劉付超，魏鵬飛，周長聰，張政，岳珠峰

西北工業(yè)大學 力學與土木建筑學院，西安 710129

運動機構是設計用來實現(xiàn)預定運動輸出，進而實現(xiàn)特定功能的機械裝置，在航空領域中有普遍的應用。其中，平面機構各構件之間必須通過連接以實現(xiàn)運動傳遞。不可避免的是，伴隨著桿件連接處的不斷磨損或腐蝕，構件連接間隙不斷擴大，此外，桿件在加工過程中也會出現(xiàn)尺寸誤差，種種因素導致機構實際運動輸出與理想運動輸出并不完全切合，即會產(chǎn)生一定程度的運動誤差。研究運動誤差是否始終不超過誤差極限的問題即稱為“動態(tài)可靠性分析”[1]。其中包含兩大方面，一是在區(qū)間內(nèi)各點或整個區(qū)間段上對運動機構的可靠性進行分析；其次是確定影響機構運動失效的誤差來源，即靈敏度分析。對于區(qū)間內(nèi)各點的可靠性分析，目前已經(jīng)發(fā)展出許多成熟的算法，例如一階可靠性方法[2-3]、二階可靠性方法[4]、重要性抽樣方法[5]、線性抽樣方法[6]，都可以解決類似問題。對于整個區(qū)間的時變可靠性分析，Rice首先提出了首超法[7],并取得了廣泛的應用[8-11];其次，杜小平通過對誤差函數(shù)的一階近似估計和包絡函數(shù)法，發(fā)展出一種數(shù)值近似方法[12],使得計算精度大大提高。其他時變可靠性分析方法還包括密度函數(shù)演變法[13]、最大熵法[14]，等等。

可靠性靈敏度分析包括局部靈敏度分析和全局靈敏度分析。局部靈敏度分析為失效概率對隨機輸入變量分布參數(shù)的偏導數(shù)，意為隨機輸入變量分布參數(shù)的波動對于失效概率的影響程度。對于靜態(tài)結構，文獻[15-17]已有成熟的局部靈敏度計算方法；對于運動機構，一點處的局部靈敏度分析已經(jīng)實現(xiàn)[18]，更進一步，魏鵬飛等完成了全區(qū)間段內(nèi)局部靈敏度分析[19]。與之相對應，全局靈敏度分析旨在確定任意隨機輸入變量對于輸出結果不確定性的影響[20-23]。經(jīng)過不斷的發(fā)展，許多成熟的全局靈敏度分析方法得到了實現(xiàn)，例如基于方差的全局靈敏度分析方法[24]，矩獨立全局靈敏度分析方法[25-26]，以及基于抽樣的全局靈敏度分析方法[27]等等。

就目前所知，當前還沒有對含旋轉(zhuǎn)鉸間隙平面運動機構進行全局靈敏度分析的研究工作。然而旋轉(zhuǎn)鉸間隙幾乎存在于所有運動機構，并且對機構的運動精度產(chǎn)生不可忽視的影響。對含旋轉(zhuǎn)鉸間隙平面運動機構進行全局靈敏度分析，可以有效地提高機構可靠性，具有重要的研究意義和應用價值。本文首先明確該種運動機構的全局靈敏度指標定義，其次結合相關運動機構模型，構造其運動誤差的包絡函數(shù)，在此基礎上建立含旋轉(zhuǎn)鉸間隙平面運動機構的全局靈敏度計算方法。最后，通過兩個具體算例驗證所提方法的有效性和可行性。

1 全局靈敏度指標定義

假定運動機構誤差函數(shù)為g(X,θ)，X=(X1,X2,…,Xn)為機構參數(shù)輸入變量，θ為時間因素輸入變量,誤差極限為ε。則運動機構安全域定義為

S=X:g(X,θ)≤ε

(1)

定義安全域S指示函數(shù)為

(2)

對于指示函數(shù)IS的方差可分解為[21]

∑i≠j≠kVijk+…+V1,2,…,n

(3)

從中分離出主方差貢獻Vi，二階方差貢獻Vij，以及總方差貢獻VTi。

主方差貢獻定義為

Vi=V(IS)-EV(ISXi)

