上海市北虹高級中學(xué) 商軼瑋

板塊一：基于APOS理論的概念教學(xué)設(shè)計

APOS理論是美國數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基（Ed Dubinsky）在20世紀80年代提出的一種關(guān)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的新理論，被譽為近年來數(shù)學(xué)教育界最大的理論成果之一。

1.活動階段（Action）——創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

問題1：在過去的三百多年里，人們分別在下列年份觀測到了哈雷彗星，你能否預(yù)測到它下次出現(xiàn)的時間？

1682，1758，1834，1910，1986，（ ）

問題2：觀察下面兩個數(shù)列，找規(guī)律填空。

（1）1， 4， 7， 10， （ ）， 16，…

（2）2，0，-2，-4，-6，（ ），…

對于問題1，由于有生活中的直觀背景，而且還涉及了天文學(xué)的知識，學(xué)生很感興趣，很快找到了規(guī)律，并計算出答案。問題2起點比較低，學(xué)生很容易得到正確答案。

2.過程階段（Process）——思考內(nèi)化，抽象特征

問題3：請歸納出上述3個數(shù)列之間有什么共同特點？

生1：每個數(shù)列的相鄰兩項的差都是固定的。

師：像 1，2，1，2，1，…，這樣也可以么？

生1：不是的，應(yīng)該規(guī)定順序，是相鄰兩項的后項減去前項，或者前項減去后項的差是定值。

師：好，我們稱這樣的數(shù)列為等差數(shù)列。那么同學(xué)們能給等差數(shù)列下個準確的定義么？

即使同學(xué)沒有給出標準答案，也不要急著否定，因為這不正是思維不斷完善的真實過程么？

3.對象階段（Object）——賦予定義，具體符號

問題4：等差數(shù)列的定義是什么？

生2：如果一個數(shù)列的每一項與它前一項的差是同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫等差數(shù)列。

師：那么第一項的前一項是…？

生2：（補充）應(yīng)該加上“從第二項起”。

生3：那就直接改成“如果一個數(shù)列的每一項與它后一項的差是同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫等差數(shù)列”不就行了。

生4：那有窮數(shù)列的最后一項又沒有后一項。

（討論后，大家達成共識，翻看書本得到印證）

師：請大家再用數(shù)學(xué)語言描述等差數(shù)列的定義。

4.圖式階段（Schema）——剖析定義

板塊二：建構(gòu)主義指導(dǎo)下的方法教學(xué)設(shè)計

皮亞杰（J.Piaget）關(guān)于建構(gòu)主義的基本觀點是：個體與環(huán)境的相互作用涉及兩個基本過程：“同化”與“順應(yīng)”。他認為同化是指個體把外界刺激所提供的信息整合到自己原有認知結(jié)構(gòu)內(nèi)的過程；順應(yīng)是指個體的認知結(jié)構(gòu)因外部刺激的影響而發(fā)生改變的過程。認知個體通過同化與順應(yīng)這兩種形式來達到與周圍環(huán)境的平衡。

問題6：設(shè){an}是一個首項為a1，公差為d的等差數(shù)列，你能推導(dǎo)出該數(shù)列的第n項an關(guān)于項數(shù)n的表達式嗎？（同學(xué)以小組為單位進行探究，教師巡視并實物投影展示成果）

解法一：∵a1=a1+0·d，a2=a1+1·d，a3=a1+2·d，…，∴an=a1+（n-1）d。

解法二：∵a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…，an-an-1=d（n≥2），把這（n-1）個式子相加，得到an-a1=（n-1）d（n≥2），即an=a1+（n-1）d（n≥2）。驗證n=1時也符合上式。

大部分學(xué)生采用解法一，采用解法二的學(xué)生只有少數(shù)。顯然，對于歸納法，在同學(xué)的認知結(jié)構(gòu)中作為基本數(shù)學(xué)體驗是存在的，因此很自然地運用，是一個“同化”的過程。但是應(yīng)當及時指出這種方法屬于不完全歸納，還要加以證明來保證結(jié)論的準確性。對于解法二，是同學(xué)接觸不多的累加法，需通過講解納入知識體系使學(xué)生認知發(fā)生改變，是一個“順應(yīng)”的過程。因此，這兩種方法在課堂上呈現(xiàn)的方式和分配的時間就應(yīng)該有所不同。解法二應(yīng)重點講授，這樣才能讓同學(xué)頭腦中的知識從“無”到“有”，從“有”到“全”。當然，備課時教師還應(yīng)預(yù)設(shè)其他方法，以適應(yīng)課堂生成。

板塊三：核心素養(yǎng)背景下的思想方法教學(xué)設(shè)計

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（征求意見稿）》中明確指出：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的，適合個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力?！绷殖绲陆淌谠?jīng)給出了這樣的指導(dǎo)意見：“核心素養(yǎng)具有可教、可學(xué)的外顯部分，同時也存在無聲、無形但可感、可知的內(nèi)隱部分?！甭鋵嵲谡n堂教學(xué)上，不僅注重基礎(chǔ)知識與基本方法的傳授，還應(yīng)注重基本數(shù)學(xué)思想方法的滲透。

問題7：是否等差數(shù)列{an}的通項公式都能表示成an=k·n+b（k，b為常數(shù)）的形式？試從函數(shù)的觀點出發(fā)，形成等差數(shù)列的圖形語言。

生：由等差數(shù)列的通項公式，可以提煉出通項公式an關(guān)于n的一次表達式為an=dn+（a1-d），所以相當于定義域為正整數(shù)集的一次函數(shù)，d＞0時，是向上的排成一條直線的一列點；d＜0時，是向下的排成一條直線的一列點；d=0時，是水平的排成一條直線的一列點。

問題8：在等差數(shù)列的通項公式中，有四個量——a1，n，d，an。知道其中的任意三個量，就可以求出另一個量，即知三求一。請你從方程的觀點出發(fā)，試著出幾道題目，讓同學(xué)來解答。

同學(xué)們躍躍欲試，編出了很多精彩的題目。

函數(shù)與方程的思想是高中數(shù)學(xué)的四大思想之一，如能合理掌握并運用數(shù)學(xué)思想來解題和思考，則如虎添翼。數(shù)學(xué)思想的形成并非一朝一夕、一蹴而就的，需在課堂教學(xué)中不斷加以引導(dǎo)和滲透。

古今中外的教育大師給我們留下了絢麗的文化瑰寶，今天的我們好比是站在巨人的肩膀上從事教學(xué)活動和研究，在學(xué)習(xí)中收獲，在教學(xué)中實踐，在耕耘中快樂。