劉慶博，任順清，曾 鳴，王常虹

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)空間控制與慣性技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001)

0 引 言

液浮陀螺儀作為一種重要的慣性儀表，廣泛應(yīng)用在戰(zhàn)略導(dǎo)彈中，是慣導(dǎo)平臺系統(tǒng)中的核心器件[1]。20世紀50年代初，美國麻省理工學(xué)院研制出了達到慣性級精度的液浮陀螺儀，標(biāo)志著以陀螺儀為核心的慣性導(dǎo)航技術(shù)已經(jīng)成熟，與此同時，也開始了對陀螺儀模型測試的探索和研究。國內(nèi)對液浮陀螺儀的浮子偏心[2]、轉(zhuǎn)子材料[3]等展開了研究。目前對于液浮陀螺儀的標(biāo)定和補償，主要基于重力場的多位置翻滾試驗，利用重力加速度和地球自轉(zhuǎn)角速率作為輸入，得到慣性儀表的輸出后，利用最小二乘法辨識其誤差模型系數(shù)。文獻[4- 5]采用多位置法測量了慣性測量單元的失準角等誤差模型系數(shù)。文獻[6]設(shè)計了撓性陀螺儀的8位置D-最優(yōu)試驗方案，提高了陀螺儀一次項漂移系數(shù)的估計精度。文獻[7]提出了利用三軸轉(zhuǎn)臺標(biāo)定陀螺儀動態(tài)誤差模型系數(shù)的最優(yōu)三軸速率試驗計劃。文獻[8]設(shè)計了8位置標(biāo)定動力調(diào)諧陀螺儀的誤差模型系數(shù)，陀螺儀各軸沿當(dāng)?shù)氐乩碜鴺?biāo)系“E-S-W-N-U-D”取向來進行測試，只有一次項誤差系數(shù)能夠完全分離出來，其他系數(shù)之間存在約束關(guān)系。文獻[9-12]針對慣導(dǎo)平臺的自標(biāo)定，設(shè)計了16位置標(biāo)定方案。文獻[13]分析了三軸轉(zhuǎn)臺的誤差，建立與轉(zhuǎn)臺誤差以及陀螺儀誤差模型系數(shù)有關(guān)的陀螺儀輸出全誤差方程，并確立了轉(zhuǎn)臺誤差源與誤差模型系數(shù)的標(biāo)定精確度之間的量化關(guān)系，但沒有自動補償轉(zhuǎn)臺誤差。文獻[14]提出了半球諧振陀螺儀在雙軸轉(zhuǎn)臺上的標(biāo)定方法，實現(xiàn)了零偏，標(biāo)度因數(shù)等常見誤差系數(shù)的標(biāo)定，并引入了陀螺儀相對轉(zhuǎn)臺的失準角。

為實現(xiàn)液浮陀螺儀的精確標(biāo)定與測試，本文在常見的8位置測試方法的基礎(chǔ)上，提出基于雙軸轉(zhuǎn)臺的測試方法，引入轉(zhuǎn)臺的方位對準誤差，角位置誤差，垂直度誤差等誤差源，建立液浮陀螺儀的標(biāo)定模型，分別采用16位置和20位置測試方法進行標(biāo)定試驗，該標(biāo)定模型能夠自動補償安裝誤差、軸線垂直度，使標(biāo)定的誤差模型系數(shù)更加準確，最后進行了相應(yīng)的誤差分析，驗證了方法的有效性。

1 液浮陀螺儀在雙軸轉(zhuǎn)臺上標(biāo)定模型的建立

液浮陀螺儀靜態(tài)誤差模型表達形式如下：

(1)

