仇浩淼 夏唐代何紹衡 陳煒昀

1)(浙江大學,濱海和城市巖土工程研究中心,杭州 3 10058)

2)(浙江大學,軟弱土與環(huán)境土工教育部重點實驗室,杭州 3 10058)

3)(南京工業(yè)大學,巖土工程研究所,南京 2 10009)

研究流體/多孔介質(zhì)界面Scholte波的傳播特性對于水下勘探、地震工程等領(lǐng)域具有重要意義.本文基于Biot理論和等效流體模型,采用勢函數(shù)方法,推導了描述有限厚度流體/準飽和多孔半空間遠場界面波的特征方程和位移、孔壓計算公式.在此基礎(chǔ)上,分別以砂巖和松散沉積土為例,研究了流體/硬多孔介質(zhì)和流體/軟多孔介質(zhì)兩種情況下,可壓縮流體層厚度和多孔介質(zhì)飽和度對偽Scholte波傳播特性的影響.結(jié)果表明:多孔介質(zhì)軟硬程度顯著影響界面波的種類、相速度、位移和水壓力分布;有限厚度流體/飽和多孔半空間界面處偽Scholte波相速度與界面波波長和流體厚度的比值有關(guān);孔隙水中溶解的少量氣體對剪切波的相速度的影響不大,對壓縮波相速度、偽Scholte波相速度和孔隙水壓力分布影響顯著.

1 引 言

近幾十年來,壓縮波和剪切波在流體/固體界面處干涉形成的界面波一直是眾多學者感興趣的課題.與體波相比,界面波具有振幅大、傳播距離遠、損耗小、攜帶流體和固體諸多信息的特點[1],因此,在海(河)底勘探、水聲工程、地震工程等諸多領(lǐng)域具有重要的理論意義和應用價值.夏唐代等[2?4]通過一系列研究詳細探討了流體/固體成層介質(zhì)中界面波的傳播特性.Padilla等[5]從理論和實驗兩方面研究了流體聲速大于固體剪切波速且小于壓縮波速時流/固界面波的特性.張海剛等[6]和祝捍皓等[7]采用分層海底模型,探討了海洋環(huán)境參數(shù)對Scholte波特性的影響.

實際地質(zhì)材料往往含有連通孔隙,而以上的研究中固體介質(zhì)均采用理想彈性模型,這顯然與實際情況存在差異,主要原因有:1)孔隙率、滲透性、迂曲度、流體黏滯系數(shù)等參數(shù)對體波影響顯著,勢必影響界面波的傳播;2)邊界條件允許多孔介質(zhì)中的孔隙水與上覆流體進行交換,而在單相彈性介質(zhì)中則不存在這種效應[8].Biot[9,10]建立了描述流體飽和多孔彈性介質(zhì)的波動方程,發(fā)現(xiàn)除了與理想彈性介質(zhì)類似的P1波和S波外,飽和多孔介質(zhì)中還存在一種慢壓縮波(P2波).之后,Plona[11]通過實驗驗證了P2波的存在.基于Biot理論,韓慶邦等[12]采用勢函數(shù)方法建立了含泥沙流體/多孔介質(zhì)固體界面波特征方程,但是研究中沒有考慮P2波的影響.Feng和Johnson[13]采用勢函數(shù)方法建立了考慮P2波的流體半空間/孔隙介質(zhì)半空間界面波的頻散方程;基于同樣的模型,Allard等[14,15]和van Dalen等[16]采用格林函數(shù)研究了點荷載引起的界面處的瞬時響應.以上研究表明,流體/多孔介質(zhì)界面處可能存在偽Rayleigh波、偽Scholte波(有時亦稱為偽Stoneley波)和無泄漏真界面波三種模式的界面波.其中,偽Scholte波相速度小于流體和孔隙彈性體S波并大于P2波,且攜帶能量大,更易激發(fā)和探測,是流體/飽和多孔介質(zhì)界面最主要的界面波.

