安晨亮，馬金玉，王嘉維，權(quán)凌霄*

(1.北京航天發(fā)射技術(shù)研究所，北京 100076；2.北京精密機(jī)電控制設(shè)備研究所，北京 100076；3.燕山大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004)

0 引 言

振動(dòng)是普通工業(yè)、航空航天等裝備領(lǐng)域中普遍存在的現(xiàn)象[1-2]，如果得不到有效控制，會(huì)嚴(yán)重影響裝備的壽命及可靠性，因此，振動(dòng)控制技術(shù)研究十分重要[3]。

振動(dòng)控制可以分為被動(dòng)控制、主動(dòng)控制、半主動(dòng)控制和混合控制4類。近年來，隨著智能材料的快速發(fā)展，利用記憶合金、壓電陶瓷、電流變液及磁流變液等智能材料實(shí)現(xiàn)半主動(dòng)振動(dòng)控制逐漸得到重視，并形成了很多應(yīng)用成果[4]。

磁流變阻尼器以磁流變液為主要阻尼材料，其結(jié)構(gòu)簡單、響應(yīng)速度快、阻尼力控制范圍較大，能夠適應(yīng)寬頻振動(dòng)信號(hào)的控制，且不需要過多的外部能源接入，具有更好的控制效果，并逐步得到廣泛應(yīng)用[5]。雖然國內(nèi)外學(xué)者對(duì)磁流變阻尼器原理，流變特性的研究和開發(fā)磁流變液新的應(yīng)用等方面取得了豐碩的成果，但其輸出阻尼力變化對(duì)每一個(gè)的設(shè)計(jì)參數(shù)變化敏感程度的研究還較少。影響磁流變液輸出阻尼力的參數(shù)很多，其中包括阻尼器控制電流、活塞運(yùn)動(dòng)速度、勵(lì)磁線圈的匝數(shù)、活塞的有效長度等因素，依據(jù)實(shí)際工況條件，定性地分析每個(gè)參數(shù)對(duì)磁流變阻尼器輸出阻尼力的影響，并定量地掌握所有參數(shù)對(duì)阻尼特性的影響，結(jié)合結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化理論，可得到磁流變阻尼器結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化方法[6-7]。

磁流變阻尼器的數(shù)學(xué)模型較為復(fù)雜，采用傳統(tǒng)的分析方法難以反映出其非線性問題，使得各參數(shù)的定量分析結(jié)論難以獲取。靈敏度分析首先應(yīng)用在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，主要用于分析參數(shù)變化引起微分方程解的變化。具體的分析方法是：將微分方程組的特征值、特征向量作為含有參數(shù)的多元函數(shù)，直接將它們對(duì)參數(shù)進(jìn)行微分運(yùn)算[8-9]。由于現(xiàn)代控制理論發(fā)展的需要，在諸多控制領(lǐng)域中引入靈敏度分析，研究外干擾對(duì)系統(tǒng)性能的影響，并取得了很好的分析效果。靈敏度分析是一種能定量分析系統(tǒng)各參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)特性影響權(quán)重的有效方法，將其運(yùn)用于磁流變阻尼器能夠很好地解決這一難題。

本文將一階和二階輸出靈敏度應(yīng)用于磁流變液振動(dòng)控制系統(tǒng)的分析中，建立磁流變液輸出阻尼力的數(shù)學(xué)模型，研究一階和二階輸出靈敏度分析方法理論模型，進(jìn)而求解出一階和二階輸出靈敏度分析方法的表達(dá)式，對(duì)比活塞運(yùn)動(dòng)速度和控制電流等10個(gè)參數(shù)靈敏度分析結(jié)果的異同點(diǎn)，進(jìn)行理論分析，得出10個(gè)參數(shù)對(duì)輸出阻尼力的影響程度。

