龔 暉，萬安華

（中山大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510275）

數(shù)學(xué)之樹，經(jīng)過數(shù)千年的不斷成長(zhǎng)，如今已枝繁葉茂、花團(tuán)錦簇。奧妙無窮的數(shù)學(xué)理論、浩如煙海的數(shù)學(xué)書籍、神秘傳奇的數(shù)學(xué)人物，衍生了多樣的數(shù)學(xué)文化作品，比如數(shù)學(xué)影視作品。如今越來越多的具有數(shù)學(xué)專業(yè)性的紀(jì)錄片和電影被拍攝出來，它們不僅展現(xiàn)了數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家們更加真實(shí)的面貌，也提供給了觀眾一條更有趣的了解數(shù)學(xué)的途徑。

近五年涌現(xiàn)了很多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)影視作品，比如傳記電影《知無涯者》講述了印度傳奇數(shù)學(xué)家拉馬努金如璀璨流星的一生；傳記電影《模仿游戲》聚焦于圖靈在布萊切利園解密“英格瑪”協(xié)助盟軍獲得二戰(zhàn)勝利的故事；紀(jì)錄片《大海撈針：張益唐與孿生素?cái)?shù)猜想》介紹了當(dāng)代華人數(shù)學(xué)家張益唐在孿生素?cái)?shù)研究方面取得的突破性進(jìn)展。這三位數(shù)學(xué)家已廣為人知，不再贅述。

本文選取了近五年出現(xiàn)的四部?jī)?yōu)秀數(shù)學(xué)理論紀(jì)錄片，并對(duì)影片中的數(shù)學(xué)理論做了一些深入的挖掘，旨在給非數(shù)學(xué)專業(yè)的觀影者一些專業(yè)的數(shù)學(xué)指導(dǎo)和給數(shù)學(xué)專業(yè)的人一些觀影建議。

1 數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)理論的魅力

1.1 《邏輯的樂趣》中的數(shù)學(xué)

1.1.1 邏輯的發(fā)展史

1.1.1.1 亞里士多德與三段論

邏輯的歷史可以追溯到2500年前的古希臘時(shí)期，亞里士多德創(chuàng)造了第一個(gè)正式的邏輯規(guī)則——三段論。

1.1.1.2 道奇森與批判思維

19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家查爾斯·道奇森改變了只有哲學(xué)家鉆研邏輯的現(xiàn)狀，他為邏輯游戲和數(shù)理邏輯著書，是普及邏輯推理和批判思維的第一人。

1.1.1.3 布爾代數(shù)和布爾邏輯

1847年，喬治·布爾出版了關(guān)于邏輯的里程碑式的專著《邏輯的數(shù)學(xué)分析》，這本書搭起了邏輯與代數(shù)之間的橋梁。1854年，更為完善的邏輯書籍《思維的規(guī)則》被出版，布爾在書中創(chuàng)立了布爾代數(shù)和布爾邏輯，這本書也因此成為了他最著名的著作。

1.1.1.4 弗雷格與新邏輯量詞

德國數(shù)學(xué)家戈特洛布·弗雷格證明了邏輯能夠勝任對(duì)確定性的研究。19世紀(jì)末，他提出了新邏輯量詞，打開了邏輯學(xué)的新篇章。

1.1.1.5 羅素與悖論

英國哲學(xué)家伯特蘭·羅素花了9年時(shí)間寫出了具有里程碑意義的《Principia Mathematica》，在書中，他提出了關(guān)于集合的著名悖論，并論證了他的論點(diǎn)：數(shù)學(xué)和邏輯是一致的。

1.1.1.6 哥德爾與數(shù)學(xué)邏輯系統(tǒng)的有限性

哥德爾通過研究羅素的著作得出結(jié)論：任何邏輯系統(tǒng)不是非矛盾的就是完整的，但它不能同時(shí)具備兩種屬性。他發(fā)現(xiàn)了羅素著作中的矛盾，那就是不完全性，并證明了所有數(shù)學(xué)邏輯系統(tǒng)都是有局限的。

1.1.1.7 圖靈與邏輯的實(shí)用性

圖靈提出了“圖靈機(jī)”和“有些問題是不可計(jì)算的”的觀點(diǎn)，無意間開啟了一個(gè)全新的更注重實(shí)踐的邏輯革命，成功地把邏輯與現(xiàn)代世界連接了起來。

1.1.2 邏輯的潛能

邏輯在數(shù)學(xué)理論上的發(fā)展似乎已到盡頭，但卻成為了計(jì)算機(jī)的根基，在所有工程科學(xué)中獲得了意義重大的成就；邏輯不僅掀起了數(shù)字革命，也是我們用來分類、檢索、獲取網(wǎng)絡(luò)信息的工具，幾乎所有復(fù)雜的系統(tǒng)都會(huì)用到它；邏輯推理能力也是人工智能機(jī)器應(yīng)該具備的基礎(chǔ)和重要的能力。

