李 洋, 鄧 嘉, 張新艷

(同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院, 上海 201804)

制造系統(tǒng)需要將設(shè)備保持在良好的工作狀態(tài)以防止設(shè)備故障，合理的設(shè)備維護(hù)作為典型的制造業(yè)生產(chǎn)性服務(wù)[1]對(duì)于保證生產(chǎn)線高效運(yùn)行具有至關(guān)重要的作用[2].基于狀態(tài)的維護(hù)(condition-based maintenance, CBM)是一種根據(jù)設(shè)備退化程度進(jìn)行維護(hù)的決策方式，及時(shí)運(yùn)用CBM方法輔助生產(chǎn)決策可以降低故障頻率，減少維修費(fèi)用.但由于進(jìn)行CBM需要暫時(shí)停止設(shè)備運(yùn)行，所以會(huì)在一定程度上影響系統(tǒng)產(chǎn)量[3].CBM引起的設(shè)備停機(jī)對(duì)于生產(chǎn)線的影響不僅僅單獨(dú)作用于維護(hù)設(shè)備，還會(huì)引起其上游設(shè)備的阻塞或下游設(shè)備的饑餓，進(jìn)而影響生產(chǎn)系統(tǒng)的整體效率，延誤既定的生產(chǎn)進(jìn)程.因此，如何平衡設(shè)備故障導(dǎo)致的潛在風(fēng)險(xiǎn)和停機(jī)維護(hù)引起的產(chǎn)量損失，在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)間對(duì)設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，是每個(gè)生產(chǎn)系統(tǒng)不容忽視的問(wèn)題.

在制造系統(tǒng)中，利用緩沖區(qū)庫(kù)存可以有效減少設(shè)備維護(hù)帶來(lái)的生產(chǎn)損失，保證維護(hù)設(shè)備在停機(jī)時(shí)其上、下游工序可以繼續(xù)生產(chǎn)[4].作為學(xué)術(shù)和工業(yè)界關(guān)注的焦點(diǎn)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者不斷對(duì)帶緩沖區(qū)庫(kù)存的生產(chǎn)系統(tǒng)的維護(hù)決策問(wèn)題提出各種分析和解決方法，旨在提高系統(tǒng)的生產(chǎn)率.對(duì)于雙機(jī)生產(chǎn)線，Karamatsoukis等[5]證明了根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)控制維護(hù)決策的合理性.Gan等[6]對(duì)具有衰退特征的設(shè)備生產(chǎn)線建立基于馬爾可夫鏈的數(shù)學(xué)模型，加上對(duì)備件庫(kù)存量的考慮，確定上游設(shè)備的最佳維護(hù)周期.陸志強(qiáng)等[7]針對(duì)可修復(fù)設(shè)備，同時(shí)對(duì)單位時(shí)間成本和系統(tǒng)可用度進(jìn)行雙目標(biāo)優(yōu)化.對(duì)于上下游設(shè)備同時(shí)退化的雙機(jī)生產(chǎn)線，F(xiàn)itouhi等[8]以提高系統(tǒng)整體生產(chǎn)效率為目標(biāo)，計(jì)算了最佳維護(hù)點(diǎn)，并證明了設(shè)備運(yùn)行速度對(duì)維護(hù)決策的影響.對(duì)于多機(jī)復(fù)雜系統(tǒng)，Nahas[9]在產(chǎn)量約束的前提下綜合考慮維護(hù)活動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的整體影響，通過(guò)合理分配各緩沖區(qū)的容量，確定最優(yōu)預(yù)防性維護(hù)策略.周炳海等[10]通過(guò)建立系統(tǒng)狀態(tài)與質(zhì)量損失間的函數(shù)關(guān)系，確定機(jī)會(huì)維護(hù)決策點(diǎn).面對(duì)維護(hù)后不能完全恢復(fù)如新的設(shè)備，Zhang等[11]研究了故障設(shè)備數(shù)量與維護(hù)決策之間的關(guān)系.

