江蘇省阜寧縣實(shí)驗(yàn)初級中學(xué) 陶其法

為了面向所有的學(xué)生，幫助他們提升抽象思維的能力，教師要建立一套由淺入深的提升抽象思維能力的策略，并且在實(shí)施這套策略時，尊重學(xué)生的思維層次，允許他們依照自己的抽象思維發(fā)展規(guī)律來逐漸提高思維水平。

一、創(chuàng)造良好的學(xué)習(xí)情境，通過對照法讓學(xué)生學(xué)會抽象數(shù)學(xué)事物

在開展抽象數(shù)學(xué)思維教學(xué)時，教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會在具體的情境中抽取抽象化的數(shù)學(xué)特征，學(xué)生只有具備這樣的能力，才能夠應(yīng)用抽象思維來看待事物。為了讓學(xué)生具備這樣的能力，教師可以應(yīng)用以下的方法開展教學(xué)。

第一，教師要為學(xué)生創(chuàng)造一個具象化的環(huán)境，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)情境中的數(shù)學(xué)問題。教師可以應(yīng)用多媒體技術(shù)、數(shù)學(xué)活動、數(shù)學(xué)實(shí)踐、數(shù)學(xué)故事來為學(xué)生創(chuàng)造學(xué)習(xí)情境。比如，教師可以給學(xué)生講故事：少數(shù)民族的姑娘是聰慧可愛、熱情奔放的，她們喜歡唱歌跳舞。有一次，有一名男子看到一群姑娘在唱歌，又有一群姑娘在跳舞，男子問：在唱歌的姑娘有多少？在跳舞的姑娘又有多少?。窟@時，有一名姑娘回答：唱歌的姑娘如果有一名去跳舞，唱歌和跳舞的姑娘就一樣多了；如果跳舞的姑娘有一名去唱歌，那么跳舞的姑娘人數(shù)就是所有姑娘人數(shù)的小伙子，你知道唱歌的姑娘有多少，在跳舞的姑娘又有多少嗎？教師給學(xué)生講的姑娘既貼近學(xué)生的生活，又富有民族風(fēng)情，學(xué)生會很愿意探索這個姑娘中的數(shù)學(xué)問題。

第二，教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)情境中的數(shù)學(xué)問題，然后將數(shù)學(xué)情境中的數(shù)學(xué)問題抽象化。比如，當(dāng)學(xué)生開始思考這個數(shù)學(xué)問題以后，教師可引導(dǎo)學(xué)生思考，學(xué)生能不能應(yīng)用學(xué)過的知識來描述數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系呢？經(jīng)過思考，學(xué)生覺得不能應(yīng)用具體的數(shù)字來描述數(shù)學(xué)情境中的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合學(xué)過的知識，學(xué)生決定應(yīng)用設(shè)元的方法來描述數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系。學(xué)生設(shè)唱歌的姑娘為x人，跳舞的姑娘為y人。根據(jù)以上數(shù)學(xué)問題的描述，可建立x-1=y+1……①；1……②這兩個數(shù)量關(guān)系。

第三，教師要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來分析數(shù)學(xué)問題的特征，建立數(shù)學(xué)概念。教師可引導(dǎo)學(xué)生思考，剛才學(xué)生建立的兩個數(shù)量關(guān)系式，是什么樣的數(shù)量關(guān)系式呢？經(jīng)過分析，學(xué)生認(rèn)為自己建立的關(guān)系式是兩個方程式。結(jié)合學(xué)習(xí)過的一元一次方程式的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生開始分析剛才建立的方程式。學(xué)生認(rèn)為這兩個方程式的特征為包含兩個未知元，并且冪數(shù)只有一次，于是，剛才建立的是二元一次方程式。

二、幫助學(xué)生分析數(shù)學(xué)公式，了解抽象數(shù)學(xué)問題建立的邏輯

當(dāng)學(xué)生能夠建立抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系式后，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會應(yīng)用邏輯的思維分析數(shù)學(xué)關(guān)系式，教師要引導(dǎo)學(xué)生：幫助學(xué)生應(yīng)用真值表的思維來分析問題的邏輯、應(yīng)用流程化的思維來理解數(shù)學(xué)問題的邏輯。教師只有開展這樣的訓(xùn)練，才能幫助學(xué)生應(yīng)用抽象化的思維來看待數(shù)學(xué)公式。

