譚程

機(jī)車起動(dòng)問(wèn)題是高中物理中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的分析很多同學(xué)都感到比較困惑。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的分析如果我們把握了以下幾個(gè)要點(diǎn)，那么在分析這個(gè)問(wèn)題時(shí)就不會(huì)感覺(jué)到困惑了。

知識(shí)點(diǎn)1. 機(jī)車起動(dòng)的兩種方式

【要點(diǎn)歸納】機(jī)車起動(dòng)有兩種運(yùn)動(dòng)模式，即機(jī)車以恒定功率（通常為額定功率P額）和以恒定加速度a起動(dòng)。這兩種啟動(dòng)方式的物理過(guò)程分別如下圖所示：

（1）機(jī)車以恒定功率起動(dòng)時(shí)，它的牽引力F將隨速度v的變化而變化，其加速度a也隨之變化，具體變化過(guò)程可采用如下示意圖表示：

（2）要維持機(jī)車加速度不變，就要維持其牽引力不變，機(jī)車功率將隨v增大而增大，當(dāng)P達(dá)到額定功率P額后，不能再增加，即機(jī)車就不可能再保持勻加速運(yùn)動(dòng)了.具體變化過(guò)程可用如下示意圖表示：

知識(shí)點(diǎn)2. 分析機(jī)車啟動(dòng)時(shí)的兩個(gè)基本關(guān)系式

【要點(diǎn)歸納】“P=Fv”和“a= ”是分析與處理機(jī)車起動(dòng)過(guò)程的兩個(gè)重要的、基本的關(guān)系式。它反映了機(jī)車瞬時(shí)狀態(tài)的各量間的關(guān)系。圖1是機(jī)車在工作狀態(tài)下的受力情況，應(yīng)當(dāng)明確P為機(jī)車的瞬時(shí)功率；F為機(jī)車的牽引力，而不是機(jī)車受的合力；v為機(jī)車的瞬時(shí)速度；a為瞬時(shí)加速度；f為機(jī)車所受的阻力（通常機(jī)車所受阻力設(shè)為恒力）；m是機(jī)車的質(zhì)量。在實(shí)踐中，我們只要抓住兩個(gè)基本關(guān)系式，相關(guān)問(wèn)題則會(huì)迎刃而解。

知識(shí)點(diǎn)3. 兩種啟動(dòng)方式所獲的最值速度

【要點(diǎn)歸納】?jī)煞N啟動(dòng)方式不同，它們最終所獲得的最大速度是不同的，

（1）額定功率起動(dòng)的情形

由P=Fv和a= 可知，因功率P保持不變，速度增大，則機(jī)車的牽引力F必然減小，也就不難看出機(jī)車的加速度a因此而減小，所以該過(guò)程是一個(gè)加速度逐漸減小的運(yùn)動(dòng)。顯然當(dāng)牽引力F減小到等于機(jī)車所受阻力f時(shí)，即F=f，其加速度a=0，則機(jī)車的速度達(dá)到最大值vm，且vm= 。

（2）恒定加速度起動(dòng)的情形

初速度為0的勻加速起動(dòng)的過(guò)程，同樣根據(jù)P=Fv和a= 知，由于加速度a恒定，則牽引力F不變（通常設(shè)定機(jī)車所受阻力f恒定）。因此隨著速度v增大，其機(jī)車的瞬時(shí)功率P隨之增大，當(dāng)P增大到額定功率時(shí)P額，此刻速度便是勻加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程的最大速度 ，其大小為 = 。

應(yīng)當(dāng)注意到 是勻加速運(yùn)動(dòng)的末狀態(tài)，此刻機(jī)車的功率剛好等于額定功率P額，而此時(shí)此刻牽引力仍為F，且F>f，再由P=Fv和a= 兩個(gè)基本關(guān)系式，容易分析出，在功率不變的情況下，速度還會(huì)繼續(xù)增大，牽引力隨之減小，所以此后過(guò)程是加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，直到加速度a=0時(shí)，機(jī)車的速度達(dá)到最終的最大速度vm，且vm= 。

如圖2所示，恒定加速度起動(dòng)的過(guò)程的三個(gè)階段，即從v0=0到 為勻加速運(yùn)動(dòng)階段； 到vm為加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)；此后以速度vm作勻速直線運(yùn)動(dòng)。

綜合上面的分析可得：

（1）兩種起動(dòng)過(guò)程最終所能達(dá)到的最大速度vm= ；

（2）恒定加速度起動(dòng)過(guò)程中，勻加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程的最大速度 = .