當半空間為松散沉積土時剪切波相速度遠小于流體中聲速.此外,由于微生物活動或有機物腐爛等,實際海底沉積物可能含有氣泡,顯著影響低頻時沉積土的P1波速度[17],有時甚至會使沉積土壓縮波相速度低于水中聲速.但現(xiàn)有的流體/多孔介質(zhì)界面波的研究多關(guān)注于流體/孔隙巖石的情況,即流體中的聲速小于孔隙介質(zhì)中的剪切波相速度,對于流體/軟多孔介質(zhì)的情況研究還較少,且以往研究中多采用流體半空間模型,對地震波頻域內(nèi)淺海(河)底勘測有時并不適用.基于以上不足,本文以砂巖和松散沉積土為例,首先比較了多孔介質(zhì)軟硬程度對流體半空間/飽和多孔半空間的界面?zhèn)蜸cholte相速度以及位移和水壓分布的影響,之后研究了有限厚度可壓縮流體/準飽和孔隙半空間界面處偽Scholte波的傳播規(guī)律,討論了波長厚度比和飽和度對相速度和衰減系數(shù)的影響,最后討論了波長等于流體層厚度時,流體和多孔介質(zhì)中的位移和動水壓力的分布模式.

2 模型和理論匯總

如圖1所示,本文將Pekeris模型[7]中半無限彈性介質(zhì)改為準飽和多孔彈性介質(zhì),研究界面?zhèn)蜸cholte波特性,流體的深度設(shè)為H.考慮笛卡爾坐標系二維x-z平面(P-SV系統(tǒng)),z軸豎直向下.

圖1 準飽和度半空間上覆有限厚度流體模型Fig.1. A f i nite thickness f l uid overlying on quasisaturated porous half-space.

理想可壓縮流體的運動方程為[18]

式中Kf和ρf分別為上覆流體的體積模量和密度.W為流體位移矢量,可以用流體位移勢函數(shù)表示:

假定入射波圓頻率為ω,上覆流體的聲速、波數(shù)和動水壓力可以表示為

根據(jù)Biot理論,各向同性流體飽和多孔介質(zhì)本構(gòu)方程可以表示為[9,13]:

式中Kb和vb分別為多孔介質(zhì)骨架體積模量和泊松比;Ks和Kw分別為固體顆粒和孔隙流體的體積模量.

P-SV系統(tǒng)中,骨架和孔隙流體位移可以用壓縮勢函數(shù)和剪切勢函數(shù)表示為

式中,α=s,w.壓縮波和剪切波控制方程為[9,19]:

本文考慮地震波頻率范圍,不考慮頻率修正的有效密度和黏性系數(shù),可以表示為:

式中ρs和ρw分別為固體顆粒和孔隙流體的密度;α∞為迂曲度;η和κw分別為孔隙流體動態(tài)黏質(zhì)和滲透系數(shù).

對于孔隙水中溶解少量氣體的準飽和介質(zhì),如果頻率遠低于沉積物中最大氣泡的共振頻率時,可以將孔隙水和孔隙水中的氣泡等效為一種均勻流體[17].等效流體的體積模量和密度可以表示為[20]:

式中sr為飽和度;ρg為氣體密度;pab為絕對孔隙水壓力,本文取pab=ρfgH,H為上覆流體深度.

3 波函數(shù)和邊界條件

流體和多孔彈性固體中平面波的位移勢函數(shù)可以做如下表示.

式中φf,φs和φw分別為上覆流體層、多孔介質(zhì)中固體骨架和孔隙流體的壓縮勢函數(shù);ψs和ψw分別為固體骨架和孔隙流體的剪切勢函數(shù);Af+,Af?,AP1,AP2和BS為任意振幅系數(shù);i為虛數(shù)符號;δP1,δP2和δS為多孔介質(zhì)中各模式體波引起的孔隙流體和固體骨架位移的振幅比;k為界面波波數(shù),kf,kP1,kP2和kS為各模式體波的波數(shù).多孔彈性體中各模式體波波數(shù)和振幅比參見文獻[19].

