形態(tài)記憶合金[14]，壓電智能材料[15]以及施加集中載荷[16]等方法驅(qū)動(dòng)雙穩(wěn)定層合板跳變。本文中在雙穩(wěn)定層合板四個(gè)角點(diǎn)施加集中載荷驅(qū)動(dòng)雙穩(wěn)定層合板跳變。在這種驅(qū)動(dòng)方式下外力做功為：

(17)

式中:f為每個(gè)角點(diǎn)作用的集中力。

1.3 層合板總動(dòng)能

層合板中心固定，忽略面外轉(zhuǎn)動(dòng)，可得到正交鋪設(shè)層合板總動(dòng)能表達(dá)式為：

(18)

層合板的總動(dòng)能的一階變分在時(shí)間上的積分為：

(19)

化簡(jiǎn)式(19)可得，

(20)

1.4 構(gòu)型預(yù)測(cè)

根據(jù)最小能量原理，可以預(yù)測(cè)雙穩(wěn)定層合板在殘余熱應(yīng)力以及驅(qū)動(dòng)載荷作用下的靜態(tài)構(gòu)型，雙穩(wěn)定層合板靜態(tài)構(gòu)型預(yù)測(cè)表達(dá)式為：

δWF-δ=0

(21)

聯(lián)立式(2)、式(17)代入式(21)可得到，

(22)

當(dāng)式(22)中每一項(xiàng)都等于0時(shí)，將得到一組關(guān)于未知參數(shù)ai，bi，ci，di，e的非線性方程組(23)：

(23)

因?yàn)閒ci，fdi為關(guān)于未知參數(shù)ci，di的線性方程，則ci，di可以用關(guān)于未知參數(shù)ai，bi，e的方程表示，則方程組(23)可簡(jiǎn)化為7個(gè)非線性方程,得到方程組(24)：

K(X)-F(X)=0

(24)

式中：

(25)

方程組(24)的解對(duì)應(yīng)雙穩(wěn)定層板的平衡構(gòu)型，通常方程組(24)存在多組解，對(duì)于雙穩(wěn)定層板的穩(wěn)定構(gòu)型，Jacobian矩陣(26)必須為正定矩陣：

(26)

1.5 動(dòng)力學(xué)方程

將雙穩(wěn)定層合板的總勢(shì)能、總動(dòng)能以及外力做功代入方程(1)化簡(jiǎn)，可得到雙穩(wěn)定層合板運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程。

(27)

式中:M為雙穩(wěn)定層合板的質(zhì)量矩陣，可通過式(20)求得。F(X,t)表示式(17)中的角點(diǎn)集中力隨時(shí)間變化。在理論模型中為了考慮阻尼影響，假設(shè)了Rayleigh阻尼，由于本文主要研究層板在較低頻率下的振動(dòng)響應(yīng)，可假設(shè)層合板的剛度阻尼系數(shù)為0，則層合板的阻尼形式為：

(28)

式中:α為層合板的質(zhì)量阻尼系數(shù)。

2 靜力分析

層板所用材料體系為CCF300/5428，0°和90°鋪層厚度相同，材料參數(shù)見表格1。層板的固化溫度為140℃，假設(shè)室溫為20℃，則層板從固化溫度到室溫的溫度差為ΔT=-120℃。

表1 CCF300/5428材料參數(shù)Tab.1 Material properities of the CCF300/5428

2.1 構(gòu)型預(yù)測(cè)

利用ABAQUS中殼單元建立100 mm×100 mm正方形正交鋪設(shè)的雙穩(wěn)定層板的有限元模型，約束層板中心的位移和轉(zhuǎn)動(dòng)。在第一個(gè)靜態(tài)分析步內(nèi)將溫度場(chǎng)從層板固化溫度冷卻到室溫，結(jié)果顯示層合板構(gòu)型為非穩(wěn)定的馬鞍面構(gòu)型。為了得到層合板的穩(wěn)定構(gòu)型，重啟靜態(tài)分析步在層合板四個(gè)角點(diǎn)施加沿z軸方向的微小集中載荷，第二靜態(tài)分析步結(jié)束后，再次進(jìn)行靜力學(xué)分析去除在層合板角點(diǎn)施加的載荷，即可得到無外載荷作用下雙穩(wěn)定層合板的穩(wěn)定構(gòu)型，改變載荷沿z軸的正負(fù)方向，可得到兩種不同的穩(wěn)定構(gòu)型。改變層合板的厚度，有限元分析及理論計(jì)算得到的無外載荷作用下層合板穩(wěn)定狀態(tài)的角點(diǎn)面外位移與層合板厚度關(guān)系曲線如圖3所示。