知識(shí)點(diǎn)4. 機(jī)車啟動(dòng)中的兩個(gè)典型v-t圖像

【要點(diǎn)歸納】v-t圖像能夠很好地反映機(jī)車兩種起動(dòng)過(guò)程的速度隨時(shí)間的變化情況。

圖3是保持額定功率不變的起動(dòng)過(guò)程的v-t圖線。由圖可以看出在t從0到t/的v-t圖線的切線斜率逐漸減小，反映了機(jī)車的加速度逐漸減小，直到t/時(shí)刻，斜率減小為零，即此刻機(jī)車的加速度為零，之后圖線表示機(jī)車一直作勻速直線運(yùn)動(dòng)。

圖4是保持加速度不變的起動(dòng)過(guò)程的v-t圖線。t從0到t1時(shí)段為斜直線，表示機(jī)車做勻加速運(yùn)動(dòng)，且t1時(shí)刻達(dá)到勻加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程的最大速度v1，t1到t2時(shí)段曲線的斜率逐漸減小，表明此階段是加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，直到t2時(shí)刻速度達(dá)到最大值vm。此后即為勻速直線運(yùn)動(dòng)。

知識(shí)點(diǎn)5. 機(jī)車啟動(dòng)中的兩個(gè)典型P-t圖像

【知識(shí)點(diǎn)歸納】機(jī)車以恒定功率啟動(dòng)時(shí)，機(jī)車的功率是一直保持不變的，其功率P時(shí)間t圖像如圖5所示。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于P恒定，隨著v的增大，F(xiàn)必將減小，a也必將減小，汽車做加速度不斷減小的加速運(yùn)動(dòng)，直到F=f，a=0，這時(shí)v達(dá)到最大值vm= = ?？梢?jiàn)恒定功率的加速一定不是勻加速。這種加速過(guò)程發(fā)動(dòng)機(jī)做的功只能用W=Pt計(jì)算，不能用W=Fs計(jì)算（因?yàn)镕為變力）。

機(jī)車以恒定加速度啟動(dòng)時(shí)，由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，所以a恒定，汽車做勻加速運(yùn)動(dòng)，而隨著v的增大，P也將不斷增大，直到P達(dá)到額定功率Pm，功率不能再增大了。這時(shí)勻加速運(yùn)動(dòng)結(jié)束，其最大速度為 = < ，此后汽車要想繼續(xù)加速就只能做恒定功率的變加速運(yùn)動(dòng)了。該過(guò)程的功率P時(shí)間t圖像如圖6所示。可見(jiàn)恒定牽引力的加速時(shí)功率一定不恒定。這種加速過(guò)程發(fā)動(dòng)機(jī)做的功只能用W=F·L計(jì)算，不能用W=P·t計(jì)算（因?yàn)镻為變值）。

[例1] 一汽車在平直公路上行駛。從某時(shí)刻開(kāi)始計(jì)時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)的功率P隨時(shí)間t的變化如圖7所示。假定汽車所受阻力的大小f恒定不變。下列描述該汽車的速度v隨時(shí)間t變化的圖線中，可能正確的是（ ）

【解析】本題屬于機(jī)車的恒定功率啟動(dòng)問(wèn)題，當(dāng)牽引力大于阻力時(shí)，機(jī)車加速運(yùn)動(dòng)，但速度的增加會(huì)導(dǎo)致?tīng)恳ψ冃。瑱C(jī)車所受的合力變小，機(jī)車的加速度變小，故機(jī)車的運(yùn)動(dòng)為加速度不斷變小的加速運(yùn)動(dòng)，直到加速度等于零變?yōu)閯蛩僦本€運(yùn)動(dòng)，故0～t1時(shí)間內(nèi)，是一個(gè)恒定功率加速過(guò)程，直到變?yōu)閯蛩僦本€運(yùn)動(dòng)，t1～t2時(shí)間內(nèi)，是另一個(gè)恒定功率加速過(guò)程，直到變?yōu)閯蛩僦本€運(yùn)動(dòng)，故A項(xiàng)正確。