(4)

式中：EV(ISXi)為變量Xi固定后，其他變量對于指示函數(shù)方差的貢獻，則Vi可理解為變量Xi固定后，方差V(IS)的減小量。

二階方差貢獻定義為

Vij=VE(ISXi,Xj)-Vi-Vj

(5)

式中：VE(ISXi,Xj)為變量Xi、Xj對方差V(IS)的整體貢獻，則Vij為變量Xi、Xj兩者之間的相互作用對整體方差V(IS)的貢獻。

總方差貢獻定義為

V1,2,…,n=EV(ISX:i)

(6)

式中：X:i為變量X中除去Xi以外的n-1維向量，進而，VTi可理解為除變量Xi外，其他變量全部固定后，變量Xi對整體方差V(IS)的貢獻。

進而，通過以上3種方差貢獻定義出相應的全局靈敏度指標：

(7)

(8)

(9)

為了考察高階方差貢獻，利用以上3種指標對高階指標SHi進行定義：

(10)

2 全局靈敏度方法

2.1 含旋轉(zhuǎn)鉸間隙平面運動機構模型及運動誤差函數(shù)

Y=Y(X,θ)

(11)

圖1 連接間隙Fig.1 Joint clearance

以Y0表示理想運動輸出，則運動誤差函數(shù)可表示為

g(X,θ)=Y(X,θ)-Y0(θ)

(12)

2.2 基于包絡函數(shù)的可靠性分析

機構區(qū)間可靠性定義為：對于任意θ屬于θs至θe，運動誤差函數(shù)g(X,θ)的絕對值不大于誤差極限ε的概率，即

R(θs,θe)=Pr{max(g(X,θ))≤ε∩

ming(X,θ)≥-ε}

(13)

對誤差函數(shù)g(X,θ)進行進一步簡化[28]：

g(X,θ)≈H(U,θ)=b0(μX,θ)+b(μX,θ)·U

(14)

式中：

(15)

并且

(16)

μgX,θ≈b0μX,θ

(17)

(18)

定義指示函數(shù)為

(19)

進而可靠性表達式可簡化為

R(θs,θe)=Prmaxs(θ)H(U,θ)≤ε

(20)

考察機構在某一區(qū)間內(nèi)的可靠性，可選取區(qū)間內(nèi)某些最易失效點組成聯(lián)合密度函數(shù)，進而對其進行積分得出機構可靠性指標，此即為包絡函數(shù)法。

構造包絡函數(shù)G(X),使得

(21)

求解包絡函數(shù)G(X)，得出最可能失效點θi(i=1,2,…,t)，進而構造出誤差函數(shù)的均值向量為

μH=(μg1,μg2,…,μgt)

(22)

以及協(xié)方差矩陣：

(23)

其中，μgii=1,2,…,t為誤差函數(shù)在各失效點θi處的均值。Covij為g(X,θi)和g(X,θj)的協(xié)方差，i,j=1,2,…,t，具體形式為

(24)

含旋轉(zhuǎn)鉸間隙平面運動機構可靠性表達式為

(25)

2.3 含旋轉(zhuǎn)鉸間隙平面運動機構全局靈敏度分析

在第1節(jié)中已經(jīng)對主指標、高階指標以及總指標進行了定義。因為X為隨機向量，則IS(X)為隨機變量，且由式(2)可知，IS(X)服從兩點分布B1,R，即IS(X)等于1的概率為R，等于0的概率為1-R，因此，IS(X)的方差可以表示為

V(IS)=R(1-R)

(26)

為進一步方便對各全局靈敏度指標的計算，對Vi、Vij、VTi做推導[19]：

Vi=VE(IS|Xi)=EE2(IS|Xi)-R2

(27)

Vij=VE(IS|Xi,Xj)-Vi-Vj=

EE2(IS|Xi,Xj)-R2-Vi-Vj

(28)

VTi=EV(IS|X:i)=V(IS)-

V[E(IS|X:i)]=R-EE2(IS|X:i)

(29)

故只需求得EE2(ISXi),E[E2(ISXi,Xj)],E[E2(ISX:i)]，便可得到相應的全局靈敏度指標。

(30)