1 磁流變液輸出阻尼力的數(shù)學(xué)建模

1.1 研究對(duì)象

磁流變液阻尼器結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

圖1 磁流變液阻尼器結(jié)構(gòu)圖

當(dāng)活塞內(nèi)的勵(lì)磁線圈通入電流時(shí)，在活塞頭內(nèi)部的導(dǎo)磁體會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)，貫穿環(huán)形阻尼孔到外套筒再返回到活塞中，形成一閉合磁路。此時(shí)流經(jīng)環(huán)形阻尼孔內(nèi)的磁流變液發(fā)生磁化，致使活塞運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生較大的剪切屈服應(yīng)力，從而形成一定的阻尼力，通過控制磁流變液阻尼器的電流可用來控制阻尼力大小。

為了得到更多影響磁流變液輸出阻尼力的參數(shù)，本文采用的數(shù)學(xué)建模方法以偽靜力模型和Bingham模型為基礎(chǔ)。為了計(jì)算方便，減少變量數(shù)，進(jìn)行簡化：

(1)認(rèn)為磁流變液不可壓縮；

(2)認(rèn)為溫度對(duì)阻尼器性能影響很??；

(3)認(rèn)為零場(chǎng)作用時(shí)磁流變液具有較低的黏度；

(4)認(rèn)為鐵芯材料不存在剩磁，磁滯回線包含面積小，矯頑力低，且無渦流損失和磁滯損失。

1.2 流體微分方程推導(dǎo)

磁流變液流變特性可簡化為在兩相對(duì)運(yùn)動(dòng)的平板之間的流動(dòng)，平板模型如圖2所示。

圖2 環(huán)形間隙中的流速分布圖g—兩平板之間的間隙；v—平板的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度

本研究建立如圖2所示的坐標(biāo)系，磁流變液以體積流速Q(mào)在x方向上一維流動(dòng)，在y方向不流動(dòng)，由流體力學(xué)可得出微分方程：

(1)

式中：u，v—磁流變液在x,y方向上的流動(dòng)速度；?σxx/?x—磁流變液在x方向的壓力梯度；ρ—磁流變液的密度；t—時(shí)間變量。

為了簡化，將壓力梯度簡化為x方向按線性變化，則得到?σxx/?x=-Δp/l；當(dāng)流動(dòng)速度較低時(shí)，可不計(jì)慣性效應(yīng)，則有?u/?t=0；令沿x方向的剪切應(yīng)力τyx=τ，由于磁流變液流動(dòng)的連續(xù)性，沿x方向的速度不變，則有?u/?x=0。

通過以上簡化，基于平面Poiseuille流動(dòng)[10]，可將式(1)簡化為：

(2)

式中：l—阻尼通道的長度；Δp—阻尼通道兩端的壓差。

1.3 Bingbam流體流動(dòng)分析

在外加磁場(chǎng)作用下，磁流變液表現(xiàn)為Bingham流體，在平行板間流動(dòng)時(shí)，則有:

(3)

理論上剪切屈服強(qiáng)度與磁感應(yīng)強(qiáng)度可近似描述如下[11]：

τy=152B-11.4

(4)

在平板模型中，磁流變液受到的剪切應(yīng)力沿平板間隙是按線性分布的，因此，可以將磁流變液的流動(dòng)分為3個(gè)區(qū)域，其流動(dòng)速度分別用u1、u2和u3表示，其邊界條件分別為：

在區(qū)域①中，將τ代入控制微分方程(2)可得：

(5)

由邊界條件求解式(5)，可得到區(qū)域①的流速為：

(6)

同理，可求得區(qū)域②的流速為：

(7)

區(qū)域③的流速為：

(8)

利用控制微分方程(2)與邊界條件：τ(g/2)=0，求解出磁流變液剪切應(yīng)力的分布為τ=Δp/(2l(2y-g))。

由τ(y1)=-τy，τ(y2)=τy，可得：

(9)

(10)