【方法歸納】忽略恒定功率啟動(dòng)問(wèn)題的制約關(guān)系是導(dǎo)致機(jī)車速度變化出錯(cuò)，常見(jiàn)的錯(cuò)誤歸納如下：（1）混淆了機(jī)車的恒定功率啟動(dòng)與恒定加速度啟動(dòng)，容易導(dǎo)致錯(cuò)選B；（2）忽略了慣性的作用，沒(méi)有注意到汽車的速度不可能突然發(fā)生變化，再加之C項(xiàng)圖與題干圖非常相似而錯(cuò)選C；（3）對(duì)機(jī)車的恒定功率啟動(dòng)問(wèn)題中加速度的變化認(rèn)識(shí)不到位，容易導(dǎo)致錯(cuò)選D。

知識(shí)點(diǎn)6. 機(jī)車啟動(dòng)中的瞬時(shí)值問(wèn)題

【要點(diǎn)歸納】在分析機(jī)車啟動(dòng)時(shí)經(jīng)常會(huì)碰到求瞬時(shí)值這一問(wèn)題，如達(dá)到的最大速度，還有某一時(shí)刻的加速度。在分析瞬時(shí)加速度這個(gè)問(wèn)題時(shí)，多數(shù)是分析機(jī)車在達(dá)到額定功率瞬間到機(jī)車達(dá)到最大速度這一過(guò)程中，機(jī)車做變加速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度，此時(shí)的關(guān)鍵是要求出此時(shí)機(jī)車的牽引力F，此時(shí)的牽引力可根據(jù)兩個(gè)關(guān)系式“P=Fv和a= ”來(lái)求。下面我們通過(guò)一個(gè)具體的例子來(lái)說(shuō)明：

[例2]汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的額定牽引功率為60kW，汽車的質(zhì)量為5t，汽車在水平路面上行駛時(shí)，阻力是車重的0.1倍，試求：

（1）若汽車保持額定功率從靜止起動(dòng)后能達(dá)到的最大速度是多少？

（2）若汽車從靜止開(kāi)始，保持以0.5m/s2的加速度作勻加速運(yùn)動(dòng)，這段過(guò)程能維持多長(zhǎng)時(shí)間？

（3）如果阻力不變，汽車在水平路面上用10m/s速度行駛，實(shí)際功率多大？此時(shí)汽車的加速度又是多大？

【解析】（1）汽車在水平路面上行駛時(shí)，由于牽引功率保持不變，則汽車的加速度逐漸減小，當(dāng)F=f=kmg時(shí)，汽車的速度達(dá)到最大值vm。

則vm= = =12m/s。

（2）汽車從靜止開(kāi)始，以0.5m/s2的加速度做勻加速行駛，要求得這個(gè)過(guò)程所能維持的時(shí)間，必須求出勻加速過(guò)程的最大速度 。而達(dá)到速度 時(shí)汽車的實(shí)際功率恰好達(dá)到額定功率，所以根據(jù)兩個(gè)基本關(guān)系式“P=Fv”和“a= ”，就可以求出保持勻加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程的牽引力F，自然也就求出了 。

由F-f=ma得：F=ma+f=5×103×0.5+0.1×5×103×10=7.5×103N

= = =8m/s

所以勻加速運(yùn)動(dòng)能維持的時(shí)間為：t= = =16s。

（3）由于vm>10m/s> 表明此時(shí)汽車處于額定功率下，加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)階段，所以此刻的實(shí)際功率等于額定功率。

應(yīng)該注意到，P保持不變，由p=F /v知此過(guò)程中牽引力不斷減小，所以當(dāng)速度v=10m/s時(shí)，其牽引力：F /= = =6×103N。

則此刻汽車的加速度：a= = =0.2m/s2。

【方法歸納】機(jī)車起動(dòng)過(guò)程中常見(jiàn)基本問(wèn)題及其處理方法：

知識(shí)點(diǎn)7：機(jī)車啟動(dòng)所受“阻力”的理解

【要點(diǎn)歸納】機(jī)車起動(dòng)過(guò)程的問(wèn)題中，阻力是相對(duì)牽引力而言的，它可能是空氣阻力、摩擦阻力、重力或重力的下滑分量等，是起阻礙機(jī)車前行的各種力的合力。

