☉江蘇省無(wú)錫市蠡園中學(xué) 周進(jìn)榮

☉江蘇省無(wú)錫市蠡園中學(xué) 周玲華

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，直觀想象是六個(gè)核心素養(yǎng)之一.直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“幾何直觀主要是利用圖形描述和分析問(wèn)題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果，幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué).”借助幾何直觀進(jìn)行思考，已經(jīng)成為一種很重要的研究策略，在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中都發(fā)揮著重要的作用.學(xué)生的幾何直觀有先天的成分，但是高水平的幾何直觀的養(yǎng)成，主要依賴于個(gè)體參與其中的幾何活動(dòng).課堂是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，也是發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的主陣地，本人結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)踐，談?wù)劙l(fā)展學(xué)生的幾何直觀的幾個(gè)主要途徑，不當(dāng)之處，懇請(qǐng)批評(píng)指正.

一、重視畫圖能力的培養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀

德國(guó)哲學(xué)家康德曾說(shuō)：“如果沒(méi)有感性，則對(duì)象不會(huì)被給予；如果沒(méi)有知性，則對(duì)象不能被思考.沒(méi)有內(nèi)容的思想是空洞的，沒(méi)有概念的直觀是盲目的.”人的認(rèn)識(shí)是由感性到知性，由知性到理性的過(guò)程.感性以直觀提供對(duì)象，知性則以概念思考對(duì)象，兩者相輔相成，缺一不可.幾何直觀就是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考和想象，它在本質(zhì)上是一種通過(guò)圖形所展開的想象能力.因此在許多問(wèn)題解決中，往往需畫圖在前，分析在后.

案例1：如果每?jī)蓚€(gè)人之間要握一次手，則n個(gè)人共需握幾次手？

圖1

分析：本題中的“人”可以抽象為數(shù)學(xué)中的1個(gè)“點(diǎn)”，兩個(gè)人握一次“手”，可以轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間連接的一條線段”，如圖1，第一個(gè)人A1要與余下的（n-1）個(gè)人（A2、A3、…、握手，需要握（n-1）次手，同樣，第二個(gè)人也要握（n-1）次手，…，n個(gè)人握n（n-1）次手，由于A1→A2與A2→A1重復(fù)計(jì)算，所以n個(gè)人共需握次手.

評(píng)注：解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有兩個(gè)基本視角——數(shù)和形，以“形”助“數(shù)”，以“數(shù)”解“形”.上述問(wèn)題先把研究的“對(duì)象”抽象為“圖形”，再把“對(duì)象之間的關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“圖形關(guān)系”，借助畫圖，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)明.

案例2：（2017·自貢）如圖2，一次函數(shù)y1=k1x＋b和反比例函數(shù)相交于A、B兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為-2和1，若y1＞y2，則x的取值范圍為_______.

分析：y1是一次函數(shù)的值，y2是反比例函數(shù)的值，當(dāng)y＞y時(shí)，此時(shí)不等式的解集求不出.于是換個(gè)12思考方向，從函數(shù)圖像的角度進(jìn)行比較，如圖3，一次函數(shù)y1的圖像是直線，反比例函數(shù)y2的圖像是雙曲線，當(dāng)y1＞y2時(shí)x的取值范圍，就是當(dāng)直線高于雙曲線時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量x的取值范圍，由于直線和雙曲線有交點(diǎn)A、B，以及反比例函數(shù)中自變量x≠0，于是過(guò)x軸上表示-2、0和1的三個(gè)點(diǎn)分別作x軸的垂線（分界線），整個(gè)平面被分成四個(gè)不同的區(qū)間，即：x＜-2、-2＜x＜0、0＜x＜1和x＞1.觀察圖像：當(dāng)x＜-2時(shí)（直線x=-2的左邊），直線高于雙曲線，符合y1＞y2；當(dāng)-2＜x＜0時(shí)（直線x=-2和x=0之間），直線低于雙曲線，不符合y1＞y2；當(dāng)0＜x＜1時(shí)（直線x=0和x=1之間），直線高于雙曲線，符合y1＞y2；當(dāng)x＞1時(shí)（直線x=1的右邊），直線低于雙曲線，不符合y1＞y2.綜上所述，若y1＞y2，則x的取值范圍為x＜-2或0＜x＜1.

