孔 峰，張 睿，吳 甜

(華北電力大學經濟與管理學院，河北 保定 071003)

1 引言

GPRs(Generalized Precedence Relations)搭接網(wǎng)絡計劃技術是在經典的CPM網(wǎng)絡計劃技術基礎上的發(fā)展[1]，由Crandall[1]在1973年提出后廣泛吸引了各國學者和應用者的注意。在GPRs網(wǎng)絡計劃中相鄰工序之間的時間約束(搭接)關系，不僅存在傳統(tǒng)的FTS(Finish To Start)型的，還存在FTF(Finish To Finish)、STS(Start To Start)、STF(Start To Finish)型時間約束。這種帶有多種時間約束關系的網(wǎng)絡計劃更貼合工程實際，尤其在工期長、工序多、工藝復雜的大型工程項目中具有廣闊的應用前景。

當前，關于GPRs網(wǎng)絡計劃悖論和最短工期研究也日益廣泛。Elmaghraby和Kamburowski[2]對GPRs網(wǎng)絡的基本概念做出了系統(tǒng)地闡述，奠定了GPRs網(wǎng)絡的理論基礎，并發(fā)現(xiàn)其中存在逆向關鍵工序引起的總工期悖論。劉樹良等[3]提出搭接網(wǎng)絡中存在某些關鍵工序在壓縮量較大時，總工期不但縮短反而延長，以及壓縮或延誤關鍵工序總工期均不變的奇異現(xiàn)象等等。闞芝南等[4]發(fā)現(xiàn)雙代號搭接網(wǎng)絡中存在“工序間加入不同表現(xiàn)形式的同一時間約束，可能會產生不同的最大路長”這個悖論，并提出雙代號搭接網(wǎng)絡的一種新表示方法和求解搭接網(wǎng)絡次關鍵路線的一系列精確算法。蘇志雄等[5]設計了新的表示方法，即將工序之間所有的搭接關系都等效的利用傳統(tǒng)的CPM法表示，在新的表示方法中發(fā)現(xiàn)了某些關鍵工序的縮短，總工期反而延長，而某些非關鍵工序無論如何變動，其總時差總保持不變等現(xiàn)象。這些研究為項目計劃優(yōu)化問題提出了新的挑戰(zhàn)，開拓了GPRs搭接網(wǎng)絡在研究和應用上的新領域。

國內學者將重復性項目調度稱為“流水施工”或“流水作業(yè)”[6]，基于GPRs網(wǎng)絡的重復性建設項目工期計劃的研究具有重大的實際意義。關鍵路線的長度決定項目總工期，研究認為流水作業(yè)中施工段的劃分對關鍵線路的長度有重要影響，科學合理的劃分施工段會大大縮短關鍵線路長度。其中具有代表性的研究有：Selinger[7]最早提出了重復性項目中的最短工期問題，其假定所有工序均存在多種可選擇執(zhí)行模式，并在保持工作連續(xù)性要求和資源恒定性要求條件下給出了該問題的動態(tài)規(guī)劃求解模型。Harris和Ioannou[8]在重復性工程項目進度計劃管理中也引入了GPRs網(wǎng)絡，發(fā)現(xiàn)總工期悖論也會出現(xiàn)。重復性建設項目需要合理計劃，以確保資源的不間斷使用，Harris和Ioannou[8]認為傳統(tǒng)關鍵路徑法不能滿足此要求，提出采用重復調度方法(RSM)以保證施工計劃中的資源連續(xù)性。Alexandros等[9]比較了Kallantzis -Lambropoulos的關鍵路徑重復項目模型與網(wǎng)絡計劃關鍵路徑法，指出了兩者之間的異同。楊冰[10-11]把網(wǎng)絡計劃、搭接網(wǎng)絡計劃和流水網(wǎng)絡計劃統(tǒng)一起來，計算模型更為嚴謹、簡明、便于應用。蔣根謀[12]等稱流水作業(yè)計劃為線性計劃方法，并介紹了線性進度計劃的繪制方法和步驟。張立輝等[13]提出了借助約束線確定重復性項目中關鍵路線的方法?？傊贕PRs網(wǎng)絡的工期優(yōu)化方法已經成為流水作業(yè)研究的主流方向之一。

