藍佳雯靜，王藝蓉，金 山，康秀英

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

“氣膜汽笛發(fā)聲頻率的影響因素”是2017年中國大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競賽(CUPT)的一道比賽題目. 氣膜汽笛由圓柱容器、氣球膜和長圓柱內(nèi)管組合而成，類似于市場上的“多多”笛. 氣膜汽笛制作簡單，內(nèi)管穿過圓柱型容器底部，直達容器頂部的氣膜，容器側(cè)壁處有1個小孔，對其側(cè)壁的小孔鼓風(fēng)可以產(chǎn)生聲音. 目前已有對與其類似的管樂器發(fā)聲問題進行探究[1-3]，但是對于氣膜汽笛具體的分析和定量的實驗研究還鮮見. 氣膜汽笛和管樂器的不同之處在于其邊界條件是振動的氣球膜，故而駐波模型并不完全適用. 本文分析了氣膜汽笛發(fā)聲的物理過程并且建立了氣膜汽笛發(fā)聲的理論模型，通過定量實驗探究了影響氣膜汽笛發(fā)聲頻率的因素，實驗結(jié)果和理論模型預(yù)測基本一致.

1 物理過程分析

實驗裝置示意圖如圖1所示. 初始時刻，氣球膜與內(nèi)管緊貼，當(dāng)空氣從容器側(cè)壁進入容器后，容器內(nèi)壓強大于大氣壓強，造成氣球膜向外鼓起，膜的鼓起使容器內(nèi)空氣得以進入內(nèi)管，同時造成容器內(nèi)氣壓下降，氣球膜收縮至與內(nèi)管緊貼，整個過程不斷循環(huán)，從而空氣在內(nèi)管中形成駐波，內(nèi)管的空氣柱振動而發(fā)聲.

圖1 實驗裝置示意圖

用手機錄音，然后用Matlab傅里葉變換，得到該聲音的頻譜圖像，如圖2所示.

圖2 氣膜汽笛聲的傅里葉頻譜

從圖2可以看出，汽笛聲并非只存在單一頻率，還存在成倍的高頻，這是本征振動的問題,空氣柱形成了駐波[4-5]. 空氣柱振動產(chǎn)生聲音實質(zhì)是空氣密度疏密變化，在理論模型中，利用聲壓遵從的波動方程求解該問題.

2 理論模型

2.1 氣球膜的運動

氣球膜(圖3)振動為二維微小橫振動[6]：

(1)

(2)

其中，T為氣球膜的張力(每單位長度的牽引力)，ρs為氣球膜的面密度. 列出邊界條件為

u(r,θ,t)|θ=0=u(r,θ,t)|θ=2π,

(3)

u(r,θ,t)|r=R=0.

(4)

求解方程(1)，且u對θ是軸對稱函數(shù)，最終解出：

(5)

(6)

圖3 氣球膜示意圖

2.2 內(nèi)管空氣柱的振動

內(nèi)管中空氣柱振動可簡化為一維的聲壓的波動方程：

(7)

(8)

其中，p為空氣的聲壓，γ為空氣定壓比熱容與定容比熱容的比值，p0為空氣處于平衡狀態(tài)時的壓強，ρg為空氣的密度. 邊界條件為

px|x=0=0,px|x=l=f(t),

(9)

(10)

其中，ωz為聲音的角頻率，f為聲音的本征頻率，n為正整數(shù). 由(9)和(10)式可以看出，汽笛聲音基頻與管長有關(guān).

3 實 驗

3.1 實驗設(shè)計

實驗裝置圖如圖4所示，采用控制變量法探究各因素的影響. 容器和內(nèi)管分別采用不同半徑和長度的圓柱形硬紙筒和PVC管，選用多種氣球膜，吹風(fēng)機有15個不同的擋位以控制鼓風(fēng)速度. 實驗中，用手機錄音并且用Matlab對該聲音作傅里葉變換，從而獲取聲音的頻率. 由于高頻與基頻成倍數(shù)關(guān)系，故而實驗只需要對基頻進行數(shù)據(jù)分析.

(a) 正視圖

(b)側(cè)視圖圖4 實驗裝置實物圖

3.2 探究影響聲音頻率的因素

3.2.1 鼓風(fēng)速度

實驗取用2組不同的膜(編號1,2)進行2組實驗，改變吹風(fēng)機的擋位，相當(dāng)于改變了鼓風(fēng)速度，即空氣進入小孔的速度，其他條件保持不變(其余各參量見表1)，得到結(jié)果如圖5所示. 從圖5中可知，在實驗誤差允許的范圍內(nèi)，鼓風(fēng)速度對聲音的基頻不會造成影響.

