鞠潭， 于紀言， 王曉鳴， 顧曉輝

(南京理工大學 智能彈藥技術國防重點學科實驗室， 江蘇 南京 210094)

0 引言

陀螺傳感器不僅能夠測量物體角速率并解算物體姿態(tài)，而且具有小體積、低能耗、低成本等特點。因此，陀螺傳感器被應用于各個領域[1-4]。然而，由于外界環(huán)境的干擾，陀螺傳感器存在一定的非正交誤差、刻度因子誤差和零偏，這些誤差使陀螺傳感器測量精度下降[5]。因此，為了獲取高精度的角速率測量信息，需要對陀螺傳感器進行校正處理。

一般而言，陀螺傳感器無法實現(xiàn)自校正功能，需要外部信息輔助校正[6]。對于三軸陀螺傳感器的校正，最常用的輔助校正方法有基于全球定位系統(tǒng)(GPS)的輔助校正、基于加速度計的輔助校正和基于地磁傳感器的輔助校正。將GPS測量運動物體得到的位置和速度信息作為輸入量，以物體的運動學和動力學方程作為狀態(tài)量，采用濾波估計的方式實時校正陀螺傳感器相關系數(shù)[7]，但是在靜態(tài)環(huán)境中，該方法無法獲得較好的校正結果。在基于加速度計或地磁傳感器輔助校正陀羅傳感器的方法中，利用同一時刻物體姿態(tài)相同的思想，建立相應的校正模型，可以解算得到陀螺傳感器的相關校正系數(shù)[2,8]。

基于上述方法建立的陀螺傳感器校正模型具有高維度、非線性等特點，解決這種高維度、非線性系統(tǒng)的常用方法有卡爾曼濾波(KF)模型和最小二乘(LS)模型[9]。這兩種常見的方法都能較大程度地改善陀螺傳感器的測量結果。針對陀螺傳感器校正模型的高精度解算，Yong等[10]研究了基于羅德里格斯參數(shù)的非線性觀測器解算方法，Kim等[11]研究了非線性高斯牛頓回歸法。與常見的KF模型和LS模型相比，這兩種方法可以獲得更高的解算結果。

上述研究只涉及陀螺傳感器的三軸校正問題，但當陀螺傳感器應用于低旋炮彈的姿態(tài)測量時，陀螺傳感器的量程遠遠小于彈丸的滾轉速率，陀螺傳感器無法測量彈丸x軸的角速率，僅能使用兩軸陀螺傳感器測量彈丸y軸和z軸的角速率。然而，兩軸陀螺傳感器的校正同樣涉及與x軸相關的非正交誤差項。由于彈丸x軸角速率遠遠大于彈丸y軸和z軸的角速率，該非正交誤差項將較大程度地影響陀螺傳感器的測量精度。與其他陀螺傳感器的應用環(huán)境不同，低旋彈丸獨特的運動特性給兩軸陀螺傳感器的校正帶來了挑戰(zhàn)。

針對彈載環(huán)境下兩軸陀螺傳感器的校正問題，本文研究了基于地磁輔助的方法來校正兩軸陀螺傳感器。結合彈丸的繞心運動方程，推導了兩軸陀螺傳感器測量誤差模型。由地磁信號解算得到彈丸x軸滾轉角速率，結合兩軸陀螺傳感器的測量值，運用線性LS模型和KF模型校正陀螺傳感器。數(shù)值仿真驗證了本文方法的可行性，分析了彈丸x軸角速率解算誤差和陀螺傳感器測量噪聲對較正結果的影響。最后，通過搭建半實物仿真平臺，模擬彈丸轉動，驗證了在彈載環(huán)境下兩軸陀螺傳感器的校正效果。

1 陀螺傳感器測量誤差模型

(1)

式中：t1、t2分別為地磁信號為0的兩相鄰時刻點。

(2)

由彈丸的繞心運動方程[12]可知，彈丸x軸的角速率ωx表示為

(3)

(4)

(5)

式中：ωi、ωj、ωl為彈丸三軸的真實角速率。由(4)式和(5)式可得到基于地磁輔助的兩軸陀螺傳感器角速率測量模型[5]為

(6)

2 陀螺傳感器校正方法

在傳感器的校正中，當已知彈丸角速率的真實值和測量值時，結合陀螺傳感器的測量模型，就能求解出陀螺傳感器的非正交誤差、比例因子誤差和偏差。本文研究了線性LS模型和KF模型求解兩軸陀螺傳感器相應校正參數(shù)的方法。

2.1 線性LS模型

(7)

c=XR+N，

(8)

‖XLSR-c‖2=min ‖XR-c‖2，

(9)

式中：XLS為方程組的LS解。由(9)式將(8)式求解問題轉化為線性LS問題。因此，可以得到方程組的LS解X0為

X0=cRT(RRT)-1.

(10)

由(10)式可得陀螺傳感器校正的未知量。

2.2 KF模型

運用KF模型校正兩軸陀螺傳感器時，其第k個時刻的狀態(tài)變量矩陣Xk為

Xk=[bxkyxsgykyzbykzxkzysgzbz]T.