剛性流動(dòng)區(qū)的厚度δ為：

雙及物構(gòu)式(雙賓構(gòu)式)是指在句法層面的動(dòng)詞能同時(shí)攜帶間接賓語和直接賓語的語言形式，其結(jié)構(gòu)可以碼化為［NSVN1N2］。雙及物構(gòu)式的基本意義可以表述為“客體實(shí)際的、成功的轉(zhuǎn)移”，也就是“客體從初始領(lǐng)有者被傳遞給最終領(lǐng)有者的過程”。這就要求進(jìn)入雙及物構(gòu)式的動(dòng)詞必須具有“給予”義，必須能支配三個(gè)名詞性成分，動(dòng)詞后的“N1”應(yīng)該是有生命的。但是我們發(fā)現(xiàn)，許多非“給予”類、非“三價(jià)”動(dòng)詞也能進(jìn)入雙及物構(gòu)式；處于“N1”位置上的名詞也并非都是有生命的，這其中一定有什么因素在起作用，本小節(jié)就擬探討這個(gè)問題。

(11)

引入一個(gè)非量綱因子，即：

(12)

再將式(12)代入式(9，10)中，可得：

(13)

(14)

兩平板間隙中的磁流變液的體積流量Q關(guān)系式為[12]：

(15)

令：

根據(jù)流體力學(xué)連續(xù)性原理，磁流變液阻尼力為：

F=-ΔpA

(16)

并有以下關(guān)系式：

Q=Av

(17)

式中：A—活塞作用面積，A=(π/4)(D2-d2)，b=π(D+g)

1.4 磁路計(jì)算

為了簡化計(jì)算，假設(shè)阻尼器鐵芯的磁導(dǎo)率為一定值，并忽略漏磁效應(yīng)和摩擦損失。

磁路的磁阻Rm，磁通φ和磁勢(shì)Ff有以下關(guān)系：

Ff=Rmφ

(18)

磁勢(shì)Ff又可以表示為：

Ff=NI(AT)

(19)

式中：N—線圈匝數(shù)；I—?jiǎng)?lì)磁電流

磁感應(yīng)強(qiáng)度關(guān)系式為：

B=μH

(20)

式中：B—磁感應(yīng)強(qiáng)度；μ—鐵芯磁導(dǎo)率。

磁通量公式為：

φ=BS

(21)

式中：S—鐵芯的橫截面積。

綜合(18～21)，可得出磁場(chǎng)強(qiáng)度：

(22)

假設(shè)磁路平均長度為L(m)，相對(duì)磁導(dǎo)率為μR，則磁阻Rm可以表示為：

Rm=L/(μS)=(l/(μRμ0S))(AT/(Wb))

根據(jù)阻尼器鐵芯的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將磁路分為3個(gè)部分進(jìn)行分析[13]，導(dǎo)磁體磁阻計(jì)算圖如圖3所示。

圖3 導(dǎo)磁體磁阻計(jì)算圖

區(qū)域①、區(qū)域②與區(qū)域③組成導(dǎo)磁體，與工作間隙組成閉合磁路。磁流變液的線圈電流是由勵(lì)磁電流和鐵損電流組成，當(dāng)振動(dòng)頻率不大時(shí)可將線圈電流看成勵(lì)磁電流，各區(qū)域的磁阻為：

(23)

(24)

(25)

磁流變液的磁阻近似為：

(26)

式中：μr—工作缸材料的磁導(dǎo)率；μMR—磁流變液的相對(duì)磁導(dǎo)率，μMR=2.5。

總磁阻可近似為：

Rm=Rm1+2Rm2+Rm3+RMR

(27)

綜上所述，可以得到阻尼力公式：

H3F3+H2F2+H1F+H0=0

(28)

其中：

H3=-((9/4)bg3-(3/2)ηbg3-6Avlη2-3blgvη2)/A3，

H2=((15/4)blτyg2+(13/4)bηlτyg2-(3/2)bηg3-

6bvτyl2η2)/A2，

2 磁流變液輸出阻尼力一階靈敏度

2.1 一階靈敏度函數(shù)推導(dǎo)

