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例題 已知拋物線C：y₂=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在拋物線C上，且在x軸的上方，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥l，交l于點(diǎn)B，|AK|=·|AF|，則△AFK的面積為_(kāi)___.

分析 快速、準(zhǔn)確地作出拋物線的圖像是順利解答本題的第一步，如右圖所示.拋物線的定義及焦半徑公式是考生的必備知識(shí).通過(guò)圖像分析題目要求的△AFK的面積，由圖可知|KF|即為焦準(zhǔn)距p，即|KF|=p=4，關(guān)鍵在于求底邊KF上的高，即求出點(diǎn)A的縱坐標(biāo).請(qǐng)大家思考，怎樣來(lái)求點(diǎn)A的縱坐標(biāo)呢？我們一起來(lái)欣賞下面的解決方案.

方案一

反思 此解法較常規(guī)，我們很容易想到直接設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x₀，y₀）（y₂>0），要注意y₀的取值范圍，同時(shí)聯(lián)系拋物線的定義及焦半徑公式，得出|AF|=|AB|=x₀+2，利用△ABK為等腰直角三角形列出方程，進(jìn)而求得x₀=2，y₀=4，從而使問(wèn)題迎刃而解.

方案二 由題意可知拋物線的焦點(diǎn)為F（2，0），準(zhǔn)線l：x=-2，則點(diǎn)K的坐標(biāo)為（-2，0）.設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m， ）（m>0），則AF=AB=BK=m+2.由|AK|=2），化簡(jiǎn)可得m=2.故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），則△AFK的高為4.所以，△AFK的面積為1/2×4x4=8.

反思 方案二從題設(shè)開(kāi)始減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，使未知數(shù)變?yōu)橐粋€(gè)，這種充分利用已知條件減少參數(shù)個(gè)數(shù)的思想在解決問(wèn)題中是非常重要的.

方案三 過(guò)點(diǎn)A作AB⊥l，交l于點(diǎn)B，則|AF|=|AB|，|AK|= |AB|，所以直線AK的斜率為1.又可知點(diǎn)K的坐標(biāo)為（-2，0），所以直線AK的方程為y=x+2.于是由

解得x=2，y=4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4）.所以，△AFK的面積為1/2|KF·||y₀|=1/2×4×4=8.

反思 此方案充分挖掘題干信息，快速、準(zhǔn)確地得出直線AK的斜率為1，又直線AK過(guò)定點(diǎn)K（-2，0），可得直線AK的方程，然后聯(lián)立方程組解得點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而問(wèn)題得到圓滿解決.從方程的角度入手，聯(lián)立直線方程與曲線方程求交點(diǎn)坐標(biāo)，是解決直線與圓錐曲線問(wèn)題的常用方法.

方案四

反思 由AB∥x軸，|AK|=

|AF|，|AF|=|AB|，可知△AFK為等腰直角三角形，從而得到∠AKF=45°是本方案的關(guān)鍵點(diǎn).然后聯(lián)系余弦定理求出|AF|=4，進(jìn)而可知四邊形ABKF為正方形，故等腰直角三角形AFK的底邊KF上的高為4，從而問(wèn)題得解.

啟示 在平常的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們要勤于思考和探索，逐步適應(yīng)，發(fā)散思維，既要按照常規(guī)要求進(jìn)行思考，又不拘泥于常規(guī)，這也是新高考及新時(shí)代人才的需求方向.