劉曉蘭

【摘要】本文先利用實(shí)數(shù)的連續(xù)歸納法證明了確界原理，然后利用確界原理證明了實(shí)數(shù)的連續(xù)歸納法，說(shuō)明了二者的等價(jià)性。

【關(guān)鍵詞】實(shí)數(shù) 確界原理 數(shù)學(xué)歸納法

【Abstract】In this paper， the principle of Supremum and Infimum is proved by the continuous induction of real Numbers firstly， then the equivalence relation between continual induction and the Principle of Supremum and Infimum is given.

【Keywords】real number； principle of supremum and infimum； mathematical induction

【中圖分類(lèi)號(hào)】O172.2 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】C 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）38-0128-01

1.引言

確界原理作為極限理論的基石在微積分理論中占有極為重要的地位，關(guān)于它的證明方法也有很多種，其中，文[1]通過(guò)實(shí)數(shù)的無(wú)限小數(shù)表示法來(lái)證明的做法顯得尤為巧妙簡(jiǎn)潔，但若仔細(xì)推敲其證明過(guò)程，不難發(fā)現(xiàn)其中亦有許多美中不足之處，文[2]修正了其證明，但同樣復(fù)雜。本文先用連續(xù)歸納法給出確界原理的一個(gè)簡(jiǎn)單證明，然后用確界原理給出連續(xù)歸納法的證明，證明了二者的等價(jià)性，進(jìn)而可以將實(shí)數(shù)的連續(xù)歸納法作為實(shí)數(shù)完備性定理之一。

張景中院士在文[3]中提出了實(shí)數(shù)的連續(xù)歸納法，這是一個(gè)簡(jiǎn)單、便于應(yīng)用和掌握的方法。從它出發(fā)，可以用統(tǒng)一模式推出已知的一系列關(guān)于實(shí)數(shù)的定理并用統(tǒng)一模式證明微積分中涉及連續(xù)性的各個(gè)命題。[4]

2.關(guān)于正整數(shù)的數(shù)學(xué)歸納法原理

由上可知，連續(xù)歸納法與確界原理等價(jià)，故而它可以作為實(shí)數(shù)基本定理之一。

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）（第四版）[M].高等教育出版社.

[2]韓誠(chéng). 確界原理的一個(gè)修正證明[J].大學(xué)數(shù)學(xué)2014（30）：69-70.

[3]張景中，曹培生. 從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)（最新版） [M] . 中國(guó)少年兒童出版社.

[4]張景中.數(shù)學(xué)與哲學(xué)[M].長(zhǎng)沙： 湖南教育出版社.