上述文獻(xiàn)在計(jì)算維護(hù)活動(dòng)造成的生產(chǎn)損失時(shí)，往往假設(shè)系統(tǒng)損失的產(chǎn)量與設(shè)備停機(jī)時(shí)間成正比.然而由于復(fù)雜生產(chǎn)系統(tǒng)中設(shè)備和緩沖區(qū)的交互作用[12]，并非所有的停機(jī)時(shí)間都會(huì)對(duì)系統(tǒng)造成永久性的生產(chǎn)損失，部分停機(jī)時(shí)間只會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)量臨時(shí)降低，并在后續(xù)的生產(chǎn)活動(dòng)中得以恢復(fù)[13].對(duì)于機(jī)器可靠性服從伯努利分布的生產(chǎn)線，Chang等[14]驗(yàn)證了通過(guò)計(jì)算停機(jī)維護(hù)造成的生產(chǎn)損失，可以量化維護(hù)活動(dòng)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的影響.Li等[15]建立了基于事件的模型來(lái)量化設(shè)備活動(dòng)對(duì)生產(chǎn)系統(tǒng)的影響.上述文獻(xiàn)通過(guò)可檢測(cè)到的生產(chǎn)數(shù)據(jù)評(píng)估了停機(jī)活動(dòng)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的影響并尋求改進(jìn)，但無(wú)法預(yù)測(cè)系統(tǒng)后期的動(dòng)態(tài)變化并提前做出準(zhǔn)備.

綜上所述，目前很少有文獻(xiàn)在準(zhǔn)確描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的基礎(chǔ)上預(yù)測(cè)設(shè)備停機(jī)對(duì)系統(tǒng)帶來(lái)的影響.因此，研究設(shè)備符合伯努利可靠性模型的生產(chǎn)線[16](伯努利生產(chǎn)線)實(shí)時(shí)維護(hù)決策問(wèn)題，建立基于馬爾可夫過(guò)程的數(shù)學(xué)模型描述系統(tǒng)的實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)變化，預(yù)測(cè)維護(hù)活動(dòng)對(duì)系統(tǒng)帶來(lái)的潛在影響，使系統(tǒng)在一系列的停機(jī)維護(hù)過(guò)程中永久性生產(chǎn)損失最小，并通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證模型和算法的有效性.

1 問(wèn)題描述

考慮一條如圖1所示的具有M臺(tái)設(shè)備、M-1個(gè)緩沖區(qū)的串行伯努利生產(chǎn)系統(tǒng).Mm表示第m個(gè)設(shè)備，bm表示第m個(gè)緩沖區(qū).該系統(tǒng)的符號(hào)和假設(shè)如下：

圖1擁有M臺(tái)設(shè)備和M-1個(gè)緩沖區(qū)的串行伯努利生產(chǎn)線

Fig.1BernoulliserialproductionlinewithMmachinesandM-1buffers

(1) 緩沖區(qū)bm,m=1,…,M-1的容量上限為Bm.

(2) 設(shè)備Mm,m=1,…,M的生產(chǎn)周期相同，系統(tǒng)按照機(jī)器生產(chǎn)周期劃分為生產(chǎn)階段t=1,…,T.

(3) 系統(tǒng)中所有設(shè)備均為可靠性為pm的伯努利設(shè)備，即在階段t，設(shè)備Mm運(yùn)行的概率為pm，失效的概率為1-pm.

(4)αm表示設(shè)備Mm的狀態(tài).

(1)

(5) 設(shè)備Mm的最大速度為Sm，即在運(yùn)行過(guò)程中，設(shè)備Mm的時(shí)速不超過(guò)Sm.

(6) 如果設(shè)備Mm*的加工速度最小，即MM*=arg minm=1,…,M(Sm)，則設(shè)備Mm*稱(chēng)為最慢設(shè)備.

