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升維類比,回歸基本

2018-11-23 01:02梁燕
新高考·高一數(shù)學(xué) 2018年1期
關(guān)鍵詞:共線基底向量

梁燕

一、追本溯源,升維類比

你了解向量共線定理的意義和作用嗎?

我們可以這樣理解向量共線定理:直線上存在無數(shù)個向量(共線向量),我們通過選定直線上一個非零向量α,而其他向量b均可用α唯一表示(即存在唯一的實數(shù)λ,使得b=λα成立).這樣,共線的所有向量的運算都可以轉(zhuǎn)化為向量α(基本向量)的運算,就將直線上復(fù)雜的向量問題轉(zhuǎn)化為有關(guān)一個向量的簡單問題了.

共線定理中僅需一個基本向量即可表示直線上的所有向量.從直線(一維)到平面(二維),類比猜測很有可能是兩個向量,借助物理知識(力的分解與合成)作圖后我們可以確定.類比共線向量定理,可得平面向量基本定理:

若向量e1,e2是兩個不共線的向量,那么對于這個平面內(nèi)的任意一個向量α,有且只有一對實數(shù)λ1和λ2,使得α=λ1e1十λ2e2.其中不共線的向量叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

從向量共線定理到平面向量基本定理,實現(xiàn)了從低維向量空間(一維)到高維向量空間(二維)的轉(zhuǎn)化,在三維甚至多維空間,大家猜猜還有什么結(jié)論?(可參考選修2-1)

二、對比歸納,透徹理解

向量共線定理和平面向量基本定理作為平面向量中的兩大重要定理,它們在內(nèi)容和表達形式上有著怎樣的區(qū)別與聯(lián)系呢?

聯(lián)系:在平面向量基本定理中,特別地,若λ1=O或λ2=O時,就變成了向量共線定理,因此也可說,向量共線定理是一維的向量基本定理.從向量共線定理到平面向量的基本定理,是向量的分解從一維到二維的延伸.

由向量共線定理可知,任意一個向量都可以用一個與它共線的非零向量線性表示,且這種表示形式是唯一的;平面向量基本定理,其實質(zhì)在于同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合.這兩個定理都可以看成在一定范圍內(nèi)的向量分解的“唯一性”定理.

區(qū)別:它們的表示形式不同,向量共線定理是指與。共線的任意向量都可以表示為λα的形式;平面向量基本定理是指平面內(nèi)的任意向量可以表示為λ1e1與λ2e2和的形式,

三、靈活轉(zhuǎn)化,回歸基本

向量既能反映對象間的數(shù)量關(guān)系,又能體現(xiàn)其位置關(guān)系,運算簡潔而又利落,思維明快而富有創(chuàng)意,用向量方法無疑是解決幾何問題的一把“利劍”,下面試舉幾個例子來說明.

點評 利用平面向量的基本定理解決平面幾何問題的關(guān)鍵是選定適當(dāng)?shù)幕?,基底選擇不唯一,而選擇基底應(yīng)遵循以下的原則:盡量選取兩個已知的向量;盡量選擇能將已知量、已知空間位置關(guān)系及所求量、所證的未知關(guān)系集中的兩個向量;盡量選擇共點或者具有垂直關(guān)系的兩個向量.

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