☉江蘇省江陰市敔山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校 趙 艷

等腰三角形的性質(zhì)與判定是平面幾何教學(xué)的重點(diǎn)，也是后續(xù)平面圖形學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ).很多教學(xué)研討多集中在等腰三角形的第1課時(shí)（側(cè)重于等腰三角形的性質(zhì)，如“等邊對(duì)等角”“三線合一”等），對(duì)等腰三角形的判定開展課堂教學(xué)研討還不太多見.本文整理筆者近期開設(shè)的一節(jié)“等腰三角形的判定”的研討課，并給出教學(xué)立意的闡釋，供研討.

一、“等腰三角形的判定”教學(xué)流程

教學(xué)環(huán)節(jié)（一） “補(bǔ)圖”情境，引入新知

問題情境：如圖1，△ABC是等腰三角形，AB=AC.若它的一部分被墨水污染（如圖2），只留下底邊BC和一個(gè)底角∠C，有沒有辦法把原來的等腰三角形ABC補(bǔ)全？

教學(xué)組織：先安排學(xué)生獨(dú)立思考、作圖，然后在小組內(nèi)交流，再安排小組選代表到黑板前講解他們的典型方法.預(yù)設(shè)兩種典型畫法：

方法1：如圖3，先用量角器量出∠C的度數(shù)，再以BC為一邊，B為頂點(diǎn)，畫出∠B=∠C，與∠C的邊相交得到頂點(diǎn)A.

方法2：如圖4，作邊BC的垂直平分線與∠C的一邊相交得到交點(diǎn)A，連接AB，可得△ABC.

教學(xué)組織：組織學(xué)生對(duì)上述兩種方法進(jìn)行證明，通過一定的追問，展示不同的方法，比如，對(duì)于方法2，可直接根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AB=AC.方法1，本質(zhì)上就是“已知三角形中兩個(gè)內(nèi)角相等，則該三角形是等腰三角形”，可以作∠BAC的平分線，或者作AH⊥BC于H點(diǎn)，利用三角形全等可證出AB=AC.進(jìn)一步小結(jié)歸納出“等角對(duì)等邊”的判定方法（在黑板的主板區(qū)寫出定理的文字、符號(hào)表達(dá)）.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二） 典例講評(píng)，運(yùn)用新知

例1 如圖5，在△ABC中，∠B=∠C，點(diǎn)D、E在邊BC上，當(dāng)BD=CE時(shí)，求證：AD=AE.

教學(xué)組織：學(xué)生獨(dú)立思考后，由獲得思路貫通的學(xué)生講解他們的證法，預(yù)設(shè)有兩種思路.比如，由∠B=∠C→AB=AC→△ABD △ACE→AD=AE；或者作AH⊥BC于H點(diǎn)，先證△ABH △ACH→BH=CH→DH=EH→AD=AE.當(dāng)學(xué)生使用了新定理之后，注意安排追問不同學(xué)生這一步的理由“等角對(duì)等邊”，起到運(yùn)用定理、加深理解的作用.

例2 如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形.

教學(xué)組織：這是一道文字命題，先讓學(xué)生想清題設(shè)是什么，結(jié)論又是什么，在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生寫成已知、求證的形式.預(yù)設(shè)如下：

已知：如圖6，AE平分三角形ABC的外角∠DAC，且AE//BC.求證：AB=AC.

證明時(shí)要鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生將條件轉(zhuǎn)化到證出∠B=∠C，從而運(yùn)用定理“等角對(duì)等邊”實(shí)現(xiàn)問題解決.講評(píng)之后預(yù)設(shè)兩個(gè)變式問題，如下：

變式1：如圖6，△ABC中，AB=AC，AE平分外角∠DAC，求證：AE//BC.

變式2：如圖6，△ABC中，AB=AC，AE//BC，求證：AE平分外角∠DAC.

安排學(xué)生在小組內(nèi)交流證明思路，再展示各自的證明，教師點(diǎn)評(píng)時(shí)，注意指出這個(gè)經(jīng)典問題解法中的“知二推一”.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三） 課堂小結(jié)，拓展性質(zhì)

小結(jié)問題：本課所學(xué)等腰三角形的判定“等角對(duì)等邊”與上節(jié)課所學(xué)等腰三角形的性質(zhì)“等邊對(duì)等角”有何關(guān)聯(lián)？

拓展問題：在上節(jié)課，我們由“等邊對(duì)等角”曾拓展研究過“大邊對(duì)大角”；反過來，現(xiàn)在我們也可思考“大角對(duì)大邊”是否也成立.如何證明？

證明預(yù)設(shè)：先把問題轉(zhuǎn)化為已知、求證，再結(jié)合圖形證明.

已知：如圖7，在△ABC中，∠C＞∠B.求證：AB＞AC.

證明思路：考慮在較大角∠ACB內(nèi)部作∠DCB=∠B，交AB于D點(diǎn).