(7) 當(dāng)系統(tǒng)滿足以下條件時(shí)，Mm阻塞：①M(fèi)m運(yùn)行；②下游緩沖區(qū)容量bm(t)=Bm；③Mm+1不運(yùn)行.

(8) 當(dāng)系統(tǒng)滿足以下條件時(shí)，Mm饑餓：①M(fèi)m運(yùn)行；②上游緩沖區(qū)容量bm-1(t)=0.

(9)M1永遠(yuǎn)不會(huì)饑餓，MM永遠(yuǎn)不會(huì)阻塞.

(10)ei=(Mm,ti,di)表示發(fā)生在設(shè)備Mm的停機(jī)事件，停機(jī)時(shí)間為[ti,ti+di).

1.1 基于馬爾可夫過(guò)程的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)描述

(2)

bm(t)=bm(t)+sm(t)-sm+1(t),m=1,…,M-1

(3)

其中，設(shè)備Mm在階段t的生產(chǎn)速度為

(4)

在階段t，生產(chǎn)系統(tǒng)的設(shè)備狀態(tài)共有2M種組合方式，每種組合方式分別對(duì)應(yīng)了不同的緩沖區(qū)容量變化情況.假設(shè)系統(tǒng)在階段t的狀態(tài)為U(t)=[b1(t),b2(t),…,bM-1(t)]，不同的設(shè)備狀態(tài)組合對(duì)應(yīng)了不同的U(t+1).系統(tǒng)狀態(tài)從U(t)轉(zhuǎn)移到U(t+1)的轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算步驟如下：

步驟1 計(jì)算階段t設(shè)備狀態(tài)α1(t),α2(t),…,αM(t)的組合概率

(5)

步驟2 假設(shè)在階段t，系統(tǒng)狀態(tài)U(t)=[b1(t),b2(t),…,bM-1(t)].根據(jù)式(3)和(5)，求出每種設(shè)備狀態(tài)組合所對(duì)應(yīng)的下一階段的系統(tǒng)狀態(tài)U(t+1).

步驟3 將對(duì)應(yīng)了相同的系統(tǒng)狀態(tài)的設(shè)備狀態(tài)組合概率相加，即得到系統(tǒng)從U(t)變成U(t+1)的轉(zhuǎn)移概率.

步驟4 對(duì)所有系統(tǒng)狀態(tài)重復(fù)以上步驟，直到得到系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣A.

通過(guò)以上步驟，當(dāng)給定系統(tǒng)初始狀態(tài)Psys(0)時(shí)，任一生產(chǎn)階段的系統(tǒng)狀態(tài)可以由式(6)迭代得到

Psys(t+1)=APsys(t)

(6)

1.2 機(jī)會(huì)窗口

1.2.1機(jī)會(huì)窗口的定義

Li等[16]提出，機(jī)會(huì)窗口是指事件ei=(Mm,ti,di)引起設(shè)備Mm停機(jī)但不會(huì)造成永久性生產(chǎn)損失的最長(zhǎng)停機(jī)時(shí)間.只有當(dāng)停機(jī)事件ei的持續(xù)時(shí)間大于機(jī)會(huì)窗口Wm(ei)時(shí)，系統(tǒng)才會(huì)產(chǎn)生永久性生產(chǎn)損失.根據(jù)以上定義，機(jī)會(huì)窗口可以由以下公式表示：

(7)

從式(7)可以看出，機(jī)會(huì)窗口的定義與停機(jī)設(shè)備在生產(chǎn)線的相對(duì)位置有關(guān).當(dāng)Mm位于MM*上游(1

根據(jù)機(jī)會(huì)窗口的定義，通過(guò)分析MM*在停機(jī)過(guò)程[ti,ti+di)中的狀態(tài)變化，找出其饑餓或阻塞的時(shí)間點(diǎn)，可以準(zhǔn)確量化停機(jī)維護(hù)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)量的影響.因此，發(fā)生在Mm的停機(jī)事件ei=(Mm,ti,di)對(duì)系統(tǒng)造成的永久性生產(chǎn)損失L(ei)則可以通過(guò)最慢設(shè)備MM*在系統(tǒng)停機(jī)時(shí)間里的產(chǎn)生的生產(chǎn)損失來(lái)衡量.