式中：ωd為陀螺儀的角速率當(dāng)量輸出，單位為(°)/h；ωI為沿陀螺儀輸入軸方向的角速率；DF為與比力無關(guān)的漂移率，單位為(°)/h；aI，aO，aS分別為沿陀螺儀輸入軸I，輸出軸O和自轉(zhuǎn)軸S的比力分量；DI，DO，DS分別為沿I，O，S軸比力引起的漂移率系數(shù)，單位為(°)/h/g；DII，DSS，DOO分別為沿I，S，O軸的比力二次方引起的漂移率系數(shù)，單位為(°)/h/g2；DIS，DOS，DIO分別為沿I和S軸，O和S軸I和O軸比力的乘積引起的漂移率系數(shù)，單位為(°)/h/g2；εω為殘余誤差。

為建立液浮陀螺儀在雙軸轉(zhuǎn)臺上的標(biāo)定模型，需要將重力加速度和地球自轉(zhuǎn)角速度矢量在I,O,S軸上準確分配。為此，在雙軸轉(zhuǎn)臺上建立地理坐標(biāo)系o0x0y0z0，水平軸坐標(biāo)系o1-x1y1z1，主軸坐標(biāo)系o2x2y2z2和陀螺儀坐標(biāo)系o3x3y3z3。陀螺儀坐標(biāo)系中x3y3z3分別對應(yīng)S軸，I軸和O軸。在理想情況下，雙軸轉(zhuǎn)臺處于零位時，這些坐標(biāo)系是重合的。雙軸轉(zhuǎn)臺和各坐標(biāo)系示意圖如圖1所示。雙軸轉(zhuǎn)臺的誤差源主要有垂直度誤差，角位置誤差，零位誤差和陀螺儀的安裝誤差等。相鄰坐標(biāo)系之間的姿態(tài)轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：

1)水平軸坐標(biāo)系相對于地理坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣

設(shè)Δθx是水平軸的零位誤差，Δθy是水平軸的水平度，Δθz是水平軸的方位對準誤差，Δα(α)是水平軸的角位置誤差，α是水平軸的標(biāo)稱轉(zhuǎn)角。水平軸坐標(biāo)系相對于地理坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣為

Rot(z0,Δθz)Rot(x0, Δα(α))Rot(x0,α)

(2)

式中：Rot(i,θ)表示繞i軸旋轉(zhuǎn)θ角所形成的姿態(tài)變換矩陣。

2)主軸坐標(biāo)系相對水平軸坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣

設(shè)Δφy是水平軸與主軸的垂直度，Δγz是主軸的零位誤差，Δγ(γ)是主軸的角位置誤差，γ是主軸的標(biāo)稱轉(zhuǎn)角。主軸坐標(biāo)系相對水平軸坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣為

Rot(z1, Δγ(γ))Rot(z1,γ)

(3)

3)陀螺儀坐標(biāo)系相對主軸坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣

設(shè)Δλx，Δλy和Δλz是陀螺儀的安裝誤差。陀螺儀坐標(biāo)系相對主軸坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣為

(4)

地球自轉(zhuǎn)角速度在地理坐標(biāo)系中表示為[0ωecosLωesinL]T，其中ωe為地球自轉(zhuǎn)角速度，L為當(dāng)?shù)鼐暥?。液浮陀螺儀在雙軸轉(zhuǎn)臺上測試，水平軸和主軸均處在位置狀態(tài)，陀螺儀的I軸敏感的角速率為地球自轉(zhuǎn)角速率在陀螺儀坐標(biāo)系下I軸的分量，故

(5)

重力加速度產(chǎn)生的比力在地理坐標(biāo)系下表示為[0 0g]T，由于陀螺儀主要敏感的是角速率，對重力加速度產(chǎn)生的比力分量的敏感量較小，是一階小量，對于比力分量計算誤差的敏感量則更小，可視為二階小量，所以比力分量僅計算標(biāo)稱值。陀螺儀沿I，O，S軸的標(biāo)稱比力分量為

(6)