第一，教師要引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用邏輯的思維來分析數(shù)學(xué)公式中數(shù)學(xué)關(guān)系成立的因素。比如當(dāng)學(xué)生建立了②這兩個數(shù)量關(guān)系以后，教師可引導(dǎo)學(xué)生思考：現(xiàn)在以①來分析。假如既不知道x的數(shù)值，也不知道y的數(shù)值，那么可不可以解出①的結(jié)果呢？學(xué)生表示不能。教師又引導(dǎo)學(xué)生分析，如果知道了x的值，可不可以知道y的值呢？學(xué)生表示可以。同理，學(xué)生認(rèn)為只要知道了y的值就能知道x的值。解二元一次方程組，就是為了既了解x的值，又了解y的值。通過這一次的學(xué)習(xí)，學(xué)生意識到了在分析問題的時候，要學(xué)會分析數(shù)學(xué)問題的邏輯，即學(xué)生要了解一個數(shù)學(xué)問題的因素及數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)，學(xué)生要通過分析問題的因素、因素與因素的關(guān)系，來了解它們對數(shù)學(xué)問題結(jié)果的影響。

第二，教師要引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用邏輯的思維來分析數(shù)學(xué)問題中因素和結(jié)果之間的關(guān)系。比如，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考，如果只分析①或②，都是不能獲得二元一次方程的答案的。然而應(yīng)用解方程的原理，現(xiàn)在假設(shè)把①中的一個未知元當(dāng)作一個數(shù)來處理，建立x與y的數(shù)學(xué)聯(lián)系呢？比如現(xiàn)在整理①，可知x=y+2③。這樣，x與y之間就存在關(guān)聯(lián)了。這時再將③代入②中去，②的關(guān)系式就變成了[(y+2)-1]=y+1④，這樣②就變成了一元一次方程④，此時可應(yīng)用解一元一次方程的方法來解出y，得到y(tǒng)=5，x=7。經(jīng)過這一次的學(xué)習(xí)，學(xué)生意識到了如果把因素當(dāng)作已知條件，把結(jié)果當(dāng)作未知條件，那么可以通過分析已知條件來推知答案，或者通過更改已知條件來改變答案；反過來，可以通過答案來判斷已知條件以及推斷已知條件的關(guān)系是否成立。

第三，教師要引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用流程的方法來描述判斷已知條件和未知答案的方法，建立一個邏輯判斷的規(guī)律。比如教師可引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合剛才解二元一次方程組的體驗(yàn)來抽象解方程組的規(guī)律，學(xué)生經(jīng)過分析，獲得了應(yīng)用代入法解方程組的規(guī)律：建立方程①中一個變量與另一個變量的關(guān)系，使一個變量能被另一個變量的數(shù)學(xué)關(guān)系來代替，這樣可將方程①變形為③；將方程③代入方程②中，得到一個一元一次方程④；解一元一次方程④，求出一個未知數(shù)的值；把求得的未知數(shù)的值代入方程③，求出另一個未知數(shù)的值；驗(yàn)證解出的值是不是正確的。

三、應(yīng)用經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生了解各種數(shù)學(xué)思想應(yīng)用的機(jī)理

在學(xué)生具備了應(yīng)用抽象化看待數(shù)學(xué)問題及特征、建立數(shù)學(xué)概念和規(guī)則、能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的邏輯分析命題與解題模型這樣的思維以后，教師要引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用方法，使學(xué)生能用抽象思維來理解數(shù)學(xué)問題的機(jī)理。

現(xiàn)以教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)這一個問題為例，已知x-3y+7z=0，x-2y+4z=0（xyz≠0）。請分析x∶y∶z為何。如果學(xué)生不了解數(shù)學(xué)問題的機(jī)理，會出現(xiàn)解題障礙，學(xué)生會認(rèn)為解三元一次方程式，不是應(yīng)當(dāng)建立三個方程嗎？現(xiàn)在只有兩個方程，怎么能解三元一次方程組呢？教師要引導(dǎo)學(xué)生思考，該題的解題目標(biāo)是分析x∶y∶z的比例，而不是解析出x，y，z的數(shù)值?，F(xiàn)在學(xué)生可以應(yīng)用解二元一次方程組的邏輯來分析建立x∶y∶z比值的數(shù)學(xué)關(guān)系。通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生解出了數(shù)學(xué)問題的結(jié)果：x-3y+7z=0①，x-2y+4z=0 ②，由②-①得y-3z=0，從而得知y=3z；把y=3z代入②，解得x=2z；于是可知x∶y∶z=2∶3∶1。這時教師可引導(dǎo)學(xué)生了解，像這樣看一個問題的整體，而不看問題的局限，通過分析數(shù)學(xué)問題的整體數(shù)學(xué)關(guān)系的解題思想，就是整體思想。學(xué)生過去學(xué)過的解二元一次方程式的思想，實(shí)際上就是應(yīng)用了整體思想。學(xué)生以后在解決問題時，不能只是掌握解二元一次方程組的技能，而要能夠應(yīng)用整體思想來看數(shù)學(xué)問題。