1.2 《現(xiàn)代生活的秘密規(guī)則：算法》中的算法

1.2.1 最大公約數(shù)算法

已知的最古老的算法，是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得提出的求最大公約數(shù)的算法——?dú)W幾里得算法，拓展歐幾里得算法則在公鑰密碼學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。

1.2.2 排序算法

除了冒泡排序算法和歸并排序算法這兩種經(jīng)典算法之外，世界上還有20多種排序算法，比如選擇排序、插入排序、希爾排序、快速排序、堆排序等。它們有不同的時(shí)間復(fù)雜度、空間復(fù)雜度和穩(wěn)定性，各有優(yōu)缺點(diǎn)。

1.2.3 網(wǎng)頁排名算法

網(wǎng)頁排名算法的思想在于一個(gè)頁面的重要性取決于鏈接過來的其他頁面的重要性；此算法還適用于其他領(lǐng)域的圖形或者網(wǎng)絡(luò)，它現(xiàn)在常用于文獻(xiàn)計(jì)量學(xué)、社會(huì)和信息網(wǎng)絡(luò)分析以及量化研究者的科學(xué)影響。

1.2.4 人臉識(shí)別算法

人臉識(shí)別算法在日常生活中被廣泛應(yīng)用，比如拍照時(shí)的面部識(shí)別、監(jiān)控布控公共場(chǎng)所、公安照片搜索系統(tǒng)、門禁出入、身份識(shí)別等等。該算法還需要攻克光照、姿態(tài)、遮擋、年齡、樣本缺乏、海量數(shù)據(jù)等難題，有很大的進(jìn)步空間。

1.2.5 延遲接受算法

1962年，美國數(shù)學(xué)家David Gale和Lloyd Shapley發(fā)明了一種可以得到穩(wěn)定匹配方案的策略，人們稱之為蓋爾-沙普利算法，也稱為延遲接受算法。該算法應(yīng)用非常廣泛，比如網(wǎng)站交友匹配、解決擇校問題、醫(yī)學(xué)問題等等；改進(jìn)的蓋爾-沙普利算法還被應(yīng)用到價(jià)格起作用的市場(chǎng)中，比如拍賣。

1.2.6 啟發(fā)式算法

面對(duì)像旅行推銷員這類難題時(shí)，人們雖然還沒能找到有效的算法得到最優(yōu)解，但能夠通過啟發(fā)式算法找到盡可能接近最優(yōu)解的解決方案。啟發(fā)式算法以仿自然體算法為主，主要有仿動(dòng)物，比如蟻群算法；仿植物，比如模擬植物生長(zhǎng)算法；仿人類，比如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；其他，比如模擬退火法。

1.2.7 機(jī)器學(xué)習(xí)

機(jī)器學(xué)習(xí)是一門多領(lǐng)域交叉學(xué)科，是人工智能的核心。它有著非常廣泛的應(yīng)用，比如數(shù)據(jù)挖掘、計(jì)算機(jī)視覺、搜索引擎、圖像識(shí)別、語音和手寫識(shí)別等。

1.3 《CHAOS》中的理論淺析

1.3.1 混沌

混沌，是指確定性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)因?qū)Τ踔禈O度敏感而表現(xiàn)出的不可預(yù)測(cè)的、類似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)?；煦绗F(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)生活中無處不在，具有不確定、不可重復(fù)和不可預(yù)測(cè)的特性。

1.3.2 混沌性

1.3.2.1 洛倫茲吸引子

美國氣象學(xué)家洛倫茲發(fā)現(xiàn)混沌存在于自己提出的大氣模型中，但也發(fā)現(xiàn)這些隨機(jī)軌線最終會(huì)穩(wěn)定到形如蝴蝶翅膀的奇異吸引子上。這個(gè)奇異吸引子被發(fā)現(xiàn)，意味著混沌具有某種有序性。

1.3.2.2 馬蹄鐵

斯梅爾提出了抽象的馬蹄鐵，蹄鐵中的軌跡對(duì)于初始條件高度敏感，但蹄鐵的整體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定?；煦缧裕磫蝹€(gè)軌跡的不穩(wěn)定性和整體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，兩者并存。

1.3.2.3 紙條模型

柏曼、古根海墨和和威廉斯提出了簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型——紙條模型，來理解洛倫茨吸引子內(nèi)部的動(dòng)力系統(tǒng)如何運(yùn)作；其后，數(shù)學(xué)家塔克則給出了關(guān)于兩者有關(guān)聯(lián)的嚴(yán)謹(jǐn)證明。