本文主要分析磁流變液輸出阻尼力對(duì)系統(tǒng)模型中10個(gè)參數(shù)的輸出靈敏度。系統(tǒng)各參數(shù)的輸出靈敏度方程的表達(dá)式為：

(29)

α取10個(gè)參數(shù)，即：α=[α1,α2,α3,α4,α5,α6,α7,α8,α9,α10]。

其中：磁流變液阻尼器控制電流α1和活塞運(yùn)動(dòng)速度α2可影響最終輸出阻尼力，其值可以根據(jù)實(shí)際工況而調(diào)整；勵(lì)磁線圈匝數(shù)α3、鐵芯的橫截面積α4，鐵芯的磁導(dǎo)率α5和磁流變液表觀粘度系數(shù)α6，均會(huì)影響剪切屈服應(yīng)力，進(jìn)而影響輸出阻尼力的大小；外筒和活塞杠之間的間隙α7，活塞阻尼環(huán)內(nèi)徑α8的大小，活塞軸直徑α9的大小和活塞的有效長度α10的設(shè)定均會(huì)影響輸出阻尼力的大小。

筆者對(duì)阻尼力方程(28)中的阻尼力F對(duì)各參數(shù)α求一階偏導(dǎo)，通過Matlab軟件的仿真計(jì)算，可得到各參數(shù)的一階輸出靈敏度函數(shù)：

(30)

式中：A—活塞作用面積，b=π(D+g)；τy—磁致剪切屈服應(yīng)力；η—磁流變液表觀粘度系數(shù)；I—磁流變液控制電流；g—外筒和活塞桿之間的間隙；v—活塞運(yùn)動(dòng)速度；l—活塞有效長度；F—磁流變液輸出阻尼力。

由于篇幅有限，本文僅給出控制電流的一階輸出靈敏度函數(shù)。

2.2 一階靈敏度函數(shù)仿真

基于計(jì)算出的一階輸出靈敏度方程，本研究在Matlab軟件主界面中進(jìn)行編程。磁流變液輸出阻尼力輸出靈敏度函數(shù)曲線如圖4所示。

圖4 各參數(shù)的輸出靈敏度函數(shù)曲線圖

從圖4中可以看出：α2、α6和α10都會(huì)對(duì)系統(tǒng)輸出阻尼力變化產(chǎn)生影響[14]，其他7個(gè)參數(shù)在整個(gè)調(diào)整時(shí)間內(nèi)都對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)產(chǎn)生較大影響，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)影響相對(duì)較小，在采樣時(shí)間末會(huì)趨于穩(wěn)定。α2的變化會(huì)引起阻尼器內(nèi)高壓腔流至低壓腔流量的變化從而導(dǎo)致阻尼力的變化，α6的改變會(huì)增加零磁場(chǎng)強(qiáng)度時(shí)的輸出阻尼力，α10的增加能使得磁流變液流過的阻尼孔長度變大而增加阻尼力，使磁阻變大導(dǎo)致磁場(chǎng)強(qiáng)度降低，進(jìn)而導(dǎo)致磁流變液的剪切力減小，因而這3個(gè)參數(shù)都能持續(xù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)造成影響，最終沒有趨于穩(wěn)定。而其余參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)影響相對(duì)較小，在采樣時(shí)間末趨于穩(wěn)定。

2.3 一階輸出靈敏度分析

圖4中，一階輸出靈敏度函數(shù)時(shí)程曲線描述了參數(shù)α對(duì)磁流變液阻尼器輸出阻尼力F影響的動(dòng)態(tài)變化過程，為量化參數(shù)α變化對(duì)阻尼力F變化的影響程度，定義兩種靈敏度衡量指標(biāo)。

將磁流變液阻尼器輸出阻尼力的變化量ΔF與參數(shù)變化之前最大阻尼力的百分比，用于衡量各個(gè)參數(shù)變化對(duì)阻尼力F的影響程度。該百分比的表達(dá)式為：