(8)

1.2.2機(jī)會(huì)窗口的單調(diào)性

從機(jī)會(huì)窗口的定義可以看出，機(jī)會(huì)窗口Wm(ei)的長(zhǎng)度與停機(jī)設(shè)備Mm和最慢設(shè)備MM*之間的緩沖區(qū)容量有關(guān).Mm和MM*相對(duì)位置的不同，Wm(ei) 呈現(xiàn)不同的單調(diào)性.

定理1在服從假設(shè)(1)～(10)定義的伯努利生產(chǎn)線中：

證明假設(shè)停機(jī)事件發(fā)生于最慢設(shè)備MM*的上游(1

(9)

(10)

(11)

(12)

因此，Mm的機(jī)會(huì)窗口Wm(ei)為

(13)

2 模型求解

2.1 機(jī)會(huì)窗口計(jì)算

結(jié)合系統(tǒng)動(dòng)態(tài)描述和機(jī)會(huì)窗口的定義，可以計(jì)算出在復(fù)雜系統(tǒng)動(dòng)態(tài)下各個(gè)設(shè)備的機(jī)會(huì)窗口，進(jìn)而預(yù)測(cè)停機(jī)事件ei對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)量的影響.假設(shè)存在停機(jī)維護(hù)ei=(Mm,ti,di)，根據(jù)機(jī)會(huì)窗口的定義，為了確定Mm不造成生產(chǎn)損失的最長(zhǎng)停機(jī)時(shí)間，需要找到維護(hù)設(shè)備Mm和最慢設(shè)備MM*之間緩沖區(qū)容量開(kāi)始變?yōu)榱?1

(14)

則機(jī)會(huì)窗口的定義可以簡(jiǎn)化為

(15)

因此，維護(hù)活動(dòng)ei=(Mm,ti,di)的機(jī)會(huì)窗口Wm(ei)可以通過(guò)以下步驟求得.

步驟1 初始化：d=0.

步驟2 根據(jù)式(5)求得系統(tǒng)狀態(tài)在ti+d的概率分布Psys(ti+d).

步驟4 計(jì)算機(jī)會(huì)窗口為d的概率P(Wm(ei)),為

(16)

步驟6d=d+1，根據(jù)式(5)，確定階段ti+d的系統(tǒng)轉(zhuǎn)移概率并轉(zhuǎn)到步驟2.

通過(guò)以上步驟可以得到機(jī)會(huì)窗口Wm(ei)的概率分布，即P(Wm(ei)=0),P(Wm(ei))=1,…，P(Wm(ei)=n).則Mm機(jī)會(huì)窗口Wm(ei)的期望可以表示為

(17)

2.2 實(shí)時(shí)CBM決策控制算法

根據(jù)上文的算法，可以計(jì)算出待維護(hù)設(shè)備Mm的機(jī)會(huì)窗口，進(jìn)而量化維護(hù)活動(dòng)ei對(duì)生產(chǎn)線造成的永久性生產(chǎn)損失.為了降低此損失，維護(hù)活動(dòng)應(yīng)盡量安排在機(jī)會(huì)窗口較長(zhǎng)的生產(chǎn)階段.因此，如何調(diào)整維護(hù)活動(dòng)ei的停機(jī)時(shí)間，保證停機(jī)時(shí)Mm的機(jī)會(huì)窗口相對(duì)較長(zhǎng)，是下一個(gè)需要解決的問(wèn)題.假設(shè)每次維護(hù)的決策窗口為[0,T)，即對(duì)于維護(hù)活動(dòng)ei=(Mm,ti,di)，其開(kāi)始時(shí)間ti可以為決策窗口時(shí)間段內(nèi)的任一時(shí)間點(diǎn)，即0≤ti

步驟1 初始化：ti=0.

