鄧儉

【摘要】“三線合一”是等腰三角形的重要性質(zhì)，是指等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線以及頂角平分線相互重合.“三線合一”性質(zhì)非常重要，熟練掌握此性質(zhì)就可以有效突破解題難點(diǎn)，快速找到解題的方法.本文結(jié)合具體例題探討了等腰三角形的三線合一的性質(zhì)及其綜合運(yùn)用.

【關(guān)鍵詞】等腰三角形；三線合一；性質(zhì)；運(yùn)用

等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線和頂角平分線相互重合，我們將等腰三角形的這一特性簡(jiǎn)稱(chēng)為“三線合一”.“三線合一”是等腰三角形重要性質(zhì)之一.其主要特點(diǎn)體現(xiàn)在認(rèn)下三個(gè)方面：① 等腰三角形的頂角平分線垂直平分底邊；② 等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊，且平分頂角；③ 等腰三角形底邊上的高平分底邊且平分頂角.可見(jiàn)，等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)是一個(gè)多功能性質(zhì)定理，可用于證明兩角相等，證明兩條線段相等，證明兩線互相垂直，證明某直線或線段垂直平分某線段.以上是等腰三角形的性質(zhì)定理.這些性質(zhì)定理在幾何問(wèn)題中被廣泛應(yīng)用.下面以近幾年來(lái)各地的中考試題的改編題為例，針對(duì)等腰三角形的“三線合一”的分類(lèi)應(yīng)用加以闡述，供大家參考.

一、求線段最值

在解決和線段有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果可以同時(shí)用全等三角形和等腰三角形的知識(shí)來(lái)解決，則提倡運(yùn)用等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題.這樣一來(lái)，可以有效地鍛煉學(xué)生運(yùn)用“三線合一”性質(zhì)的能力，促進(jìn)他們對(duì)“三線合一”性質(zhì)的理解和掌握.

例1 如圖1所示，在△ABC中，邊AB與邊AC長(zhǎng)度均為5，邊BC長(zhǎng)度為6，如果點(diǎn)H在邊AC上移動(dòng)，請(qǐng)計(jì)算BH長(zhǎng)度的最小值.

解析 經(jīng)過(guò)A點(diǎn)作AP垂直BC于P點(diǎn)，已知AC=AB=5，BC=6，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)，可知BC被AP垂直平分，得到BP=3，及直角三角形APB，根據(jù)勾股定理可知AP=4，又由垂直線段最短，可知當(dāng)BH垂直于邊AC時(shí)，BH取最小值，根據(jù)等面積法，可得AP·BC=BH·AC，即4×6=5×BH，可得BH=245.

總結(jié) 該題目主要考查的是學(xué)生對(duì)等腰三角形“三線合一”性質(zhì)、勾股定理、等面積法則的理解和運(yùn)用，另外還考查了學(xué)生為解決等腰三角形問(wèn)題做輔助線的技巧.

二、證明直線垂直

在解答兩線垂直的證明問(wèn)題時(shí)，如果題目滿足以下兩個(gè)條件即可運(yùn)用等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)來(lái)證明：① 三角形是等腰三角形.② 兩線的其中一條線是三角形底邊上的中線或頂角平分線.

例2 如圖2所示，已知BC=BF，∠C=∠F，CD=FE，G為DE的中點(diǎn)，求證：BG垂直于DE.

解析 根據(jù)題目條件可知，點(diǎn)G為邊DE的中點(diǎn)，要證明BG垂直于DE，若將BD和BE連接，則只需證明BD=BE就可證明三角形BDE為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)證明BG垂直于DE.

證明 連接BD和BE，在△BCD和△BFE中，因?yàn)锽C=BF，∠C=∠F，CD=FE，所以△BCD≌△BFE.因?yàn)锽D=BE，所以△BDE為等腰三角形，而B(niǎo)G是等腰三角形BDE是底邊上的中線，所以BG垂直于DE.

總結(jié) 該題目主要考查了學(xué)生對(duì)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)、全等三角形的判及性質(zhì)的理解和應(yīng)用.

三、處理角與角之間的關(guān)系

在解答關(guān)于角之間關(guān)系的題目時(shí)，可以運(yùn)用等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)，將題目已知條件與待證的角的關(guān)系聯(lián)系到一起，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題的解決步驟.

例3 如圖3所示，∠D，∠E為直角，CD=BE，點(diǎn)F是CE與BD的交點(diǎn)，點(diǎn)G是BC的中點(diǎn).求證：∠CFG=∠BFG.

解析 因?yàn)辄c(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，我們很自然就能聯(lián)想到等腰三角形的“三線合一”性質(zhì).要證明∠CFG=∠BFG，只需證明CF=BF，再根據(jù)點(diǎn)G是BC中點(diǎn)，就能得出FG是∠BFC的角平分線，從而證出結(jié)論.

證明 因?yàn)椤螪FC等于∠EFB，∠D，∠E為直角，CD=BE，所以△DFC≌△EFB，則CF=BF，所以△CFB為等腰三角形，又因?yàn)辄c(diǎn)G是BC中點(diǎn)，所以根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)可知FG是∠BFC的角平分線，所以∠CFG=∠BFG.

總結(jié) 本題目主要考查了學(xué)生對(duì)全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)的理解和掌握，還考查了學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力.

四、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，在歷年的中考試卷中，與等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)有關(guān)的綜合應(yīng)用題經(jīng)常出現(xiàn)，已然成為中考命題中考查三角形的一大熱點(diǎn).同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中一定要重視“三線合一”性質(zhì)的理解和運(yùn)用，多動(dòng)腦、勤動(dòng)手，才能真正做到靈活運(yùn)用.

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