(31)

本研究把該百分比的最大值定義為峰值靈敏度指標(biāo)，用s1表示，其表達(dá)式為：

(32)

(33)

通過定義兩種靈敏度衡量指標(biāo)，可定量分析參數(shù)α的變化對(duì)磁流變液阻尼器輸出阻尼力F的影響程度。

根據(jù)式(31)計(jì)算得出各參數(shù)變化10%時(shí)，采用柱形圖的方式表達(dá)參數(shù)的一階輸出靈敏度的峰值靈敏度指標(biāo)和均值靈敏度指標(biāo)量化結(jié)果，如圖5所示。

圖5 各參數(shù)靈敏度指標(biāo)

從圖5中可以看出：

(1)勵(lì)磁線圈匝數(shù)α3、鐵芯的磁導(dǎo)率α5和外筒和活塞之間的間隙α7所占比例較大，峰值靈敏度指標(biāo)數(shù)值在40%以上，均值靈敏度指標(biāo)數(shù)值皆大于60 N，可以看出這3個(gè)參數(shù)變化10%，可以使阻尼力的變化很大；

(2)鐵芯的磁導(dǎo)率α5的兩項(xiàng)靈敏度指標(biāo)都很大，在設(shè)計(jì)磁流變液阻尼器時(shí)要首先考慮的因素，特別是其峰值靈敏度指標(biāo)數(shù)值很大，說明該參數(shù)可以使得阻尼力變化瞬間變得很大，為避免阻尼力過大損壞磁流變液阻尼器，所以在選用磁芯材料時(shí)應(yīng)該將鐵芯的最大磁導(dǎo)率作為選擇材料的主要依據(jù)。同時(shí)，勵(lì)磁線圈匝數(shù)α3和外筒和活塞之間的間隙α7的兩項(xiàng)靈敏度指標(biāo)都很大，其參數(shù)也是在設(shè)計(jì)磁流變液阻尼器時(shí)需要著重考慮；

(3)由于文章篇幅有限，當(dāng)參數(shù)變化1%和20%時(shí)，參數(shù)變化引起的輸出阻尼力變化趨勢(shì)與參數(shù)變化10%結(jié)論相同。

3 磁流變液輸出阻尼力二階靈敏度

3.1 二階靈敏度函數(shù)推導(dǎo)

由于本文只為求解得出單個(gè)參數(shù)對(duì)阻尼特性的影響權(quán)重，將阻尼力F對(duì)參數(shù)α的二階輸出靈敏度函數(shù)定義為：

(34)

其物理意義為參數(shù)αi的變化對(duì)參數(shù)αi的變化引起的阻尼力F的變化率的變化產(chǎn)生的影響，亦即αi對(duì)?F/?αi產(chǎn)生的影響。

為對(duì)比一階靈敏度的分析結(jié)果，二階輸出靈敏度函數(shù)求解的仿真條件與一階求解時(shí)相同，在Matlab主界面中進(jìn)行編程，基于二階輸出靈敏度特殊表達(dá)式(34)計(jì)算得出靈敏度函數(shù)。對(duì)阻尼力方程(28)中的阻尼力F對(duì)個(gè)參數(shù)α求二階偏導(dǎo)，可得到各參數(shù)的二階輸出靈敏度函數(shù)：

(35)

3.2 二階靈敏度函數(shù)仿真

磁流變液輸出阻尼力二階輸出靈敏度函數(shù)曲線如圖6所示。

從圖6可以看出：除了活塞運(yùn)動(dòng)速度α2、磁流變液表觀粘度系數(shù)α6和活塞的有效長度α10在采樣時(shí)間內(nèi)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)與穩(wěn)態(tài)均產(chǎn)生影響之外，其他7個(gè)參數(shù)在整個(gè)調(diào)整時(shí)間內(nèi)都對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)產(chǎn)生較大影響，在采樣時(shí)間末開始趨向于平穩(wěn)，這與一階輸出靈敏度分析結(jié)果相近。