1.3.2.4 洛倫茲理論

除了蝴蝶效應(yīng)，洛倫茲還提出，微小的變化不會(huì)改變天氣事件發(fā)生的概率，只能改變這些事件所發(fā)生的順序?？茖W(xué)家們猜測(cè)天氣氣象的混沌和統(tǒng)計(jì)數(shù)值的穩(wěn)定性兩種現(xiàn)象共存。因此，人們不再嘗試預(yù)測(cè)未來某一天的準(zhǔn)確的大氣狀態(tài)，轉(zhuǎn)而尋找某種概率，因?yàn)楸热缙骄?、概率等統(tǒng)計(jì)數(shù)值可能不敏感于初始條件。

1.3.2.5 混沌理論的應(yīng)用

混沌理論，尤其是蝴蝶效應(yīng)，通常用于天氣、股票市場(chǎng)等在一定時(shí)段難以預(yù)測(cè)的比較復(fù)雜的系統(tǒng)中；混沌理論在經(jīng)濟(jì)學(xué)、語音研究領(lǐng)域也開始被應(yīng)用；近幾年來，英、日等國科學(xué)家還在開發(fā)用混沌信號(hào)隱藏機(jī)密信息的信號(hào)傳輸方法。

1.4 《數(shù)學(xué)大迷思》中的數(shù)學(xué)哲思

1.4.1 自然中的數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)與自然之間存在著深刻又神秘難懂的聯(lián)系，比如，斐波拉契數(shù)列常常出現(xiàn)在植物里；常數(shù)π出現(xiàn)在任何有波紋的模型中；分子中的原子比和行星公轉(zhuǎn)自轉(zhuǎn)比都對(duì)應(yīng)著簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)比率等。數(shù)學(xué)似乎在自然界中無處不在，真實(shí)存在的事物本身就有數(shù)學(xué)特質(zhì)嗎？

1.4.2 抽象思維中的數(shù)學(xué)

伽利略從自由落體運(yùn)動(dòng)中得到了數(shù)學(xué)規(guī)律；牛頓得到了存在于星球間相互關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)定律——萬有引力定律……科學(xué)家們建立了數(shù)學(xué)公式，成功地描述和解釋了很多現(xiàn)象，很像是人們自己組建了理解世界的語言——數(shù)學(xué)。因此，數(shù)學(xué)來自于人類的大腦嗎？

1.4.3 數(shù)學(xué)的正確性

數(shù)學(xué)的正確性保證了數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。約200年前，人們利用數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)發(fā)現(xiàn)了海王星；麥克斯韋建立的電磁理論預(yù)測(cè)了電磁波的存在；上帝粒子也被預(yù)測(cè)存在。數(shù)學(xué)在揭示宇宙奧秘時(shí)有著不可思議的精確性，那么數(shù)學(xué)理論是毋庸置疑地正確嗎？

1.4.4 數(shù)學(xué)的局限性

數(shù)學(xué)模型在物理領(lǐng)域已是大放異彩，但在其他領(lǐng)域，比如天氣預(yù)測(cè)、大腦中神經(jīng)元互動(dòng)的方式、心理學(xué)的很大一部分、生物學(xué)的很多問題等，還包括像生物學(xué)系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)學(xué)系統(tǒng)這些復(fù)雜的動(dòng)力系統(tǒng)，都很難對(duì)其建立精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)模型。

1.4.5 數(shù)學(xué)的近似用法

在現(xiàn)實(shí)世界里，精確數(shù)學(xué)往往要讓步于近似數(shù)學(xué)。因?yàn)槿藗儗?duì)實(shí)用的部分更感興趣，所以，會(huì)稍微犧牲數(shù)學(xué)的精確性，采用取巧的簡(jiǎn)潔方法——作近似，忽略掉一些項(xiàng)從而使方程更簡(jiǎn)單。工程師們往往要犧牲一部分?jǐn)?shù)學(xué)的精確性，以便使得數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中更加好用，使得數(shù)學(xué)像是我們自己制造的一個(gè)不完美的工具。數(shù)學(xué)到底是被發(fā)現(xiàn)還是被發(fā)明，至今沒有明確的答案。

2 結(jié)論

本文側(cè)重于補(bǔ)全和理清影視作品中關(guān)于數(shù)學(xué)理論的內(nèi)容，揭示了紀(jì)錄片中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)和介紹了數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用，比如梳理了邏輯發(fā)展的歷史和應(yīng)用、現(xiàn)代生活中最常用的算法、對(duì)混沌理論做出了淺顯的解釋等。將數(shù)學(xué)影視資源適當(dāng)、有效地融入到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和教學(xué)中，對(duì)于提高學(xué)習(xí)興趣和推進(jìn)教學(xué)效果來說都是一個(gè)有意義的舉措。