表1 僅改變鼓風(fēng)速度時汽笛參量

注：D為容器直徑，d為管直徑，l為管長，L為容器長度.

圖5 改變吹風(fēng)機擋位時聲音基頻變化

3.2.2 容器長度

與鼓風(fēng)速度的探究類似，取用3組不同的膜(編號3,4,5)進行3組實驗，每組實驗改變?nèi)萜鏖L度，控制其他參量不變：容器直徑6.8 cm，管直徑1.5 cm，管長45.0 cm，鼓風(fēng)擋位7，得到如圖6所示結(jié)果. 從圖6中可知，在誤差允許的范圍內(nèi)，容器長度對聲音的基頻亦不會造成影響.

圖6 容器長度對基頻的影響

3.2.3 內(nèi)管長度

實驗取用3組不同的膜(編號6,7,8)，其他參量：管直徑1.5 cm，容器長度12.5 cm，容器直徑6.8 cm，鼓風(fēng)擋位7. 內(nèi)管長度從15 cm增至45 cm，記錄基頻.

考慮管口并非嚴格的波節(jié)，需采用經(jīng)驗公式對管長進行修正：

l修=l+0.8d.

(11)

改變管長時基頻測量值如表2所示，結(jié)果如圖7所示.

表2 改變管長時基頻測量值

(a)未修正

(b) 修正后圖7 管長對基頻的影響

從圖7來看，管長修正后，截距接近0，符合理論模型，因而聲音頻率應(yīng)該采取管長修正，而修正管長與頻率的關(guān)系符合(10)式.

3.2.4 氣球膜的張力和半徑

氣球膜編號9～13，改變氣球膜張力時汽笛其他參量：管徑1.5 cm，管長20 cm，容器直徑6.8 cm，鼓風(fēng)擋位7.

探究氣球膜張力時的困難在于測量氣球膜的拉力. 實驗采取的方法是制作完汽笛后，在氣球膜上畫十字架，測其長度，測完頻率后將氣球膜取下，用數(shù)字拉力計將氣球膜拉至原十字架的長度，讀取拉力計的示數(shù).

實驗采用緊繃程度不一的氣球膜，按上述方法測量氣球膜拉力F，根據(jù)張力T的定義：

(12)

從而得到氣球膜張力的大小，對張力與基頻的平方作擬合.

改變氣球膜張力時基頻測量值如表3所示，得到圖8所示結(jié)果.

表3 改變氣球膜張力時基頻測量值

圖8 張力對基頻的影響

圖8結(jié)果顯示，在誤差允許范圍內(nèi)，膜張力與聲音基頻的平方呈線性關(guān)系，與理論相符合. 但測量拉力時，要將氣球膜拉伸到原十字架長度并保持穩(wěn)定，以及受氣球膜疲勞程度的影響，實驗存在一定的誤差.

最后，實驗探究了氣球膜直徑(容器直徑)對聲音頻率的影響. 氣球膜編號14～19，管徑1.5 cm，管長25 cm，鼓風(fēng)擋位7.

實驗控制氣球膜張力不變而改變其半徑，即控制

(13)

式中Δxn為第n個氣球膜的伸長量，Rn為第n個氣球膜的半徑(見圖9).

圖9 氣球膜控制的參量示意圖

改變氣球膜半徑時基頻測量值如表4所示，測量結(jié)果如圖10所示.

表4 改變氣球膜半徑時基頻測量值

圖10 氣球膜半徑對基頻影響

圖10結(jié)果顯示，在誤差允許范圍內(nèi)，聲音基頻與氣球膜半徑成反比.

4 結(jié)束語

從理論和實驗兩方面探究氣膜汽笛的聲音頻率影響因素，利用Matlab分析聲音頻率，設(shè)計實驗測量氣球膜張力. 實驗結(jié)果與理論模型對比分析表明，氣膜汽笛聲音頻率存在基頻和成倍的高頻，該聲音的基頻與鼓風(fēng)速度和容器長度無關(guān)，與內(nèi)管管長和氣球膜半徑成反比，基頻的平方與氣球膜的張力成正比，實驗結(jié)果與理論預(yù)測基本吻合. 說明：理論方面，膜的振動如何影響管內(nèi)空氣柱振動的邊界條件及膜影響聲音頻率的具體機制還需進一步探究；實驗方面，氣球膜的疲勞程度、氣球膜表面不均勻以及拉力的測量皆會對實驗結(jié)果造成影響，測量氣球膜拉力的方法還需要改進.