由“等角對(duì)等邊”得DB=DC.再把目光轉(zhuǎn)到△ACD，有AD+CD＞AC，代換為AD+BD＞AC，即AB＞AC.問題獲證.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四） 變式題組，課堂檢測(cè)

題1：如圖9，△ABC中，已知∠ABC=∠ACB，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB.小明判斷圖中△ABC、△IBC都是等腰三角形.請(qǐng)判斷小明的判斷是否正確，并說明理由.

題2：如圖10，△ABC中，已知∠ABC=∠ACB，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，過點(diǎn)I作DE//BC分別交AB、AC于點(diǎn)D、E.求證：DE=BD+CE.

題3：如圖11，△ABC中，AB=8，AC=6，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，過點(diǎn)I作DE//BC分別交AB、AC于點(diǎn)D、E.求△ADE的周長(zhǎng).

設(shè)計(jì)意圖：變式題組既有效檢測(cè)了本課所學(xué)新知，同時(shí)將一組典型問題進(jìn)行了多角度的變式探究，讓學(xué)生從特殊走向一般，加深理解這類問題.

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.精心選編情境問題，在解決問題時(shí)引出新知

對(duì)于等腰三角形的判定教學(xué)的引入，很多老師都是基于“幾何研究基本套路”設(shè)計(jì)教學(xué)情境的，比如，將等腰三角形的性質(zhì)“等邊對(duì)等角”逆過來思考，是否存在“等角對(duì)等邊”？從而引出新知探究并證明“等角對(duì)等邊”也是真命題，歸納為判定定理.這樣的引入有幾何味道，是值得肯定的.作為同課異構(gòu)，倡導(dǎo)引入方式的多樣化，我們?cè)谏厦嬲n例中給出的是基于一個(gè)問題情境驅(qū)動(dòng)引出新知的過程，兼有“激趣”和引出新知的功能，也是精心選編而成的，學(xué)生容易想出補(bǔ)圖的解決方法，在深究背后依據(jù)時(shí)引出新知（定理“等角對(duì)等邊”）.

2.重視習(xí)題變式生長(zhǎng)，追求“做一題、會(huì)一類、通一片”

我們知道，變式教學(xué)是中國(guó)傳統(tǒng)或特色，經(jīng)由顧泠沅教授等研究者的實(shí)踐、梳理與傳播，變式教學(xué)得到廣泛運(yùn)用.本課另一個(gè)特點(diǎn)就是注意對(duì)例題的變式與拓展，以題組形式漸次呈現(xiàn)例、習(xí)題.通過對(duì)一些經(jīng)典問題的變式與拓展，追求了讓學(xué)生從做一題到會(huì)一類再到通一片的高效教學(xué)效果.當(dāng)然，對(duì)例2來說，通過對(duì)條件、結(jié)論進(jìn)行不同的置換，得出的都是真命題，這種訓(xùn)練不但對(duì)本課知識(shí)有價(jià)值，同時(shí)讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)命題的證明過程中經(jīng)常會(huì)收獲“知二推一”的解題經(jīng)驗(yàn).這方面的經(jīng)驗(yàn)，將來在九年級(jí)圓的學(xué)習(xí)中會(huì)有更多的體會(huì)，比如，垂徑定理及其推論，切線長(zhǎng)定理及其推論，等等.

3.踐行“開放式教學(xué)”，基于知識(shí)關(guān)聯(lián)適當(dāng)拓展

鄭毓信教授多年來一直倡導(dǎo)“開放的數(shù)學(xué)教學(xué)”，認(rèn)為不能滿足于開放題的教學(xué)，而應(yīng)該用好開放題帶動(dòng)開放的數(shù)學(xué)教學(xué)研究.我們認(rèn)為，開放的數(shù)學(xué)教學(xué)不能只是用形式上的開放題或開放式設(shè)問來體現(xiàn)，更多的要體現(xiàn)開放式教學(xué)的內(nèi)涵與理念，比如，上面提到的例題的變式改編與題組呈現(xiàn)也可看成開放式教學(xué)的一種表征形式，因?yàn)樗恢皇且活}接著一題往后推進(jìn)課堂，而是基于變式理論讓題組之間關(guān)聯(lián)著，這本身就滲透著一種開放的理念，即不同的習(xí)題之間也是有某些聯(lián)系的，要善于發(fā)現(xiàn)這些試題之間的“同與不同”.另外，為了追求一定的教學(xué)深度，我們還應(yīng)該基于知識(shí)關(guān)聯(lián)適當(dāng)拓展提升，比如，上面課例在小結(jié)階段，就將“等角對(duì)等邊”拓展到“大角對(duì)大邊”的研究，而且添加恰當(dāng)?shù)妮o助線之后，又可轉(zhuǎn)化為“等角對(duì)等邊”實(shí)現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化.