二階輸出靈敏度分析方法的兩項(xiàng)靈敏度衡量指標(biāo)可表示為：

(36)

(37)

為研究其與一階輸出靈敏度分析方法的異同點(diǎn)，筆者將參數(shù)變化10%，將得到的系統(tǒng)各參數(shù)的兩項(xiàng)靈敏度對(duì)比柱形圖合并，如圖7所示。

圖6 各參數(shù)的輸出靈敏度函數(shù)曲線圖

圖7 參數(shù)變化10%兩項(xiàng)靈敏度指標(biāo)對(duì)比柱形圖

從圖7中可以看出：

(1)勵(lì)磁線圈匝數(shù)α3、鐵芯的磁導(dǎo)率α5和外筒和活塞之間的間隙α7對(duì)阻尼力變化最大值的百分比較大，該結(jié)論與一階輸出靈敏度分析方法所得結(jié)果相吻合；

(2)一階輸出靈敏度的兩項(xiàng)靈敏度衡量指標(biāo)值與參數(shù)變化量成正比關(guān)系，而當(dāng)考慮二階輸出靈敏度時(shí)，兩項(xiàng)靈敏度衡量指標(biāo)值卻與參數(shù)變化量不成成正比關(guān)系，這是泰勒展開式?jīng)Q定的；

(3)兩種靈敏度分析方法根據(jù)兩項(xiàng)靈敏度衡量指標(biāo)，量化所得結(jié)果變化規(guī)律是相似的。二階輸出靈敏度分析方法雖然相比一階輸出靈敏度分析方法精度更高，但是其求解難度大為提高，并且考慮到當(dāng)參數(shù)變化較小時(shí)，兩種靈敏度分析結(jié)果較為相近，所以當(dāng)參數(shù)變化量較小時(shí)可只求解一階輸出靈敏度，得到參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響程度。然而當(dāng)參數(shù)變化量較大時(shí)，必須考慮二階泰勒展開式的影響。因?yàn)橐浑A泰勒展開式能大概分析出各參數(shù)對(duì)阻尼力變化量影響權(quán)重趨勢(shì)，而二階泰勒展開式是對(duì)一階泰勒展開式的補(bǔ)充，使得其分析結(jié)果更為準(zhǔn)確，該結(jié)論與軌跡靈敏度泰勒展開式分析結(jié)論相一致。

4 結(jié)束語

本文以磁流變液為研究對(duì)象，使用一階輸出靈敏度和二階輸出靈敏度兩種靈敏度分析方法，研究了磁流變液的10個(gè)參數(shù)靈敏度，力求為磁流變液的優(yōu)化設(shè)計(jì)及振動(dòng)控制算法的完善提供基礎(chǔ)。

本文以偽靜力模型和Bingham流體模型為基礎(chǔ)建立了磁流變液阻尼力的數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出了一階輸出靈敏度和二階輸出靈敏度的函數(shù)表達(dá)式，對(duì)10個(gè)參數(shù)進(jìn)行了靈敏度仿真分析。當(dāng)參數(shù)變化量相同時(shí)，活塞運(yùn)動(dòng)速度、鐵芯的橫截面積、磁流變液的表觀粘度系數(shù)、活塞軸直徑和活塞的有效長度5個(gè)參數(shù)使得磁流變液阻尼力變化較小，磁流變液阻尼器的控制電流和活塞阻尼環(huán)內(nèi)徑引起阻尼力變化相對(duì)較大，而勵(lì)磁線圈匝數(shù)、鐵芯的磁導(dǎo)率和外筒和活塞之間的間隙引起阻尼力變化很大，設(shè)計(jì)磁流變液阻尼器時(shí)需要著重考慮。

本研究所得到的理論模型和分析方法可為磁流變液阻尼器阻尼力建模、磁流變液阻尼器的設(shè)計(jì)及半主動(dòng)振動(dòng)控制算法的完善提供參考。