(11)

由陀螺傳感器常值誤差假設可知，KF模型的狀態(tài)方程為

Xk=Xk-1+wk-1.

(12)

zk=HkXk+uk+vk，

(13)

式中：

2.2.1 線性離散系統(tǒng)可觀性判斷

本文構建的KF模型屬于線性離散系統(tǒng)，在求解狀態(tài)變量矩陣Xk之前，需要研究線性離散系統(tǒng)的可觀性。

(14)

矩陣Qp的秩由ωxi、ωyi、ωzi決定，下面分兩種情況分析矩陣Qp的秩：1)當ωx、ωy、ωz均恒定不變，即Hk1=Hk2=…=Hk9時，則rank(Qp)=3

2.2.2 KF模型更新方程

KF模型時間更新方程為

(15)

式中：P為X的協(xié)方差矩陣；Q為過程噪聲方差矩陣。

KF模型測量更新方程為

(16)

式中：K為增益矩陣；R為測量噪聲方差矩陣。

3 數(shù)值仿真

為了驗證校正方法的可行性及各因素對該方法的影響，本文以某型尾翼穩(wěn)定低旋彈丸為例。該彈丸x軸的角速率在50 rad/s附近，遠遠大于陀螺傳感器的測量量程(<18 rad/s)。為了將兩軸陀螺傳感器應用于該彈丸的角速率測量中，必須對兩軸陀螺傳感器進行校正工作。

3.1 校正方法可行性分析

為了分析線性LS模型和KF模型校正兩軸陀螺傳感器的可行性，本文從陀螺傳感器相關參數(shù)的校正結果、彈丸y軸與z軸角速率校正值和彈丸y軸角速率校正誤差值3個方面進行研究。

仿真中取角速率陀螺測量誤差的均值為0、方差為0.000 5 rad/s，陀螺傳感器的軸間非正交誤差(kyx、kyz、kzx、kzy)、各軸刻度因子誤差(sgy、sgz)及各軸零偏(by、bz)設定值如表1所示。同時，表1中給出了線性LS模型和KF模型對各相關參數(shù)的校正結果。對比表1中設定值與兩種方法的校正值可得，線性LS模型和KF模型得到的校正值與設定值十分相近，因此兩種模型都能校正兩軸陀螺傳感器。

表1 兩軸陀螺傳感器相關參數(shù)設定值及兩種模型校正值

為了更加直觀地分析兩種模型對兩軸陀螺傳感器的校正效果，通過下面方法還原彈丸角速率，得到彈丸角速率的真實值。在(6)式中，忽略各軸的測量噪聲ni，可將(6)式簡化為

(17)

由彈丸角速率的測量值M和陀螺相關參數(shù)的校正值A和B，可以得到彈丸角速率的校正值T的計算公式：

T=A-1(M-B).

(18)

由(18)式計算彈丸角速率的校正值T，圖2中給出了彈丸y軸角速率校正值、真值與測量值的對比圖，圖3中給出了彈丸z軸角速率校正值、真值與測量值的對比圖。由于彈丸低速滾轉，隨著彈丸滾轉角的周期性變化，陀螺傳感器y軸和z軸的測量量呈現(xiàn)出類正弦變化。同時，陀螺傳感器y軸和z軸測量值的大小變化相同，僅相位相差π rad. 因此，在圖2和圖3中，y軸和z軸的校正量、真值和測量值看起來大體相同。在圖2和圖3中，經(jīng)過LS模型和KF模型校正后，彈丸y軸和z軸的校正值與真值幾乎重合。因此，LS模型和KF模型都能很好地校正兩軸陀螺傳感器。

為了進一步分析LS模型和KF模型對兩軸陀螺傳感器的校正效果，圖4中給出了彈丸y軸角速率的校正誤差和測量誤差。在全彈道上，兩軸陀螺傳感器y軸角速率的測量誤差均值為0.454 1 rad/s. 經(jīng)LS模型和KF模型校正后，校正誤差在0 rad/s附近。為了看清楚校正誤差的局部細節(jié)，圖4的子圖中顯示了彈道上2.0～3.0 s校正值誤差的局部放大圖。由圖4的子圖中可以看出，兩軸陀螺傳感器經(jīng)過校正后，彈丸角速率的校正值誤差在0.010 0 rad/s以內。從圖4中可得，彈丸y軸的角速率測量誤差從0.454 1 rad/s大幅降低到0.010 0 rad/s以內，因此LS模型和KF模型均能很好地校正兩軸陀螺傳感器。

3.2 影響因素分析

通過分析彈丸角速率的測量值M對彈丸y軸角速率校正誤差的影響可知，當彈丸x軸角速率測量誤差在0.261 8 rad/s以內且當角速率陀螺測量誤差在0.001 6 rad/s以內時，經(jīng)過本文方法的校正后，彈丸y軸和z軸的校正誤差在0.010 0 rad/s以內。