將式(5)和式(6)代入式(1)，可以得出液浮陀螺儀輸出的全誤差方程為

V-ωecosLcosαcosγ-ωesinLsinαcosγ+Δα(α)·

ωecosLsinαcosγ-Δα(α)ωesinLcosαcosγ+

Δγ(γ)ωesinLsinαsinγ+Δγ(γ)ωecosLcosα·

sinγ=DF+(DO+ΔλxωesinL)cosα-

ΔλxωecosLsinα-(ΔθzωecosL-ΔθyωesinL)·

sinγ+(DS-ΔγzωesinL-ΔφyωecosL-

ΔλzωesinL)sinαsinγ+(DI-ΔθxωecosL)sinα·

cosγ+(-ΔγzωecosL+ΔφyωesinL-Δλzωe·

cosL)cosαsinγ+ΔθxωesinLcosαcosγ+DIIsin2α·

cos2γ+DSSsin2αsin2γ+DOOcos2α+DISsin2αsinγ·

cosγ+DOSsinαcosαsinγ+DIOsinαcosαcosγ

(7)

式中：V為液浮陀螺儀的指示輸出值，三個軸的比力分量均以g為單位。

2 液浮陀螺儀在雙軸轉(zhuǎn)臺上標(biāo)定方法及誤差分析

2.1 液浮陀螺儀在雙軸轉(zhuǎn)臺上16位置標(biāo)定方法

傳統(tǒng)的8位置測試方法與本文所采用的16位置測試方法無法同時給陀螺的兩個基準軸給予比力激勵，所以無法標(biāo)定出交叉二次項，根據(jù)式(1)和式(6)，常數(shù)項和二次項之間存在約束關(guān)系，即DF，DII，DSS，DOO的系數(shù)分別為1，sin2αcos2γ, sin2αsin2γ, cos2α，滿足sin2αcos2γ+sin2αsin2γ+cos2α=1，又因為二次項中DOO沒有明顯的物理意義[15]。因此，對液浮陀螺儀的靜態(tài)誤差模型進行簡化，表達式如下：

ωd=ωI+DF+DIaI+DOaO+DSaS+

(8)

那么將式(5)、式(6)代入式(8)，可以得到的液浮陀螺儀輸出的全誤差方程為

V-ωecosLcosαcosγ-ωesinLsinαcosγ+

Δα(α)ωecosLsinαcosγ-Δα(α)ωesinLcosα·

cosγ+Δγ(γ)ωesinLsinαsinγ+Δγ(γ)·

ωecosLcosαsinγ=DF+(DO+ΔλxωesinL)·

cosα-ΔλxωecosLsinα+(ΔθyωesinL-

ΔθzωecosL)sinγ+(DS-ΔγzωesinL-Δφyωe·

cosL-ΔλzωesinL)sinαsinγ+(DI-Δθxωe·

cosL)sinαcosγ+(-ΔγzωecosL+ΔφyωesinL-

ΔλzωecosL)cosαsinγ+ΔθxωesinLcosαcosγ+

DIIsin2αcos2γ+DSSsin2αsin2γ

(9)

令雙軸轉(zhuǎn)臺的水平軸和主軸均處于位置狀態(tài)，控制轉(zhuǎn)臺分別處于16個位置，如表1所示，根據(jù)式(9)，可得到液浮陀螺儀在16個位置的輸出方程表達式，采用加減消元的方式，可以求解出液浮陀螺儀的誤差模型系數(shù)，表達式如下式(10)～式(15)所示。

表1 雙軸轉(zhuǎn)臺的角度位置Table 1 Angular positions of the two-axis turntable

(10)

(11)

DI=

Δα(270°)-Δα(180°)]

(12)

ΔφyωesecL

(13)

(14)

(15)

從式(10)～式(15)可以看出，ωe和L是已知量，誤差模型系數(shù)DO和DI受水平軸和主軸的角位置誤差影響，DS受水平軸與主軸的垂直度影響，而其他系數(shù)不受轉(zhuǎn)臺誤差影響，只需根據(jù)陀螺儀的指示輸出值計算即可。