通過對GPRs網(wǎng)絡的總工期悖論研究，本文首次發(fā)現(xiàn)了在GPRs搭接網(wǎng)絡中還存在“分解悖論”，即編制網(wǎng)絡計劃時，將某一個可分解的關鍵工序分解成兩個順序工序(FTS=0)以后，總工期并非保持不變反而縮短的奇異現(xiàn)象，工序的分解也使工序獲得更多可利用的總時差。通過對該分解悖論的研究，本文提出了兩個分解優(yōu)化定理，用于GPRs搭接網(wǎng)絡計劃的優(yōu)化。這種優(yōu)化方法不僅解決了GPRs搭接網(wǎng)絡中正確求解最短總工期的問題，還發(fā)現(xiàn)在總工期不變的條件下，分解某一非關鍵工序會增加其總時差?？倳r差的增加為資源優(yōu)化創(chuàng)造了條件。工序的合理分解(施工段的科學劃分)正是流水作業(yè)的重要內容之一，本文將該分解優(yōu)化方法同流水作業(yè)原理相結合，用于解決流水作業(yè)中施工段劃分的問題，并通過實例驗證了該方法的可操作性。這對大型重復性項目的建設有著重要的實踐指導意義。

2 GPRs搭接網(wǎng)絡的關鍵工序分解悖論

在實際施工過程中，大部分工序因為技術間歇、人員調度、機械設備調度、工作時間限制等各種各樣的原因，可以進行合理分解，尤其是對于大型重復性項目。傳統(tǒng)CPM理論認為關鍵工序被分解成若干具有FTS=0的工序，總工期和時間參數(shù)均不會發(fā)生改變；在某工序中插入一段休息時間會使項目的總工期變長。但本文研究發(fā)現(xiàn)對特定工序進行分解，反而使總工期減少，工序的機動時間也得到增加。這種不需要增加資源投入量的工序分解方式，不但滿足工期優(yōu)化的目標，還節(jié)省了大量的資金成本。

本文以如圖1所示的網(wǎng)絡圖為例進行分析。

圖1 GPRs搭接網(wǎng)絡計劃圖初始方案

2.1 分解悖論現(xiàn)象

在搭接網(wǎng)絡計劃中，工序間的約束關系是由相鄰兩工作之間的施工速度決定的。如果前一工序施工速度較后一工序快，則采用“STS”型；如果前一工序施工速度比后一工序慢，則采用“FTF”型。圖1的搭接網(wǎng)絡中各個字母表示不同工序，其中St表示開始工序，F(xiàn)in表示結束工序，僅表示邏輯關系不具有實際意義。

圖1網(wǎng)絡圖中關鍵線路為St→A→E→F→ H→Fin,總工期為46，工序A、E、F、H為關鍵工序。將工序E分解為E1和E2兩個具有FTS=0的順序工序，工序持續(xù)時間分別為3和4，重新繪制和計算網(wǎng)絡圖，結果如圖2所示。

根據(jù)圖2的計算結果可以看出，工序分解后關鍵線路發(fā)生了變化，為St→C→D→G→Fin,而且E1和E2都不再是關鍵工序，總工期也縮短為41。顯然，當關鍵工序E可以分解時，分解之后的網(wǎng)絡圖優(yōu)于初始網(wǎng)絡圖。

分解悖論還可以用另一種表現(xiàn)形式——咖啡時間悖論來說明。

在初始網(wǎng)絡圖中的關鍵工序E中插入1個咖啡時間(休息時間)E0，即在拆分后的工序E1和E2中，插入一個持續(xù)時間很短的工序E0，則E1、E0和E2成為三個搭接關系為FTS=0的順序工序，持續(xù)時間分別為3、1、4，重新計算網(wǎng)絡圖后結果如圖3所示。

圖2 關鍵工序分解悖論

圖3 咖啡時間悖論

相比于初始網(wǎng)絡圖，增加工序后總工期反而減少為41天，關鍵線路變?yōu)镾t→C→D→G→Fin。這種在某一可分解關鍵工序中插入休息時間(咖啡時間)后，工序雖然增加了，但是總工期卻縮短的現(xiàn)象稱為咖啡時間悖論。圖3的原理與圖2相同。