步驟2 根據(jù)2.1節(jié)的計(jì)算步驟，求出系統(tǒng)在階段ti的機(jī)會(huì)窗口Wm(ei).

步驟3ti=ti+1，判斷ti

步驟4 根據(jù)式(5)，確定階段ti的系統(tǒng)轉(zhuǎn)移概率并轉(zhuǎn)到步驟2.

(18)

3 算例分析

如圖2，假設(shè)一條擁有4臺(tái)設(shè)備和3個(gè)緩沖區(qū)的伯努利生產(chǎn)線，長(zhǎng)方形表示生產(chǎn)機(jī)器，圓形表示緩沖區(qū).隨運(yùn)行時(shí)間增加，設(shè)備M1和M3的健康狀態(tài)不斷退化，設(shè)備可靠性隨之降低.用hi表示Mi的健康狀態(tài)，從初始狀態(tài)hi(0)=1不斷衰減至退化狀態(tài)，即0

圖2 擁有4臺(tái)設(shè)備和3個(gè)緩沖區(qū)的伯努利生產(chǎn)線

表2 緩沖區(qū)性能參數(shù)

實(shí)驗(yàn)1證明了機(jī)會(huì)窗口的單調(diào)性，即通過(guò)調(diào)整緩沖區(qū)容量，可以減少維護(hù)活動(dòng)ei=(Mm,ti,di)對(duì)生產(chǎn)系統(tǒng)的影響.假設(shè)對(duì)設(shè)備M1和M3按時(shí)進(jìn)行維護(hù)，其平均修復(fù)時(shí)間分別為R(t)=R1·e0.008t和R(t)=R3·e0.006t，平均無(wú)故障時(shí)間分別為F(t)=F1·e-0.008t和F(t)=F1·e-0.006t，其中R1=3.5 h，R3=4 h，F(xiàn)1=10 h，F(xiàn)3=8 h.生產(chǎn)線每天運(yùn)行8 h，連續(xù)工作80 h.由于維護(hù)設(shè)備M1和M3位于最慢設(shè)備M4上游，根據(jù)機(jī)會(huì)窗口的單調(diào)性規(guī)律，增加的b2和b3緩沖區(qū)容量可以減少M(fèi)4饑餓的概率，從而增加M1和M3機(jī)會(huì)窗口的時(shí)長(zhǎng).假設(shè)有一批加時(shí)生產(chǎn)的半成品x存儲(chǔ)在設(shè)備M4上游，當(dāng)M4由于停機(jī)維護(hù)而饑餓時(shí)，可以通過(guò)加工半成品x保證生產(chǎn)線繼續(xù)運(yùn)行.實(shí)驗(yàn)1驗(yàn)證了當(dāng)x分別等于0、2、4、6、8、10時(shí)所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)產(chǎn)量和生產(chǎn)損失情況.圖3所示在x等于0到8時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)量G從52.34增加至72.12，增幅達(dá)到37.79%.而在x等于8和10時(shí)，產(chǎn)量略有減少.圖3所示x等于0到8時(shí)，系統(tǒng)生產(chǎn)損失從21.25減少到10.34，降幅達(dá)到51.34%.而在x等于8和10時(shí)，生產(chǎn)損失略增.這是因?yàn)閤從0增加到8時(shí)，M1和M3最大機(jī)會(huì)窗口小于停機(jī)時(shí)間，因此其增長(zhǎng)對(duì)減少生產(chǎn)損失、增加產(chǎn)量有明顯的影響.當(dāng)x大于8后,機(jī)會(huì)窗口等于或超過(guò)停機(jī)時(shí)間，因此無(wú)法再通過(guò)增加機(jī)會(huì)窗口而增加系統(tǒng)產(chǎn)量或減少生產(chǎn)損失.