式中：μHMi和ΣHMi分別為HMi的均值向量和協(xié)方差矩陣。

(31)

式中：μHij和ΣHij分別為Hij的均值向量和協(xié)方差矩陣。

(32)

式中：μHTi和ΣHTi分別為HTi的均值向量和協(xié)方差矩陣。

進而，將式(27)～式(29)和式(30)～式(32)相結合，代入式(7)～式(9)中，可分別求得全局靈敏度主指標、高階指標和總指標。公式的具體推導過程可參考文獻[19]。

3 算 例

3.1 四連桿機構

四連桿機構在航空領域有極大的應用[29]，考慮某四連桿機構如圖2所示，1桿為驅(qū)動桿，1桿、3桿與水平線夾角θ、ψ分別為輸入變量、輸出變量。桿長服從正態(tài)分布，均值μ=(52.2,104.9,67.6,100)，標準差均為0.1；間隙尺寸(xj,yj)，j=1,2,3,4，在半徑為0.02的圓內(nèi)服從均勻分布，理想輸出函數(shù)

(33)

式中：f(x)=sinx，x∈[0, 90°]；初始輸入、輸出變量分別為θ0=95.1°、ψ0=90.6°，變化范圍分別為Δθ=120°、Δψ=60°。誤差極限ε取0.23°和0.25°?？疾?根桿L1、L2、L3、L4以及4個連接間隙C1、C2、C3、C4的全局靈敏度。以X1,X2,…,X8表示為X1=L1,X2=L2,X3=L3,X4=L4,X5=C1,X6=C2,X7=C3,X8=C4。

根據(jù)圖2可建立等式

(34)

消去ψ可得機構實際運動輸出方程為

(35)

當誤差極限取0.23°和0.25°時，主指標、總指標、高階指標計算結果分別展示于圖3和圖4當中，并與蒙特卡羅法計算結果相比較，蒙特卡羅法樣本點數(shù)為106。

當誤差極限取0.23°時，由蒙特卡羅法計算出的失效概率為：Pf=0.076 004。蒙特卡羅法程序運行時間為382 s，而本文所提方法程序運行時間為64 s，原誤差函數(shù)調(diào)用次數(shù)為245次，各項指標計算結果如圖3所示，其中，S,ST,SH分別代表主指標、總指標和高階指標，S1,S2,…,S8分別為各輸入變量主指標，ST1,ST2,…,ST8分別為各輸入變量總指標，SH1,SH2,…,SH8分別為各輸入變量高階指標。由圖3(a)可知，在所考察的8個變量中，X2和X4的主指標明顯高于其他各因素,由此說明，通過降低X2與X4的不確定性，可以使得結構的可靠性顯著提升。相反，其他各因素主指標對結構可靠性方差貢獻普遍微弱。由圖3(b)可以看出，相比于主指標計算結果，各因素總指標均有大幅度提升，說明各因素間相互作用明顯存在，其中，尤以X2和X4顯著。通過圖3(b)與圖3(c)對比可以發(fā)現(xiàn)，X5、X6、X7、X8的高階指標與總指標存在著微弱的差距，這也從另一個方面表明X5、X6、X7、X8的主指標與二階指標幾乎為零。

圖2 四連桿機構Fig.2 Four-bar linkage

當誤差極限取為0.25°時，由蒙特卡羅法計算出的失效概率為：Pf=0.0 256 045，各項指標計算結果如圖4所示。由圖3和圖4可以看出，隨著誤差極限的增加、失效概率的下降，主指標普遍下降、總指標和高階指標均微弱增長。由此說明，隨著機構可靠性的增加，每個因素對于時變可靠性的單獨影響減小，整體影響以及各因素間相互影響普遍增加。通過對比圖3和圖4同樣可以發(fā)現(xiàn)，機構可靠性的變化對各輸入變量的靈敏度指標排序并沒有影響。計算成本方面，蒙特卡羅法程序運行時間為382 s，而信封函數(shù)法程序運行時間為66 s，且原誤差函數(shù)調(diào)用次數(shù)為245次，表明信封函數(shù)法計算效率高，成本小。