2.2 液浮陀螺儀在雙軸轉(zhuǎn)臺上20位置標(biāo)定方法

表2 雙軸轉(zhuǎn)臺的角度位置Table 2 Angular positions of the two-axis turntable

雙軸轉(zhuǎn)臺水平軸和主軸的角位置誤差在5″內(nèi)，相對于地球自轉(zhuǎn)角速率的影響較小，將角位置誤差產(chǎn)生的影響歸到隨機誤差中，因此根據(jù)表中所示的水平軸和主軸的角位置，得到在20個位置上液浮陀螺儀的輸出方程為：

(16)

整理成矩陣形式

U=AD+εω

(17)

其中，系數(shù)矩陣為

待辨識的參數(shù)矩陣為

D=[DF,DO+ΔλxωesinL, -ΔλxωecosL,

ΔθyωesinL-ΔθzωecosL,DS-ΔγzωesinL-

ΔφyωecosL-ΔλzωesinL,DI-ΔθxωecosL,

-ΔγzωecosL+ΔφyωesinL-ΔλzωecosL,

ΔθxωesinL,DII,DSS,DOO,DIS,DOS,DIO]T

利用最小二乘法求解待辨識的參數(shù)矩陣

D=(ATA)-1ATU

(18)

由待辨識的參數(shù)矩陣可知，液浮陀螺儀誤差模型系數(shù)中DF,DII,DSS,DIS,DOS和DIO可以直接得到，一次項系數(shù)求解表達式如下：

DO=D2+D3tanL

(19)

DS=D5-D7tanL+ΔφyωesecL

(20)

DI=D6+D8cotL

(21)

式中:Dj為矩陣D中第j行元素。

綜上，在得到雙軸轉(zhuǎn)臺水平軸與主軸的垂直度誤差后，根據(jù)液浮陀螺儀在雙軸轉(zhuǎn)臺上20個測試位置的指示輸出值補償?shù)魧?yīng)的地球自轉(zhuǎn)速率的影響，再利用式(18)～式(21)，就可以標(biāo)定出9個液浮陀螺儀誤差模型系數(shù)。

2.3 液浮陀螺儀在雙軸轉(zhuǎn)臺上16位置標(biāo)定方法的誤差分析

假設(shè)緯度為L=45°，ωe=15.0411(°)/h，液浮陀螺儀的指示輸出值的不確定度獨立且相等，為σV=10-4(°)/h，角位置誤差和垂直度誤差的不確定度為0.5″=2.5×10-6rad，以DF的不確定度求解過程為例，求解各個誤差模型系數(shù)的不確定度。DF的不確定度表達式如下：

(22)

同理，其他誤差模型系數(shù)的不確定度σDO=5.34×10- 5(°)/h/g，σDI=7.43×10- 5(°)/h/g，σDS=8.84×10- 5(°)/h/g，σDII=6.12×10- 5(°)/h/g2，σDSS=6.12×10- 5(°)/h/g2。

在傳統(tǒng)的陀螺儀8位置測試試驗中，參照文獻[14]，8個位置分別類似于文中16位置試驗中的位置1,3,5,6,9,11,13和14，以DO項的求解方程為例來進行誤差分析，求解DO項需要結(jié)合位置1,3,9和11的方程來求解，即DO=(V1+V3-V9-V11)/4。僅利用這四個位置的輸出無法消除轉(zhuǎn)臺誤差和陀螺儀的安裝誤差，因此會產(chǎn)生標(biāo)定誤差，求解出DO項的標(biāo)定誤差為ΔDO=ΔλxωesinL。同理，DI，DS，DII和DSS的求解表達式也無法消除轉(zhuǎn)臺誤差和陀螺儀的安裝誤差帶來的影響，同樣會產(chǎn)生標(biāo)定誤差。假設(shè)雙軸轉(zhuǎn)臺的零位誤差，水平度誤差，角位置誤差和垂直度誤差為2″，方位對準誤差為1′，安裝誤差為2′，結(jié)合式(9)，陀螺儀的誤差模型系數(shù)的標(biāo)定誤差為：