評(píng)注：幾何圖形也包括函數(shù)圖像.函數(shù)圖像，既有助于學(xué)生理解概念，建構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)論（公式、定理、性質(zhì)），也架起方程、不等式通往函數(shù)的“橋梁”，得出不等式的解集.

教學(xué)啟示：直觀、想象的載體是圖形，數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究與學(xué)習(xí)的基本對(duì)象，相對(duì)而言，形直觀而數(shù)抽象.正如華羅庚先生所言：“數(shù)”缺“形”時(shí)少直觀，“形”少“數(shù)”時(shí)難入微.在平時(shí)的教學(xué)中，要通過(guò)訓(xùn)練讓學(xué)生感受圖形的力量，經(jīng)常畫簡(jiǎn)圖，看“圖”說(shuō)話，借“圖”表達(dá)，借“圖”探究，有時(shí)借助幾何畫板等數(shù)學(xué)軟件的動(dòng)態(tài)演示，使得圖形更形象、更直觀，學(xué)生更容易弄清問(wèn)題的本質(zhì)，而且可培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)用圖的意識(shí)，培養(yǎng)敏銳的識(shí)圖能力.

二、重視“基本圖形”的運(yùn)用，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀

史寧中先生認(rèn)為“直觀不是‘教’出來(lái)的，而是自己‘悟’出來(lái)的”，這就需要經(jīng)驗(yàn)積累.課堂教學(xué)中，除了讓學(xué)生掌握三角形、四邊形、圓等重要的圖形，還要有意識(shí)地強(qiáng)化對(duì)一些“基本圖形”的運(yùn)用，不斷運(yùn)用這些“基本圖形”去發(fā)現(xiàn)、描述問(wèn)題，理解、記憶結(jié)果，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀.初中常見(jiàn)的基本圖形有：“平行線＋角平分線=等腰三角形（如圖4）”“雙垂圖（如圖5）”“一線三等角（如圖6）”等.下面以“一線三等角”為例，談?wù)勅绾卫谩盎緢D形”，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀.

一線三等角是一種特殊的相似關(guān)系，也是初中重要的幾何模型，如圖6，它指的是當(dāng)某條直線或線段的同一側(cè)有依次排序的三個(gè)等角（∠C=∠BAD=∠E）時(shí)，首尾兩角所在的三角形相似，即△ABC △DAE，這種特殊的相似稱為“一線三等角”.

案例3：（2017·宿遷）如圖7，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)（點(diǎn)E不與B、C重合），滿足∠DEF=∠B，且D、F分別在邊AB、AC上.

（1）求證：△BDE △CEF；

（2）當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：FE平分∠DFC.

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C，再由∠DEF＋∠CEF=∠B＋∠BDE，即可判定∠CEF=∠BDE，根據(jù)相似三角形的判定可得△BDE △CEF.

評(píng)注：“一線三等角”是初中幾何的基本模型，通過(guò)相似的比例關(guān)系建立方程或函數(shù)表示數(shù)量之間的變化關(guān)系，解決相關(guān)問(wèn)題，是初中數(shù)學(xué)常用的方法，非常奏效.

“一線三等角”中有一種特殊的情形是某條直線或線段的同一側(cè)依次排序的三個(gè)等角（∠C=∠ABE=∠D）都是90°，如圖8，這個(gè)圖形是八年級(jí)全等一章最常見(jiàn)的基本圖形，我們把這一基本圖形簡(jiǎn)稱為“K字形”.

“K字形”是幾何計(jì)算和證明最常用的幾何圖形，也是勾股定理“總統(tǒng)證法”的幾何圖形，構(gòu)造“K字形”能夠幫助學(xué)生尋找解題思路.

案例4：（2017·咸寧）如圖9，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將一塊含有45°角的直角三角板如圖所示放置，直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），頂點(diǎn)B恰好落在第一象限的雙曲線上，現(xiàn)將直角三角板沿x軸的正方向平移，當(dāng)頂點(diǎn)A恰好落在該雙曲線上時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，則此時(shí)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為___________.