圖3 誤差極限為0.23°時四連桿機構全局靈敏度分析結果Fig.3 Results of global sensitivity analysis of four-bar linkage when error limit is 0.23°

圖4 誤差極限為0.25°時四連桿機構全局靈敏度分析結果Fig.4 Analysis of global sensitivity analysis of four-bar linkage when error limit is 0.25°

3.2 某轉(zhuǎn)向機構

考慮某轉(zhuǎn)向機構如圖5所示，Lb代表左側1操縱臂和右側4操縱臂的長度，Ls代表左側2轉(zhuǎn)向連接桿和右側3轉(zhuǎn)向連接桿的長度，W表示下側輪軸長度，H為輪軸與齒條軸5之間的距離。以齒條軸5的橫向位移D為輸入變量，左側操縱臂與水平線夾角θ1為輸出變量。X=(X1,X2,X3,X4)=(Lb,Ls,W,H)代表4個隨機尺寸變量，均值μ=(111,283.5,650.24,83.5) 10-3m，標準差為σ=(0.1,0.1,0.1,0.1) 10-3m。間隙變量(xj,yj),j=1,2，在半徑為0.1的圓內(nèi)服從均勻分布。機構理想運動輸出假定為實際運動輸出函數(shù)在尺寸變量和間隙變量均值處的取值?？疾?個尺寸因素Lb、Ls、W、H以及2個間隙因素C1、C2的全局靈敏度。分別以X1,X2,…,X6表示為:X1=Lb,X2=Ls,X3=W,X4=H,X5=C1,X6=C2。

根據(jù)圖5可得等式：

(36)

消去θ2可得機構實際運動輸出方程為

(37)

當誤差極限取0.4°時，主指標、總指標、高階指標計算結果展示于圖6當中。蒙特卡羅法樣本點數(shù)為106。

當誤差極限取0.4°時，由蒙特卡羅法計算出的失效概率為：Pf=0.0 663 576。蒙特卡羅法程序運行時間為248 s，信封函數(shù)法程序運行時間為43 s，原誤差函數(shù)調(diào)用次數(shù)為245次。由圖6(a)可知，所考察的6個變量的主指標普遍較小，由此也導致兩種方法的計算結果在圖像上存在明顯的相對差異，但通過比較可知，絕對偏差較小，所提方法依舊具有足夠的準確度。從圖中可以看出，相比于其他4個因素，X1和X2具有較高的主指標，由此說明，對各輸入變量均降低一定程度的不確定性，相對于其他輸入變量，X1和X2可使結構的可靠度得到更多的提高。由圖6(b)可以看出，各因素總指標相對于主指標均有大幅度提升，這也使得兩種方法的計算結果具有更高的貼合度，同時說明各輸入變量間具有明顯的相互作用。在全部輸入變量中，X1、X2具有較高的總指標，其次為X5、X6，值得注意的是，兩個間隙因素X5、X6具有相同的總指標，說明兩因素整體上對機構可靠性具有相同影響。在圖6(b)與圖6(c)的對比中可以發(fā)現(xiàn)，各輸入變量高階指標與總指標間具有明顯的差距，且由圖6(a)可知各變量主指標較小，從而表明各輸入變量兩兩之間具有顯著的相互作用。

圖5 某轉(zhuǎn)向機構示意圖Fig.5 Diagram of a steering gear

圖6 某轉(zhuǎn)向機構全局靈敏度分析結果Fig.6 Results of global sensitivity analysis of steering gear

4 結 論

1) 對于含旋轉(zhuǎn)鉸間隙的平面運動機構，本文在時變運動機構可靠性靈敏度分析方法的基礎上，結合包絡函數(shù)法，發(fā)展出一種高效的計算含旋轉(zhuǎn)鉸間隙平面運動機構全局靈敏度的分析方法。

2) 將本文所發(fā)展的高效計算方法應用到兩個實際算例中，并與蒙特卡羅法相對比，結果顯示，本文所提方法所得結果與蒙特卡羅法所得結果非常接近，程序運行時間大大縮短，且誤差函數(shù)調(diào)用次數(shù)較少，表明本文所提方法精確度高，計算成本小，具有良好的工程應用價值。