徐樹旺

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景，在數(shù)學(xué)和物理學(xué)科中具有廣泛的應(yīng)用.向量內(nèi)容已成為高中數(shù)學(xué)課程的“核心概念”之一.

一、向量體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與物理的天然聯(lián)系

生活中的向量隨處可見：“風(fēng)力3級(jí)，風(fēng)向東北”、“飛機(jī)每小時(shí)向西北方向飛行900km”、“用了300kg的力向上提一物體”等，向量最初被應(yīng)用于物理學(xué)，很多物理量如位移、速度、加速度、力等都是向量的原型，

如，兩接連的位移確定一個(gè)新位移——向量的加法（α十b）的原型（圖1）；力所做的功是由力與位移兩矢量（物理上矢量——既有大小、又有方向、又有作用點(diǎn)）唯一確定的一個(gè)數(shù)——向量的數(shù)量積（α·b）的原型（圖2）.

“向量”一詞來自力學(xué)、解析幾何中的有向線段，英國大科學(xué)家牛頓使用有向線段表示向量，將向量與力學(xué)應(yīng)用結(jié)合在一起.笛卡兒坐標(biāo)（x，y）形式的出現(xiàn)，使向量為力學(xué)應(yīng)用提供了一種有效的數(shù)學(xué)工具.

二、向量代數(shù)“身份”的核心內(nèi)容是運(yùn)算

運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)基本內(nèi)容，從小學(xué)開始，運(yùn)算對象不斷擴(kuò)展：從整數(shù)到分?jǐn)?shù)、從正數(shù)到負(fù)數(shù)、從有理數(shù)到實(shí)數(shù)；從數(shù)到字母，再到多項(xiàng)式等；數(shù)運(yùn)算、字母和多項(xiàng)式運(yùn)算，這些都是數(shù)學(xué)中的基本運(yùn)算.

向量具有代數(shù)形式與幾何形式的“雙重身份”，既是代數(shù)的對象，又是幾何的對象.作為代數(shù)對象的向量，必有運(yùn)算法則和運(yùn)算律，可與實(shí)數(shù)進(jìn)行類比.

實(shí)數(shù)的運(yùn)算結(jié)果始終是數(shù)，α十b，α-b，λα運(yùn)算結(jié)果仍是向量，而向量的數(shù)量積（點(diǎn)乘）運(yùn)算結(jié)果不是向量了.如果說從數(shù)的運(yùn)算到字母的運(yùn)算是運(yùn)算的一次飛躍，那么運(yùn)算對象擴(kuò)展到向量則是運(yùn)算認(rèn)識(shí)上又一次飛躍.

三、向量是解決幾何問題的重要工具

向量是既有大小、又有方向的量，是通過代數(shù)運(yùn)算刻畫幾何對象及其位置關(guān)系、幾何度量問題的工具.

解法1中，建立坐標(biāo)系，將幾何問題代數(shù)化（可以是三角形式），通過代數(shù)運(yùn)算解決.解法2借助圖形將抽象的問題直觀地表達(dá)出來，使問題變得更直觀、簡單，求解更快速、準(zhǔn)確.

向量是數(shù)形結(jié)合的載體，向量的坐標(biāo)表示把點(diǎn)與數(shù)聯(lián)系了起來，既為我們用代數(shù)方法研究幾何問題提供了可能，也為我們用幾何的觀點(diǎn)處理某些代數(shù)問題豐富了研究的范圍和手段，這正是向量已成為中學(xué)數(shù)學(xué)課程的主角的原因所在.