圖3 正交鋪設(shè)層板厚度參數(shù)分析Fig.3 Parametric analysis of laminate thickness for cross-ply laminate

圖3所示理論計(jì)算結(jié)果與有限元分析結(jié)果吻合的很好，當(dāng)層合板厚度達(dá)到一定尺寸時(shí)會(huì)失去雙穩(wěn)定特性，此時(shí)層合板的穩(wěn)定構(gòu)型為馬鞍面構(gòu)型。有限元分析得到的層合板失去雙穩(wěn)定性的臨界厚度約為1.028～1.032 mm,理論計(jì)算得到的臨界厚度約為1.022～1.026 mm。原因是理論模型中共有17個(gè)未知參數(shù)，即模型具有17個(gè)自由度，而在有限自由度的限制下理論模型無法精確表征層合板的局部變形；相比之下，有限元模型中由于節(jié)點(diǎn)數(shù)較多，其自由度遠(yuǎn)大于理論模型。因此，理論模型與有限元模型所預(yù)測(cè)的雙穩(wěn)態(tài)臨界厚度存在一定誤差。

為研究層正方形正交鋪設(shè)合板層合板幾何尺寸以及材料屬性對(duì)其失去雙穩(wěn)定特性臨界厚度的影響，利用理論計(jì)算方法得到了不同材料層合板邊長(zhǎng)與臨界厚度的關(guān)系，如圖4所示。預(yù)測(cè)結(jié)果顯示，當(dāng)材料確定時(shí)，層合板失去雙穩(wěn)定特性的臨界厚度與其邊長(zhǎng)呈線性關(guān)系。

2.2 剛度分析

利用有限元分析，在層合板四個(gè)角點(diǎn)施加位移驅(qū)動(dòng)，得到不同厚度情況下層合板角點(diǎn)力位移關(guān)系曲線如圖5所示，由圖5中(a)、(b)、(c)可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)層合板具有雙穩(wěn)定性時(shí)，層合板在角點(diǎn)面外位移為0附近的一定位移區(qū)間內(nèi)具有負(fù)剛度特性，并且隨著層合板厚度增加具有負(fù)剛度特性的位移區(qū)間逐漸變窄，當(dāng)層合板厚度增加到1.032 mm時(shí)，層合板失去雙穩(wěn)定構(gòu)型。此時(shí)層合板無外載荷作用下的穩(wěn)定構(gòu)型為馬鞍面構(gòu)型，角點(diǎn)力位移關(guān)系曲線如圖5(d)所示，在其平衡位置附近的位移區(qū)間內(nèi)，層合板剛度趨近于零，隨著角點(diǎn)偏離平衡位置的位移增大，層合板剛度非線性增大，此種狀態(tài)層合板具有準(zhǔn)零剛度特性。

圖4 不同材料層合板長(zhǎng)度與臨界厚度關(guān)系Fig.4 Length-critical thickness curve of different materials

(a)層合板厚0.7 mm (b)層合板厚1 mm (c)層合板厚1.028 mm

(d)層合板厚1.032 mm (e)層合板厚1.032 mm局部圖圖5 層合板角點(diǎn)力位移關(guān)系Fig.5 Corner node force-displacement curve