2.2 悖論原因分析

(1)關于關鍵工序分解悖論的分析

將某關鍵工序進行合理分解，總工期縮短的原因在于：由于工序A、E之間為STF的搭接關系，即工序A只對E的結束有直接約束，分解后該約束變?yōu)锳與E2之間，工序E2需要在工序A開始后20內結束。工序E1與工序A沒有直接約束關系。因此，項目開始后E1即可開始，E1最早開始時間提前了13。又由于工序E1和F之間為STS搭接關系，這就使得工序F的最早開始時間也提前了13，其所在線路長度縮短，使得關鍵線路發(fā)生變化，總工期縮短。

(2)關于咖啡時間悖論的分析

咖啡時間悖論和分解悖論產生的原因相似，插入咖啡時間后工序A僅對工序E2有STF的搭接關系，工序E1與工序A并不存在直接約束，所以E1工序的最早開始時間也提前，由于工序E1和F之間為STS搭接關系，這就使得工序F的最早開始時間也提前了，線路長度縮短，導致關鍵線路發(fā)生變化，總工期縮短。

2.3 關鍵工序分解優(yōu)化定理

分解悖論(包括咖啡時間悖論)的存在，說明在項目沒有增加資源投入的情況下，甚至增加休息時間，總工期卻縮短。也就是說，原有網(wǎng)絡計劃中存在帕累托改進。因此，需要進行更科學的優(yōu)化，在不增加資源投入的條件下，確保實現(xiàn)最優(yōu)(最短)總工期。GPRs網(wǎng)絡中存在如下的關鍵工序分解優(yōu)化定理。

分解優(yōu)化定理1：

若某一網(wǎng)絡圖中所有的關鍵線路，均存在如下情況，網(wǎng)絡的總工期是可以得到優(yōu)化的。

(1)某些關鍵工序是可以進行分解的；

(2)該關鍵工序與其緊前關鍵工序之間存在STF或FTF的搭接關系，且該關鍵工序與其緊后關鍵工序之間存在STS或STF的搭接關系。

證明：

只需證明其中1條關鍵路線的長度可以縮短，其它關鍵線路同理即可。

(1)在某關鍵路線中，某關鍵工序j與其緊前工序i之間存在STF的搭接關系，與其緊后工序k存在STS的搭接關系(簡稱STF-STS組合)。ESk為工序k的最早開始時間，STSj-k表示工序j與k之間存在STS的搭接關系，其他類似。

分解前，有，ESk=ESj+STSj-k

由于工序j為關鍵工序，其最早完成時間由與其具有STF搭接關系的緊前關鍵工序i決定，因此有，

ESj=max(EFj-tj,其它約束)=EFj-tj

即有，EFj-tj>其它約束。

由于工序j1與工序i之間沒有了約束，其最早時間由其它約束決定，即，ESj1=max(其它約束)

所以有，ESj>ESj1。

所以經過工序k的關鍵線路變短。

(2)其它三種情況類似，即STF-STF組合、FTF-STS組合、FTF-STF組合證明同上，略。

證畢。

3 總時差悖論及搭接網(wǎng)絡分解優(yōu)化方法

3.1 總時差悖論現(xiàn)象

分解悖論不僅僅體現(xiàn)在關鍵工序和總工期的改變上，進一步分析，經觀察可發(fā)現(xiàn)，圖3中插入“咖啡時間”E0后，E0總時差為21，證明其有充分的可利用機動時間(總時差)，而且工序E1同E2的總時差并未改變，仍與圖2中相同，分別為8和9。

相比于圖1中沒有總時差的工序E，其可利用的機動時間(總時差)增加了許多。工序總時差的增加，使得項目有更多可利用的機動時間，資源優(yōu)化空間大幅提升。

工序分解后總時差增加的原因分析：

(1)插入E0前：由于圖2中工序E1和工序F之間STS搭接關系的存在，工序E1的最遲開始時間為LSE1=min(28-20，25-3)=8，是由STS搭接關系決定的。因此，無論E1持續(xù)時間如何變化，其總時差為定值8。

而工序A與E2之間STF搭接關系確定了E2的最早完成時間，為固定值20。同時，關鍵線路已確定總工期，所以工序E2的最遲完成時間為29始終不變。因此，工序E2的總時差為定值9。

(2)插入E0后：插入咖啡時間E0后，由于LSE0=min(28-20，24-3)=10，所以E1總時差保持不變?yōu)?。且工序E2的總時差仍為定值9天，工序E0具有總時差21，所以插入E0后總時差增加。

