沙國(guó)祥
2016年高考結(jié)束幾天后,一位考生來(lái)到《新高考》編輯部,我問(wèn)他:
“第19題第(2)小題(附后),你當(dāng)時(shí)是怎么想的?”
(2016年江蘇卷第19題)已知函數(shù)f(x)=ax+bx,(a>0,b>0,a≠1,b≠1).
(1)略:
(2)若Ol,函數(shù)g(x)=f(x)-2有且只有1個(gè)零點(diǎn),求ab的值.
“我是先猜出 ab=l的,這時(shí)g(x)=ax+a-x-2,它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),x=o是g(x)的唯一零點(diǎn).”
從直觀上看,偶函數(shù)f(x)的圖象(如圖1是a=0.5時(shí)f(x)的圖象)具有軸對(duì)稱(chēng)性,且在x=O時(shí)f(x)的圖象在最低點(diǎn)處與直線y=2相切,這意味著x=0時(shí),g(x)的圖象在最低點(diǎn)處與x軸相切,據(jù)此可猜想題目的結(jié)論,從而為下一步證明找到方向和思路:
“下面我畫(huà)畫(huà)草圖,繼續(xù)猜想并證明了ab≠1時(shí),g(x)至少有兩個(gè)零點(diǎn).”
如果ab>l,如圖2,a=0.5,b=3時(shí),f(x)的圖象不是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的.x
下面只需證明以上從直觀圖象得到的猜想,這里簡(jiǎn)單說(shuō)說(shuō)證明的思路.