ΔDO=ΔλxωesinL

(23)

ΔDS= -ΔλxωecosL-ΔγzωesinL-ΔφyωecosL-

ΔλzωesinL-Δγ(π/2)ωesinL

(24)

(25)

(26)

ΔDSS=-ΔθzωecosL+ΔθyωesinL

(27)

容易計算，這些標(biāo)定誤差的最大值為：ΔDO=0.0062(°)/h/g，ΔDS=0.0126(°)/h/g，ΔDI=0.0064(°)/h/g，ΔDII=1.03×10-4(°)/h/g2，ΔDSS=0.0030(°)/h/g2。根據(jù)上述分析可知，轉(zhuǎn)臺誤差和安裝誤差對DO，DS，DI和DSS的影響較大，特別是液浮陀螺儀在雙軸轉(zhuǎn)臺上的安裝誤差不易測量與控制，若采用8位置標(biāo)定試驗，無法消除安裝誤差，影響誤差模型系數(shù)的標(biāo)定結(jié)果。對于所提出的16位置標(biāo)定方法，只要安裝誤差穩(wěn)定，就可以完全消除安裝誤差對標(biāo)定結(jié)果的影響。

2.4 液浮陀螺儀在雙軸轉(zhuǎn)臺上20位置標(biāo)定方法的誤差分析

假設(shè)緯度為L=45°，ωe=15.0411(°)/h，液浮陀螺儀的指示輸出值的不確定度獨立且相等，與第2.3中假設(shè)值相等，考慮轉(zhuǎn)臺角位置誤差干擾，式(16)輸出矩陣的不確定度為σU=1.2×10-4(°)/h，垂直度誤差的不確定度為0.5″=2.5×10-6rad，令B=(ATA)-1AT，以DF的不確定度求解過程為例，求解各個誤差模型系數(shù)的不確定度。在最小二乘法中，DF=B1,1U1+B1,2U2+…+B1,20U20，那么DF的不確定度表達式為

σDF=

(28)

同理可以求得其他誤差模型系數(shù)的不確定度：σDO=7.47×10-5(°)/h/g，σDS=9.90×10-5(°)/h/g，σDI=1.25×10-4(°)/h/g，σDII=1.08×10-4(°)/h/g2，σDSS=1.24×10-4(°)/h/g2，σDIS=1.27×10-4(°)/h/g2，σDOS=1.19×10-4(°)/h/g2，σDIO=1.11×10-4(°)/h/g2。

設(shè)液浮陀螺儀的靜態(tài)誤差模型系數(shù)分別為：DF=1.1052(°)/h，DO=0.8612(°)/h/g，DS=-0.2645(°)/h/g，DI=1.3248(°)/h/g，DII=-2.4743×10-2(°)/h/g2，DSS=2.1966×10-2(°)/h/g2，DIS=-2.0372×10-3(°)/h/g2，DOS=1.8603×10-3(°)/h/g2，DIO=-1.8420×10-3(°)/h/g2，并假設(shè)雙軸轉(zhuǎn)臺的零位誤差，水平度誤差，垂直度誤差為2″，方位對準誤差為1′，安裝誤差為2′，利用式(16)計算出20個測試位置液浮陀螺儀的輸出，在不考慮轉(zhuǎn)臺誤差和陀螺儀的安裝誤差的情況下，根據(jù)輸出數(shù)據(jù)，利用最小二乘法計算出靜態(tài)誤差模型系數(shù)與設(shè)定值的差值分別為：ΔDF=-7.5742×10-4(°)/h，ΔDO=-6.1998×10-3(°)/h/g，ΔDS=-1.0474×10-2(°)/h/g，ΔDI=-3.5935×10-3(°)/h/g，ΔDII=-4.0947×10-3(°)/h/g2，ΔDSS=-8.4486×10-5(°)/h/g2，ΔDIS=-4.2179×10-3(°)/h/g2，ΔDOS=-5.7645×10-3(°)/h/g2，ΔDIO=3.6697×10-5(°)/h/g2。