當平面波在兩介質(zhì)界面?zhèn)鞑r,必須滿足以下邊界條件:

流體表面(z=?H),

流體和孔隙彈性介質(zhì)界面[13,16](z=0),

將(3)式,(5)式和(9)式代入(11)式,可以得到以下關(guān)于位移勢函數(shù)振幅系數(shù)的關(guān)系:

矩陣[M]中元素見附錄.(13)式有非零解,可得界面波的特征方程

給定頻率,(14)式為復數(shù)域的關(guān)于界面波數(shù)k的超越方程,可以采用數(shù)值迭代法求解波數(shù)k.則界面波的相速度和衰減系數(shù)可以表示為:

式中,?,?分別表示對波數(shù)k取實部和虛部.假定Af+=1,將計算的波數(shù)k代入(13)式可得其余位移勢函數(shù)振幅,略去因子ei(kx?ωt),上覆流體層質(zhì)點位移可以表示為:

界面波引起的上覆流體層動水壓力和多孔介質(zhì)孔隙水壓力為:

除相速度頻散關(guān)系外,如果檢波器可以同時檢測豎向和水平向位移,橢圓度也常被用來反演介質(zhì)參數(shù)[16],界面處質(zhì)點運動軌跡橢圓度定義為:

上覆流體厚度H趨向無窮大時,特征方程退化為

式中[M′]為四階矩陣,其元素見附錄.上覆流體層質(zhì)點位移可以退化為

4 數(shù)值計算與分析

本節(jié)分別以固結(jié)程度較高的砂巖和松散沉積土為例,討論工程中常用的低頻地震波范圍內(nèi),淺流體層/多孔介質(zhì)界面?zhèn)蜸cholte波傳播特性.上覆流體參數(shù)為:ρf=1000 kg/m3,Kf=2.25 GPa.砂巖和松散沉積土參數(shù)取值見表1.

表1 飽和介質(zhì)材料特性參數(shù)Table 1.Material properties of saturated porous media.

4.1 流體和準飽和多孔介質(zhì)中的體波

由(2)式可知,流體聲速與頻率無關(guān),為1500 m/s.圖2給出了H=10 m時多孔介質(zhì)中各模式體波相速度隨頻率的變化曲線.由圖2可知,本文研究頻率范圍內(nèi),P1波和S波相速度對頻率變化不敏感,P2波隨頻率的增大而增大;孔隙水中溶解少量氣體時,S波相速度基本不變,P1波和P2波相速度則迅速減小.在研究的頻率范圍內(nèi),砂巖中各體波相速度和流體聲速關(guān)系為

松散沉積土體波相速度和流體聲速關(guān)系為

圖2 準飽和多孔介質(zhì)中體波相速度-頻率曲線 (a)砂巖;(b)松散沉積土Fig.2.Phase velocity of body waves in quasi-saturated porous media:(a)Sandstone;(b)unconsolidated sediment.

4.2 流體半空間/飽和多孔半空間的界面波

以往流體/飽和多孔介質(zhì)中界面波模型多采用飽和砂巖或者玻璃彈珠等硬多孔介質(zhì),采用(22a)式對應的速度.流體/彈性固體情況下界面波的研究表明,界面波的特性與固體相對上覆流體的軟硬(cf與cS的大小)有關(guān)[2,5,6].為比較流體/飽和多孔介質(zhì)情況下多孔介質(zhì)軟硬的影響,本節(jié)采用流體半空間/飽和多孔半空間模型進行分析,詳細比較了軟、硬多孔介質(zhì)界面波特點及位移分布.

(14)式具有多解性.韓慶邦等[1]采用固/固界面模型,基于黎曼分析,探討了特征方程求根問題,給出了各界面波的求根區(qū)間.采用同樣的思路,本文中流體/飽和多孔模型的界面波相速度的求根區(qū)間如下.

真界面波cT,cT

偽Scholte波cSch,cSch>cP2&cSch

偽Rayleigh波cR,cSch

表2給出了頻率f=100 Hz時流體半空間/飽和多孔半空間界面?zhèn)蜸cholte波和偽Rayleigh波的相速度與多孔介質(zhì)剪切波相速度的比值cSch/cS,cR/cS,作為對照,表中列出了飽和多孔介質(zhì)在自由透水邊界的偽Rayleigh波的波速比cR0/cS.在本文參數(shù)取值時,也未發(fā)現(xiàn)流/飽和多孔介質(zhì)界面?zhèn)蜶ayleigh波的存在.

表2 流體半空間/飽和多孔半空間的界面波波速比Table 2.Wave velocity ratio at the f l uid/saturated porous-medium interface.

圖3 偽Scholte波位移分布曲線 (a)砂巖;(b)松散沉積土Fig.3.Displacement distribution of pseudo-Scholte wave:(a)Sandstone;(b)unconsolidated sediment.