該特性不僅存在于非關鍵工序上，同樣也會出現(xiàn)在關鍵工序中。將圖3中的關鍵工序D拆分為D1和D2兩個具有FTS=0搭接關系的順序工序，持續(xù)時間分別為10和3，重新繪制并計算網(wǎng)絡圖，如圖4所示。

由圖中計算結果可知，工序D1總時差為8。

圖3和圖4的計算結果證明了有的工序在分解后不僅不會改變總工期，反而為工序自身獲得了更多的總時差。進一步說明合理的分解工序可以達到項目的優(yōu)化。

3.2 總時差分解優(yōu)化定理

GPRs中存在如下關于總時差的分解優(yōu)化定理。

分解優(yōu)化定理2：

在GPRs網(wǎng)絡中，若存在以下情況，通過工序的分解可以得到更多的總時差，即總時差的分布得到優(yōu)化。

(1)某工序是可以進行分解的；

圖4 分解悖論拓展分析——總時差悖論

(2)該工序與其緊前工序之間存在STF或FTF的搭接關系，且該搭接關系是起決定作用的約束；或該工序與其緊后工序之間存在STS或STF的搭接關系，且該搭接關系是起決定作用的約束。

證明：

(1)假設在網(wǎng)絡圖中，某工序i與其緊后工序j之間存在STF的搭接關系，且該搭接關系是起決定作用的約束。

則工序i的最遲完成時間：

LFi=min(EFj-STFij+ti,其它約束)=EFj-STFij+ti

即有，EFj-STFij+tB<其它約束。

工序i分解為工序i1和工序i2后，工序i2的最遲完成時間：

LFi2=min(其它約束)

因此，有，LFi2>LFi。

由于，LFi=LFi-EFi,LFi2=LFi2-EFi2

又因為，

EFi2=ESi2+ti2=EFi1+ti2=ESi1+ti1+ti2

=ESi1+ti=ESi+ti=EFi

因此，TFi2>TFi。

又因為，LSi1=LSi,ESi1=ESi，

因此，TFi1=TFi。

工序i分解后的工序i1的總時差與分解前相同，而工序i2總時差大于i的總時差，說明工序i分解后總時差增加。

(2)其它情況類似，證明略。

證畢。

可以看出，上述兩個分解優(yōu)化定理本質是相同的，都是通過工序的分解得出工序的最大總時差?？煞纸獾墓ば蚺c其緊前或緊后工序之間存在搭接關系，約束了其開始或結束時間，通過合理的工序分解使得被約束對象趨于合理。定理1可以得到正確的關鍵工序，定理2可以得到最大的總時差。

3.3 搭接網(wǎng)絡的分解優(yōu)化方法

根據(jù)前面兩個分解優(yōu)化定理，得到GPRs網(wǎng)絡的分解優(yōu)化方法：

若某工序可以進行分解，且存在下述起決定作用的搭接關系時，可以按照以下方法進行分解優(yōu)化：

(1)某工序與其緊前工序若存在STF或FTF的搭接關系，則該工序應該分解為兩個具有搭接關系FTS=0的工序，其中后者為不能繼續(xù)分解的基本工序。

(2)某工序與其緊后工序若存在STS或STF的搭接關系，則該工序應該分解為兩個具有搭接關系FTS=0的工序，其中前者為不能繼續(xù)分解的基本工序。

因此，對于圖1網(wǎng)絡，最終的優(yōu)化結果如圖5所示。其中，工序A1、E0、E2、D2為不能分解的基本工序。

相比于圖1 中的初始方案，圖5的方案總工期得到了減少，部分工序的機動時間也大大增加，有的工序還具備了休息緩沖的時間?？梢姡纸鈨?yōu)化定理對于項目優(yōu)化管理有重要意義。

圖5 GPRs搭接網(wǎng)絡圖最終優(yōu)化方案

4 分解優(yōu)化定理在流水作業(yè)網(wǎng)絡計劃中的應用

流水施工需將擬建工程的全部建造過程根據(jù)工藝和工程量分解為若干個施工過程，豎向的劃分稱之為施工層，平面上的劃分稱之為施工段。各組專業(yè)工人則根據(jù)施工對象的需要劃分成若干個專業(yè)小組或混合專業(yè)小組，將其按照施工順序安排在工作性質相同施工段上，依次投入施工。流水作業(yè)作為一種先進的作業(yè)方式得到了廣泛的應用。