通過對比可以看出，若標(biāo)定過程中不考慮轉(zhuǎn)臺誤差和陀螺儀的安裝誤差，誤差模型系數(shù)的標(biāo)定結(jié)果會產(chǎn)生較大誤差，影響誤差系數(shù)的標(biāo)定精度，因此在實際標(biāo)定與測試過程中，必須考慮轉(zhuǎn)臺誤差和陀螺儀的安裝誤差。文中所提出的20個測試位置方法在考慮轉(zhuǎn)臺誤差的情況下，利用最小二乘法求解出的液浮陀螺儀靜態(tài)誤差模型更加接近真實值，因此可有效提高液浮陀螺儀靜態(tài)誤差模型系數(shù)的標(biāo)定精度。對于傳統(tǒng)的8位置標(biāo)定方法，只有一次項誤差系數(shù)能夠完全分離出來，其他系數(shù)之間存在約束關(guān)系，并且沒有考慮轉(zhuǎn)臺誤差和陀螺儀的安裝誤差對誤差模型系數(shù)標(biāo)定結(jié)果帶來的影響，同樣也沒有設(shè)計相應(yīng)的算法來消除影響。與16個測試位置方法相比，20個測試位置方法雖然標(biāo)定精度略有降低，但可以標(biāo)定出液浮陀螺儀靜態(tài)誤差模型系數(shù)中交叉二次項。因此，本文所提出的20位置標(biāo)定方法可以標(biāo)定出9個靜態(tài)誤差模型系數(shù)，可以自動規(guī)避雙軸轉(zhuǎn)臺誤差，也可以消除不易測量與控制的陀螺儀安裝誤差對標(biāo)定結(jié)果的影響，以此來提高標(biāo)定精度。

綜上，將三種液浮陀螺儀的多位置標(biāo)定方法進行對比，優(yōu)缺點如表3所示。

表3 三種多位置標(biāo)定方法對比Table 3 Comparison of three multi-position calibration methods

因此，本文所提出的液浮陀螺儀標(biāo)定方法與傳統(tǒng)的8位置標(biāo)定方法相比，16位置標(biāo)定方法可標(biāo)定出靜態(tài)誤差模型系數(shù)中的常數(shù)項，一次項和兩個二次項，20位置標(biāo)定方法在此基礎(chǔ)上可標(biāo)定出交叉二次項，并且這兩種方法都可以自動補償或規(guī)避雙軸轉(zhuǎn)臺誤差，并可消除不易測量的陀螺儀安裝誤差對標(biāo)定結(jié)果的影響。

3 結(jié) 論

本文為提高液浮陀螺儀靜態(tài)誤差模型系數(shù)的標(biāo)定精度，提出了基于雙軸轉(zhuǎn)臺的液浮陀螺儀的標(biāo)定方法。將雙軸轉(zhuǎn)臺的誤差，陀螺儀的安裝誤差以及陀螺儀自身的靜態(tài)誤差建立在陀螺儀的標(biāo)定模型中，在1g重力場中分別建立了16個測試位置和20個測試位置陀螺儀的標(biāo)定方案。采用誤差分離技術(shù)與最小二乘法來標(biāo)定液浮陀螺儀的誤差模型系數(shù)。與傳統(tǒng)的8位置標(biāo)定方法相比，16位置標(biāo)定方法可標(biāo)定出靜態(tài)誤差模型系數(shù)中的常數(shù)項，一次項和兩個二次項，20位置標(biāo)定方法在此基礎(chǔ)上可標(biāo)定出交叉二次項，本文所提出的兩種測試方法都可以自動補償或規(guī)避雙軸轉(zhuǎn)臺誤差，并可消除不易測量的陀螺儀安裝誤差對標(biāo)定結(jié)果的影響，進一步提高了液浮陀螺儀的標(biāo)定精度。