對(duì)比圖5(c)、圖5(d)有限元分析結(jié)果顯示在層合板臨界厚度附近，層合板厚度發(fā)生微小變化會(huì)引起其剛度發(fā)生顯著變化。理論模型計(jì)算顯示層合板的臨界厚度約為1.026 mm，表格2中對(duì)比了層合板在微小載荷作用下的角點(diǎn)面外位移，圖6中對(duì)比了層合板力位移關(guān)系曲線有限元分析結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果。結(jié)果顯示層合板厚為1.032 mm時(shí)，理論模型與有限元模型結(jié)果存在較大誤差。理論模型層合板厚度為1.026 mm時(shí)與有限元模型層合板厚度為1.032 mm時(shí)層合板剛度特性基本吻合。即理論模型中當(dāng)層合板厚度為1.026 mm時(shí)具有準(zhǔn)零剛度特性。

表2 不同載荷作用下角點(diǎn)面外位移對(duì)比Tab.2 Out-of-plane displacement of corner node with different load

圖6 層合板角點(diǎn)力位移關(guān)系對(duì)比Fig.6 Contrast of corner node force-displacement curve

3 隔振研究

已有的利用雙穩(wěn)定層合板進(jìn)行振動(dòng)控制的研究中，雙穩(wěn)定層合板作為負(fù)剛度機(jī)構(gòu)與其他正剛度機(jī)構(gòu)組合構(gòu)造準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)進(jìn)行隔振[12-13]，其中正剛度機(jī)構(gòu)用于承載被隔振設(shè)備自重。有限元分析結(jié)果圖5顯示當(dāng)層合板厚度為1.032 mm時(shí)，層合板具有準(zhǔn)零剛度特性，此狀態(tài)下層合板在靜平衡位置附近剛度接近于零。在外太空環(huán)境中可以忽略被隔振設(shè)備自重，所以可以考慮單獨(dú)利用此狀態(tài)的層合板作為準(zhǔn)零剛度機(jī)構(gòu)進(jìn)行衛(wèi)星微振動(dòng)低頻隔振，此時(shí)層合板穩(wěn)定構(gòu)型為馬鞍面構(gòu)型，靜平衡狀態(tài)角點(diǎn)面外位移為零。從力位移關(guān)系曲線圖還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)系統(tǒng)偏離平衡位置達(dá)到一定位移后，系統(tǒng)承載能力顯著增加，具體數(shù)據(jù)見表格3，可以在衛(wèi)星發(fā)射階段承受過載，保護(hù)系統(tǒng)在衛(wèi)星發(fā)射階段不被損壞。傳統(tǒng)的線性隔振系統(tǒng)顯然無法同時(shí)起到在太空中低頻隔振，以及發(fā)射階段承受過載的作用。

表3 不同位移下系統(tǒng)反作用力對(duì)比Tab.3 Refraction force of different displacement

3.1 隔振效果研究

首先利用理論和有限元方法研究層合板無阻尼自由振動(dòng)頻率，層合板中心固定，四個(gè)角點(diǎn)各固定一個(gè)重量為50 g的質(zhì)量塊，在四個(gè)角點(diǎn)施加集中載荷，撤去載荷后層合板無阻尼振動(dòng)頻率與預(yù)作用力的關(guān)系曲線如圖7所示。從圖7可發(fā)現(xiàn)層合板無阻尼自由振動(dòng)頻率隨角點(diǎn)預(yù)作用載荷增大非線性的增大，即層合板剛度隨著角點(diǎn)偏離平衡位置的位移增大而非線性增大，與圖5(d)所示結(jié)果相符。

圖7 層合板無阻尼自由振動(dòng)頻率Fig.7 Nature frequency of laminate

在厚度為1.032 mm的復(fù)合材料層合板四個(gè)角點(diǎn)各固定一個(gè)質(zhì)量塊，構(gòu)成簡(jiǎn)單隔振系統(tǒng)。在層合板中心施加正弦加速度激勵(lì)如式(29)所示。激勵(lì)加速度幅值為a1=50 mg,層合板質(zhì)量阻尼系數(shù)取100。觀測(cè)角點(diǎn)加速度響應(yīng)，角點(diǎn)加速度響應(yīng)幅值記為a2，將得到的結(jié)果與相同材料的由無殘余熱應(yīng)力的正交鋪設(shè)平板構(gòu)成的線性隔振系統(tǒng)的隔振效果進(jìn)行比較，結(jié)果如圖8所示。

a=a1sin(2πft)