4 半實物仿真

為研究基于地磁輔助的兩軸陀螺傳感器校正方法在工程應用中的效果，本文進行了半實物仿真試驗，試驗現(xiàn)場如圖7所示。智能手機(試驗用機型為榮耀8)內部自帶有陀螺傳感器和地磁傳感器，將手機作為彈上姿態(tài)探測傳感器。三軸轉臺模擬彈丸3個方向的角運動，通過局域網(wǎng)連接手機版與電腦版數(shù)學仿真軟件。在試驗過程中，將手機自帶傳感器測量的實時數(shù)據(jù)上傳到電腦，從而獲取本文校正方法中所需的陀螺傳感器和地磁傳感器測量信息，將轉臺內部反饋信息作為彈丸姿態(tài)角速率真值。由線性LS模型和KF模型校正兩軸陀螺傳感器，通過對陀螺傳感器相關參數(shù)校正值、彈丸z軸角速率校正值和彈丸z軸角速率校正誤差3個方面進行研究，分析了兩種模型在工程應用中的校正效果。

根據(jù)手機傳感器測量數(shù)據(jù)和轉臺內部反饋數(shù)據(jù)，分別由線性LS模型和KF模型校正兩軸陀螺傳感器，求解得到的兩軸陀螺傳感器相關參數(shù)見表2. 對比表2中與y軸和z軸自相關的4個參數(shù)kyz、kzy、sgy、sgz，發(fā)現(xiàn)LS模型和KF模型計算得到的結果十分相近。在校正與y軸和z軸自相關的4個參數(shù)kyz、kzy、sgy、sgz時，兩種方法具有較高的一致性。然而，彈丸x軸角速率與y、z兩軸的角速率存在兩個數(shù)量級的差距。這是因為校正方法的細微差別，與x軸相關的兩個參數(shù)kyx、kzx和與零偏相關的兩個參數(shù)by、bz存在一定的差距。

表2 兩軸陀螺傳感器相關參數(shù)校正值

在第3節(jié)數(shù)值仿真中，通過對比校正值與設定值，可以判斷LS模型和KF模型解算陀螺相關參數(shù)的優(yōu)劣。但是，在半實物仿真中，兩軸陀螺傳感器相關參數(shù)為未知量，沒有統(tǒng)一標準對比兩種模型校正陀螺傳感器的優(yōu)劣。為研究兩種模型在工程應用中的校正效果，由(18)式計算彈丸角速率的校正值T. 彈丸z軸角速率校正值、真值和測量值如圖8所示。在圖8中，測量值與真值存在較大的差距。然而，通過LS模型和KF模型校正后，兩組校正值與真值幾乎重合。因此，在工程實際中，LS模型和KF模型均能有效校正兩軸陀螺傳感器，基于地磁輔助的兩軸陀螺傳感器校正方法可行。

為進一步分析LS模型和KF模型對兩軸陀螺傳感器的校正效果，由地磁測量信息解算得到的彈丸x軸角速率測量誤差如圖9所示，彈丸z軸角速率校正值誤差和測量誤差如圖10所示。從圖9中可知，彈丸x軸角速率解算誤差在-0.8～0.8 rad/s之間。從圖10中可知，由兩軸陀螺傳感器測量得到的彈丸z軸角速率誤差在-0.30～-0.05 rad/s之間。從圖10中2.0～3.0 s校正值誤差子圖可知，LS模型和KF模型的校正誤差在-0.02～0.02 rad/s之間。在彈丸x軸角速率存在較大解算誤差時，經(jīng)本文方法校正后，兩軸陀螺傳感器的測量誤差可以從-0.30～-0.05 rad/s的范圍減小到-0.02～0.02 rad/s的范圍內。因此基于地磁輔助的兩軸陀螺傳感器校正方法具有較好的校正效果。

5 結論

本文研究了基于地磁輔助的兩軸陀螺傳感器校正問題，建立了兩軸陀螺傳感器測量誤差模型。由單軸地磁信號解算得到彈丸x軸角速率，解決因陀螺傳感器量程有限而無法測量彈丸x軸滾轉角速率的問題。研究由線性LS模型和KF模型計算兩軸陀螺傳感器相關參數(shù)的校正方法。數(shù)值仿真驗證線性LS模型和KF模型均能有效地校正兩軸陀螺傳感器。仿真分析彈丸x軸角速率解算誤差和陀螺傳感器測量噪聲對校正結果的影響。通過半實物仿真，模擬彈丸角運動，驗證了線性LS模型和KF模型的校正效果。試驗結果表明：

1)當彈丸x軸角速率測量誤差在0.261 8 rad/s以內并且當角速率陀螺測量誤差在0.001 6 rad/s以內時，校正后彈丸y軸和z軸的校正誤差在0.010 0 rad/s以內。

2)當彈丸x軸角速率解算誤差在0.80 rad/s以內時，兩種校正模型均能將陀螺傳感器的測量誤差從-0.30～-0.05 rad/s范圍減小到-0.02～0.02 rad/s范圍內。

數(shù)值仿真和半實物仿真證明：基于地磁輔助的兩軸陀螺傳感器校正方法具有較好的校正效果。