施工段的劃分是流水作業(yè)施工中最主要的內容之一，將分解優(yōu)化定理科學合理的應用于流水作業(yè)原理中，即通過合理的施工段劃分(工序分解)，會有效的縮短總工期，使得工程項目建設更加高效合理。

本文以下一算例進行分析。

某一高架橋工程，該高架橋全長1189米，基本施工工序包括基礎施工、橋臺施工、橋臺后填土、預制梁的架設、橋面附屬工程和同兩側道路路基的連接。具體施工工序及各工序持續(xù)時間如表1所示。為保證工程的早日完工，該工程采用流水作業(yè)施工，將基礎、橋臺工程均分為東、西兩個施工段。為盡早通車，加之山溝的地勢條件，該高架橋西側基礎與西側橋臺施工之間存在STS=15天的搭接關系，東側基礎同東側橋臺施工之間存在FTF=20天的搭接關系。此外，架梁時不僅需滿足橋梁自身的使用要求，也要保證同兩側公路路基對接良好，故架梁工序同橋面系及附屬工程之間存在STF=20天的搭接關系，STSC-D表示工序C與D之間存在開始到開始的搭接關系。

表1 高架橋施工工序及施工時間一覽表

初始施工方案的流水作業(yè)網(wǎng)絡計劃圖及各個工序的參數(shù)計算結果如下圖6所示。

由圖可知，該高架橋工程總工期為76天，其中關鍵線路為St→A→C1→C2→D2→E2→H→ I→Fin。關鍵工序C2和其緊前工序C1之間存在STF的搭接關系，與其緊后工序D2之間存在STS的搭接關系，根據(jù)關鍵工序分解優(yōu)化定理可將工序C2進行分解。結合本實例，分解工序C2實際上就是將基礎施工的施工段重新劃分，可將工序C2拆分為兩個具有FTS=0的順序工序，即將東側基礎施工劃分為兩個施工段，則基礎部分被劃分為C1、C2、C3共三個施工段。顯然，工序H也具備可分解的條件，故可將工序H劃分為兩個具有FTS=0的順序工序H1和H2。分解優(yōu)化后的流水作業(yè)網(wǎng)絡圖如圖7所示。

圖6 高架橋流水施工初始方案GPRs網(wǎng)絡圖

圖7 高架橋分解優(yōu)化施工方案GPRs網(wǎng)絡圖

優(yōu)化后該高架橋項目施工總工期縮短為68天，關鍵線路為St→A→C1→D1→D2→E2→H1→ I→Fin。施工段重新劃分之后，工序D1和D2的總時差分別增加為11天和4天，工序J2的總時差增加為13天，工序F的總時差增加為1天。由此可見，分解優(yōu)化定理具有很強的應用性。對于一些應用流水作業(yè)原理施工的大型重復性建設項目，分解優(yōu)化定理對其施工段的劃分具有重要意義。

5 結語

本文發(fā)現(xiàn)了傳統(tǒng)GPRs搭接網(wǎng)絡計劃方法中的一些新的奇異現(xiàn)象，如在某一可分解關鍵工序中加入一休息時間或分解關鍵工序，總工期反而縮短，這些奇異現(xiàn)象分別稱為咖啡時間悖論和關鍵工序分解悖論。通過對這些悖論形成原因進行分析發(fā)現(xiàn)，在沒有增加任何資源的情況下，甚至增加了休息時間，總工期反而縮短。說明傳統(tǒng)GPRs搭接網(wǎng)絡計劃的總工期計算結果在某些情況下存在帕累托優(yōu)化改進，需要進行更科學的優(yōu)化，對此，本文提出了關鍵工序的分解優(yōu)化定理。在對工序分解進行拓展分析過程中總結并又提出了總時差分解優(yōu)化定理，通過對工序的合理分解來最大程度上優(yōu)化工序的總時差分布，并通過算例表明這些方法的有效性和簡便性?？倳r差分解優(yōu)化定理說明了GPRs網(wǎng)絡計劃中的分解優(yōu)化不僅僅適用于關鍵工序，對某些非關鍵工序也同樣適用。本文還將分解優(yōu)化定理同流水作業(yè)原理相結合，通過實例說明了分解優(yōu)化原理在流水作業(yè)施工段分解方面的實際可操作性，為項目資源優(yōu)化提供了更科學的理論依據(jù)，從而有利于項目的資源優(yōu)化和降低成本。