(29)

(a)角點(diǎn)質(zhì)量4×25 g

(b)角點(diǎn)質(zhì)量4×50 g圖8 激勵(lì)頻率對(duì)加速度傳遞幅值的影響Fig.8 Excitation frequency effect

由圖8可以發(fā)現(xiàn)隨著被隔振設(shè)備質(zhì)量的增加，系統(tǒng)固有頻率降低，本文研究的準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)理論計(jì)算結(jié)果與有限元分析結(jié)果在一定頻帶范圍內(nèi)兩者存在較大誤差，但總的隔振效果隨激勵(lì)頻率的變化趨勢(shì)一致。與線性隔振系統(tǒng)相比，準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的固有頻率低于線性隔振系統(tǒng)，振動(dòng)加速度傳遞峰值小于線性隔振系統(tǒng)，隔振有效區(qū)域?qū)捰诰€性隔振系統(tǒng)，且在隔振有效頻帶內(nèi)隔振效果明顯優(yōu)于線性隔振系統(tǒng)。

3.2 誤差分析及討論

由圖8發(fā)現(xiàn)理論模型計(jì)算結(jié)果與有限元分析結(jié)果存在一定誤差，產(chǎn)生誤差的主要原因是理論模型中取層合板的厚度為1.032 mm，由圖6中力位移關(guān)系曲線可以發(fā)現(xiàn)此時(shí)理論模型在平衡位置附近剛度遠(yuǎn)大于有限元模型，圖9中給出了理論模型利用厚度為1.026 mm層合板的隔振效果。角點(diǎn)質(zhì)量為4×25 g。

圖9中結(jié)果顯示當(dāng)理論計(jì)算模型中層合板厚度取1.026 mm時(shí)，其隔振效果與有限元模型吻合較好，與圖6結(jié)果相符。圖9中結(jié)果顯示被隔振設(shè)備質(zhì)量確定時(shí)，加速度激勵(lì)幅值增加會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)固有頻率增加，如本研究中對(duì)于重100 g的被隔振設(shè)備，激勵(lì)加速度幅值有10 mg增加到50 mg時(shí)，系統(tǒng)固有頻率有5.2 Hz增加到8 Hz。原因是系統(tǒng)剛度隨系統(tǒng)偏離平衡位置位移增大而增大。

(a)激勵(lì)幅值10 mg

(b)激勵(lì)幅值10 mg局部圖

(c)激勵(lì)幅值50 mg

(d)激勵(lì)幅值50 mg局部圖圖9 隔振效果對(duì)比Fig.9 Contrast of isolation effect

通過與文獻(xiàn)[7-8]中研究結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn)，本文研究的隔振器與傳統(tǒng)準(zhǔn)零剛度隔振器隔振效果類似，但具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的優(yōu)勢(shì)，有利于衛(wèi)星減重設(shè)計(jì)。

4 結(jié) 論

本文建立了正交鋪設(shè)復(fù)合材料層合板的理論模型，研究了其雙穩(wěn)定特性以及剛度特性層板厚度之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)隨著層合板厚度增加其負(fù)剛度變形區(qū)間逐漸變窄，當(dāng)層合板厚度達(dá)到失去雙穩(wěn)定特性臨界厚度時(shí)，層合板具有準(zhǔn)零剛度特性。研究了以該厚度層合板作為準(zhǔn)零剛度機(jī)構(gòu)進(jìn)行隔振的效果，通過與線性隔振系統(tǒng)的隔振效果進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)，該準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)具有固有頻率低、隔振頻帶寬、在隔振頻帶范圍內(nèi)隔振效果好等優(yōu)點(diǎn)。且與傳統(tǒng)準(zhǔn)零剛度隔振機(jī)構(gòu)相比，本文研究的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，占用空間小，無需復(fù)雜的機(jī)構(gòu)便可以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度特性，對(duì)于衛(wèi)星微振動(dòng)隔離具有潛在應(yīng)用價(jià)值。