分析：由題意，如圖10，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，由“K字形”可得△ACO △CBD（AAS），于是有OC=BD，OA=CD.因?yàn)锳（0，2），C（1，0），所以O(shè)D=3，BD=1，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），所以過(guò)點(diǎn)B的反比例函數(shù)的解析式為y=平移三角板，當(dāng)頂點(diǎn)A恰好落在該雙曲線上時(shí)，A′與A的縱坐標(biāo)都是2，所以點(diǎn)A′的坐標(biāo)為）.則點(diǎn)A向右平移的長(zhǎng)度為，所以點(diǎn)C也向右平移了個(gè)單位長(zhǎng)度，所以點(diǎn)C（1，0）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為）.

評(píng)注：在幾何教學(xué)中，要積極引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成主動(dòng)想圖、作圖和用圖的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生敏銳的識(shí)圖能力，并注意聯(lián)想幾何圖形的形象關(guān)系；學(xué)會(huì) “看”出思路，“看”出簡(jiǎn)潔，積極鼓勵(lì)構(gòu)造“基本圖形”，不斷積累方法和經(jīng)驗(yàn).

教學(xué)啟示：在教學(xué)過(guò)程中，要有意識(shí)地給學(xué)生強(qiáng)化常見(jiàn)的“基本圖形”.為了讓學(xué)生的頭腦中留住這些“基本圖形”，教學(xué)時(shí)應(yīng)該首先讓學(xué)生識(shí)記這些“基本圖形”，會(huì)說(shuō)出它們的特點(diǎn)，并能熟練地畫出它們的形狀，講出各邊、角之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和直觀想象素養(yǎng).

三、重視圖形的變換，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀

幾何變換既是學(xué)習(xí)的對(duì)象，也是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的思想和方法.充分利用圖形的變換（平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱）去認(rèn)識(shí)、理解幾何圖形是培養(yǎng)幾何直觀的重要途徑.

案例5：“平行四邊形的性質(zhì)”教學(xué)片段.

師：引出平行四邊形的概念：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.圖11中的四邊形ABCD即為平行四邊形.

操作思考：

O是?ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn).用透明紙覆蓋在圖12上，描出?ABCD及其對(duì)角線AC，再用大頭針釘在點(diǎn)O處，將透明紙上的?ABCD旋轉(zhuǎn)180°.你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合.

生2：?ABCD是中心對(duì)稱圖形，點(diǎn)O是對(duì)稱中心.

師：誰(shuí)來(lái)證明一下？

生3：如圖13，將平行四邊形ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，因?yàn)镺是AC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)C與點(diǎn)A重合.因?yàn)锳B∥CD，可知∠1=∠2，所以AB落在射線CD上.因?yàn)锳D∥BC，可知∠3=∠4，所以CB落在射線AD上.因?yàn)閮蓷l直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)，所以點(diǎn)B（AB和CB的交點(diǎn)）與點(diǎn)D（CD和AD的交點(diǎn)）重合.連接BD，因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，所以BD經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且被點(diǎn)O平分.平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)O是它的對(duì)稱中心.

師：從證實(shí)?ABCD是中心對(duì)稱圖形的過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)平行四邊形還有哪些性質(zhì)？

生4：平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分.

……

評(píng)注：平行四邊形性質(zhì)的推導(dǎo)是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).上述平行四邊形性質(zhì)的得出，一改傳統(tǒng)用全等的方法，而是從圖形的旋轉(zhuǎn)角度，讓圖形動(dòng)起來(lái)，去認(rèn)識(shí)、理解、記憶平行四邊形的性質(zhì)，生動(dòng)、形象展現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，促進(jìn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，提高學(xué)生的思維能力和解決問(wèn)題的能力.

教學(xué)啟示：教學(xué)中讓學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的思想分析問(wèn)題是一種核心的數(shù)學(xué)思維能力，同時(shí)這是數(shù)學(xué)幾何直觀的重要表現(xiàn).案例5的教學(xué)，一方面，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)問(wèn)題怎樣由靜止發(fā)展為運(yùn)動(dòng)的演變過(guò)程，另一方面，學(xué)生能通過(guò)畫圖呈現(xiàn)出圖形的整個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程，對(duì)增強(qiáng)學(xué)生借助圖形發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析解決問(wèn)題的能力具有重要意義，是培養(yǎng)幾何直觀的重要載體.