實(shí)驗(yàn)2證明了實(shí)時(shí)CBM決策控制算法的合理性，即通過(guò)預(yù)測(cè)機(jī)會(huì)窗口靈活調(diào)整維護(hù)活動(dòng)的開(kāi)始時(shí)間，降低生產(chǎn)損失.假設(shè)設(shè)備Mi(i=1,3)有一組維護(hù)計(jì)劃Ei={ei,1,…,ei,n}，每次維護(hù)活動(dòng)ei,j(j=1,…,n)的決策窗口W=1 h，即設(shè)備Mi在1 h內(nèi)任意時(shí)刻均可以停機(jī)維護(hù).決策窗口W的間隔時(shí)間和維護(hù)活動(dòng)的持續(xù)時(shí)間服從指數(shù)分布，且均值分別為8 h和4 h.生產(chǎn)線每天運(yùn)行8 h，連續(xù)工作240 h.實(shí)驗(yàn)2對(duì)比了停機(jī)維護(hù)開(kāi)始時(shí)間的選擇在以下3種策略下對(duì)生產(chǎn)線的不同影響.

圖3 不同半成品x數(shù)量影響下的系統(tǒng)產(chǎn)量和生產(chǎn)損失變化

Fig.3Systemthroughputproductionlossvariationwhenaddingdifferentamountofsemi-finishedproducts

策略1：在決策窗口開(kāi)始時(shí)停機(jī)維護(hù).

策略2：隨機(jī)選擇時(shí)間停機(jī)維護(hù)，即維護(hù)活動(dòng)的開(kāi)始時(shí)間為決策窗口W內(nèi)任一時(shí)刻.

策略3：實(shí)時(shí)CBM決策控制方法.

圖4顯示了3種策略下每次維護(hù)造成的永久性生產(chǎn)損失.從圖4可以看出，由于策略3可以有效緩解CBM對(duì)產(chǎn)量的影響，因此在該種策略下產(chǎn)生的損失低于前2種策略.如表3所示，在決策窗口開(kāi)始時(shí)停機(jī)維護(hù)和隨機(jī)選擇時(shí)間停機(jī)維護(hù)對(duì)系統(tǒng)造成的平均生產(chǎn)損失分別為19.25和17.38，而利用實(shí)時(shí)CBM決策控制方法來(lái)控制停機(jī)維護(hù)的生產(chǎn)損失只有10.56，相較于前2種情況，生產(chǎn)損失分別減少了45.14%和39.24%，有效提升了系統(tǒng)產(chǎn)量.

4 結(jié)論

研究了伯努利生產(chǎn)線的實(shí)時(shí)維護(hù)決策問(wèn)題，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型描述生產(chǎn)系統(tǒng)的狀態(tài)變化，預(yù)測(cè)待維護(hù)設(shè)備的機(jī)會(huì)窗口，從而控制CBM決策，降低生產(chǎn)系統(tǒng)由于停機(jī)維護(hù)所導(dǎo)致的永久性生產(chǎn)損失.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文的數(shù)學(xué)模型可以有效描述復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)變化，量化停機(jī)維護(hù)對(duì)生產(chǎn)線帶來(lái)的負(fù)面影響.而CBM控制算法對(duì)降低由維護(hù)導(dǎo)致的永久性生產(chǎn)損失有明顯效果.本文目前只從生產(chǎn)損失角度來(lái)評(píng)估CBM對(duì)制造系統(tǒng)帶來(lái)的影響，而在實(shí)際生產(chǎn)中，維護(hù)決策的實(shí)施還要考慮生產(chǎn)成本、維護(hù)成本和庫(kù)存成本等其他方面的因素.綜合考慮以上多種成本對(duì)維護(hù)決策的影響是后續(xù)工作重點(diǎn).

a 策略1

b 策略2

c 策略3

CBM維護(hù)策略平均生產(chǎn)損失/(件·d-1)策略119.25策略217.38策略310.56