圖3 給出了頻率f=100 Hz時,偽Scholte波引起的界面附近的位移分布.深度通過界面波波長無量綱化,位移通過界面處多孔彈性體豎向位移無量綱化.由圖3可知,與流/固界面處的Scholte波引起的位移分布類似,在流體和多孔彈性體界面處水平位移最大且不連續(xù);由于流體交換,豎向位移不連續(xù),但在低頻時近似相等,多孔介質(zhì)豎向位移最大點出現(xiàn)在界面處或者界面以下.砂巖模型中,|Ew|=2.46,|ES|=0.47,表明界面處流體的水平位移遠大于豎向位移,多孔骨架水平位移小于豎向位移.松散沉積土模型中,|Ew|=1.02,|ES|=0.38,表明流體水平位移分布和豎向位移分布幾乎相同,多孔骨架水平位移小于豎向位移.兩種模型中,流體和骨架中水平和豎向位移相位差均約為π/2,這表明流體質(zhì)點和多孔骨架在界面處的運動軌跡均為順時針橢圓.流體中波衰減的快慢程度受孔隙介質(zhì)軟硬程度的影響,硬多孔介質(zhì)模型中有效傳播深度(幅度大于表面幅度的1/e)可以達到1倍波長,松散沉積土中僅為1/2波長.硬孔隙介質(zhì)中界面波的傳播深度小于軟孔隙介質(zhì),有效傳播深度均小于1倍波長,近界面處水平位移存在零點,此后,質(zhì)點運動軌跡由順時針橢圓變?yōu)槟鏁r針橢圓.

圖4給出了頻率f=100 Hz時,偽Scholte波引起的流體中動水壓力和孔隙介質(zhì)中的孔隙水壓力.深度通過界面波波長無量綱化,動水壓力通過界面處多孔彈性體孔隙水壓力無量綱化.由圖4可知,流體動水壓力與多孔彈性介質(zhì)孔隙水壓力在界面處連續(xù).孔隙水壓力隨深度衰減較快,有效傳播深度約為0.5倍波長.流體動水壓力的衰減受多孔彈性介質(zhì)軟硬程度的影響,在砂巖等硬模型中,流體動水壓力有效傳播深度可以達到1倍波長;在松散沉積土模型中,有效傳播深度僅為0.5倍波長.砂巖等硬模型中孔隙水壓力最大值出現(xiàn)在界面處,而松散沉積土模型中,最大孔隙水壓力出現(xiàn)在界面以下很淺的位置,這與Rayleigh波類似.

圖4 偽Scholte波水壓力分布曲線 (a)砂巖;(b)松散沉積土Fig.4.Pressure distribution of pseudo-Scholte wave:(a)Sandstone;(b)unconsolidated sediment.

4.3 有限厚度流體/飽和多孔半空間的界面波

由4.2節(jié)介紹可知,界面波的傳播深度有限,為了保證勘探的深度和精度,現(xiàn)場原位勘測時多采用地震波頻段(1—100 Hz),而不是大部分理論和室內(nèi)實驗研究中[5,11,13]采用的超聲波頻段,此時大部分河底或淺海不能視為半無限大介質(zhì),孔隙水中少量氣體大幅度降低孔隙流體的體積模量.本節(jié)采用有限厚度模型,討論流體層厚度和孔隙水中溶解少量氣體時對界面波的影響.

圖5給出了偽Scholte波相速度與多孔介質(zhì)剪切波相速度比值與歸一化波長的關(guān)系曲線.歸一化波長采用對數(shù)坐標.由圖5可知,頻率較高時界面波波長λ/H 較小,飽和多孔介質(zhì)波速比接近于表2中流體半空間/飽和多孔半空間界面處偽Scholte波的波速比,隨著頻率減小,界面波波長λ/H增大,流體厚度相對于波長可以忽略不計時,波速比趨向于表2中自由透水界面的偽Rayleigh波的波速比.與飽和多孔介質(zhì)相比,孔隙水中溶解有少量氣體時,波速比減小,減小程度受頻率影響,在松散沉積土中飽和度影響更顯著.另外值得注意的是,在砂巖等硬多孔介質(zhì)中,波長的增大會導致界面波相速度大于流體聲速的現(xiàn)象,這與基于半空間理論推導的偽Scholte波相速度求根區(qū)間不符,為便于討論,本文仍稱之為偽Scholte波.