四、重視數(shù)形結(jié)合，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“利用直角坐標(biāo)系，不僅能夠推導(dǎo)出幾何圖形的代數(shù)表達(dá)式，還能夠利用幾何圖形來(lái)研究代數(shù)問(wèn)題，這是幫助學(xué)生建立幾何直觀的有效途徑.”代數(shù)研究的對(duì)象是“數(shù)”，幾何研究的對(duì)象是“形”.其實(shí)，“數(shù)”與“形”可以視為同一問(wèn)題的不同角度的表現(xiàn).有時(shí)以“形”給出，要讀懂其隱含“數(shù)”的信息；有時(shí)以“數(shù)”呈現(xiàn)，要挖掘其“形”的意義，把抽象的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體、直觀的幾何問(wèn)題，根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)解決問(wèn)題.

案例6：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)M的坐標(biāo)為）（其中m為實(shí)數(shù)），當(dāng)PM的長(zhǎng)最小時(shí)，m的值為__________.

分析：本題中點(diǎn)M的坐標(biāo)以代數(shù)符號(hào)表示，含兩個(gè)變量，許多學(xué)生不知所措.這就需要挖掘代數(shù)符號(hào)的幾何意義.根據(jù)題意，如圖14，點(diǎn)P（0，2）是一個(gè)定點(diǎn)，而點(diǎn)M的坐標(biāo)為-3），它是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)M的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的關(guān)系，可知點(diǎn)M在直線-3上運(yùn)動(dòng).根據(jù)垂線段最短可知，如圖14，當(dāng)PM⊥AB時(shí)，PM的長(zhǎng)最小.于是，如圖15，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AO，垂足為H.

由題意知A（-4，0）、B（0，-3），則AB=5.

評(píng)注：數(shù)學(xué)家黎曼說(shuō)：“每一個(gè)數(shù)學(xué)公式背后都有一個(gè)反映其本質(zhì)的幾何模型.”其實(shí)，許多代數(shù)問(wèn)題的背后都有一個(gè)幾何模型，有的模型是隱性的，不易發(fā)現(xiàn)，需要借助想象、借一雙慧眼，挖掘其幾何意義，構(gòu)建直觀模型，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而有效突破難點(diǎn).這道難題的解答能如此簡(jiǎn)潔、流暢，是源于“洞察”出代數(shù)問(wèn)題的幾何背景，從幾何視角揭示出問(wèn)題的本質(zhì)：抓住動(dòng)點(diǎn)-3）的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線3，再根據(jù)“點(diǎn)線之間，垂線段最短”這一性質(zhì)解決問(wèn)題.

教學(xué)啟示：案例6構(gòu)建了“圖形與坐標(biāo)”的模型.當(dāng)然，由解決問(wèn)題的需要，還可能構(gòu)建其他幾何直觀模型，如圓、雙曲線、拋物線等.這些問(wèn)題都是通過(guò)數(shù)的特征，構(gòu)建幾何模型，使得復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題形象化.然而，“軌跡”思想和隱性信息的發(fā)掘是不少學(xué)生的軟肋，需引起師生的重視.

新課標(biāo)指出，直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).在直觀想象核心素養(yǎng)的形成過(guò)程中，學(xué)生能進(jìn)一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，增強(qiáng)運(yùn)用圖形直觀和空間想象思考問(wèn)題的意識(shí)，提升數(shù)形結(jié)合的能力.當(dāng)然，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)還有很長(zhǎng)的路，但隨著各地新課標(biāo)的實(shí)施，教育工作者會(huì)越來(lái)越重視學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).今后的中、高考也會(huì)加大核心素養(yǎng)的考查力度，勢(shì)必會(huì)倒逼數(shù)學(xué)教師立足課堂主陣地，潛心研究數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂的落實(shí).任務(wù)是艱巨的，但前途是光明的，值得我們?yōu)橹龀霾恍傅呐?