圖6中給出了偽Scholte波衰減系數(shù)與頻率的關(guān)系曲線.值得注意的是,圖6(a)中sr=1.00時衰減系數(shù)遠小于sr=0.99時,即飽和砂巖模型中界面波的衰減系數(shù)遠小于含氣砂巖界面波的衰減系數(shù).由圖6可知,砂巖中界面波的衰減遠小于松散沉積土.孔隙水中溶解有少量氣體時,衰減系數(shù)會隨著頻率迅速增大.

圖5 偽Scholte的彌散曲線 (a)砂巖;(b)松散沉積土Fig.5.Frequency dispersion curve of pseudo-Scholte wave:(a)Sandstone;(b)unconsolidated sediment.

圖6 偽Scholte衰減特性曲線 (a)砂巖;(b)松散沉積土Fig.6.Attenuation curve of pseudo-Scholte wave:(a)Sandstone;(b)unconsolidated sediment.

圖7 為λ/H=1時流體和多孔介質(zhì)骨架的位移分布.圖8為流體動水壓力和孔隙水壓力分布曲線.由圖7和圖8可以看出,水平面處動水壓力為零,但位移可以不為零.砂巖模型中,|ES|=0.46(sr=1.00),|ES|=0.52(sr=0.99);松散沉積土模型中,|ES|=0.37(sr=1.00),|ES|=0.48(sr=0.99).這表明相比于流體半空間/飽和多孔半空間,當流體層厚度有限時,多孔介質(zhì)界面處橢圓度略微減小;孔隙水中溶解有少量氣體時,界面處的橢圓度則增大;氣體的存在對硬多孔介質(zhì)骨架位移分布影響不大,對軟多孔介質(zhì)骨架位移影響較大,會減小豎向位移,增大水平位移;氣體的存在對多孔介質(zhì)孔隙水壓力影響顯著,界面波引起的含氣多孔介質(zhì)的孔隙水壓力僅在界面附近存在,以滿足界面處孔壓連續(xù)的條件,之后迅速減小為零,即隨著孔隙流體體積模量的減小,應力將更多的由固體骨架承擔.

圖7 有限厚度流體/多孔介質(zhì)界面?zhèn)蜸cholte波位移分布曲線 (a)砂巖;(b)松散沉積土Fig.7.Displacement distribution of pseudo-Scholte wave at f i nite thickness f l uid/porous media interface:(a)Sandstone;(b)unconsolidated sediment.

圖8 有限厚度流體/多孔介質(zhì)界面?zhèn)蜸cholte波水壓分布曲線 (a)砂巖;(b)松散沉積土Fig.8.Pressure distribution of pseudo-Scholte wave at f i nite thickness f l uid/porous media interface:(a)Sandstone;(b)unconsolidated sediment.

5 結(jié) 論

針對流體/飽和多孔介質(zhì)中界面波模型大多只考慮砂巖或者玻璃彈珠等硬多孔介質(zhì)的問題,詳細比較了軟硬多孔介質(zhì)界面波特點及位移分布;針對原位測試時,淺海(河)不能視為半無限大空間的問題,建立有限厚度流體/孔隙介質(zhì)界面波模型;針對多孔介質(zhì)中有機質(zhì)的分解使孔隙水中含有少量的氣泡,從而顯著降低壓縮波相速度的現(xiàn)象,采用流體等效模型,比較了氣體對界面波的影響,主要結(jié)論如下.

1)與流體半空間/硬多孔介質(zhì)半空間界面不同,在流體/軟多孔介質(zhì)情況時,流體水平位移和豎向位移基本相等,且衰減較快;軟多孔介質(zhì)時,孔隙水壓力最大點在界面以下.

2)界面波波長λ遠大于上覆流體深度H時,可不考慮流體的影響,用飽和多孔介質(zhì)在自由界面Rayleigh波相關(guān)理論研究界面波相速度;上覆流體深度H遠大于界面波波長λ時,可將流體層視為半空間.

3)孔隙水中溶解的少量氣體對剪切波相速度影響很小,但會降低壓縮波和界面波相速度.氣體的存在會增大界面處孔隙介質(zhì)的橢圓度,但對硬多孔介質(zhì)模型影響較小,對軟多孔介質(zhì)模型影響較大.氣體的存在對孔隙水壓力分布影響很大.

附錄