[例3]汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的額定牽引功率為60kW，汽車的質(zhì)量為5t，汽車在水平路面上行駛時(shí)，阻力是車重的0.1倍。當(dāng)汽車行駛在傾角為？琢的長(zhǎng)直斜坡上時(shí)，汽車所能行駛的最大速度是多少？（已知sin？琢=0.02）

【解析】汽車的受力分析如圖8所示，汽車在坡路上行駛時(shí)，事實(shí)上汽車受到的阻力f是由兩部分構(gòu)成，即：f=kmg+mgsinα=0.1×5×103×10+5×103×10×0.02=6×103N

當(dāng)F=f時(shí)P額=F vm=f vm，

所以v= = =10m/s。

【方法歸納】機(jī)車啟動(dòng)時(shí)所受到的阻力不要片面地理解為空氣對(duì)機(jī)車的阻力，或者片面地理解為地面對(duì)機(jī)車的摩擦力，或是理解為機(jī)車在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)為機(jī)車重力沿斜面的分力，這些理解是錯(cuò)誤的。機(jī)車啟動(dòng)時(shí)所受到的阻力它實(shí)際上是所有阻礙機(jī)車啟動(dòng)時(shí)各個(gè)阻力的矢量和。

知識(shí)點(diǎn)8：機(jī)車啟動(dòng)問(wèn)題中的位移分析

【要點(diǎn)歸納】在機(jī)車啟動(dòng)過(guò)程中，計(jì)算機(jī)車的位移是一個(gè)難點(diǎn)。由于機(jī)車一般會(huì)經(jīng)歷多個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，在勻變速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可以利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式直接求解，但在變加速運(yùn)動(dòng)階段，只能借助動(dòng)能定理來(lái)計(jì)算。在機(jī)車啟動(dòng)問(wèn)題中，要注意區(qū)別“兩個(gè)速度”，即勻加速階段的最大速度（圖像中的v1）和最終勻速運(yùn)動(dòng)的速度（圖像中的vm）。求勻加速階段的位移可運(yùn)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式x1= a = t1，計(jì)算變加速運(yùn)動(dòng)階段的位移則不能用上述公式，但由于該階段功率P不變，故可以用動(dòng)能定理P（t2-t1）-fx2= m - m 計(jì)算。

[例4]一新型賽車在水平專用測(cè)試道上進(jìn)行測(cè)試，該車總質(zhì)量為m=1×103kg，由靜止開(kāi)始沿水平測(cè)試道運(yùn)動(dòng)，用傳感設(shè)備記錄其運(yùn)動(dòng)的v-t圖像如圖9所示。該車運(yùn)動(dòng)中受到的摩擦阻力（含空氣阻力）恒定，且摩擦阻力跟車的重力的比值為μ=0.2。賽車在0～5s的v-t圖像為直線，5s末該車發(fā)動(dòng)機(jī)達(dá)到額定功率并保持該功率行駛，在5～20s之間，賽車的v-t圖像先是一段曲線，后為直線.取g=10m/s2，試求：

（1）該車的額定功率；

（2）該車的最大速度vm；

（3）計(jì)算賽車出發(fā)后前20 s內(nèi)的位移。

【解析】（1）0～5s賽車做勻加速運(yùn)動(dòng)，其加速度：a= = m/s2=4m/s2。

由題意得μ= ，則摩擦阻力為f=2×103N

所以發(fā)動(dòng)機(jī)牽引力的額定功率P=Fv1=1.2×105 W。

（2）由P=Fvm，解得：vm=60m/s。

（3）前5s內(nèi)賽車勻加速運(yùn)動(dòng)，位移x1= t1=50m

在5～20s內(nèi)（即t2=15s），發(fā)動(dòng)機(jī)已經(jīng)達(dá)到額定牽引功率，且在20s時(shí)車的速度為最大速度vm，由動(dòng)能定理得Pt2-fx2= m - m 。

代入數(shù)據(jù)解得x2=100m，總位移x=x1+x2=150m。

【方法歸納】弄清楚v-t圖像中各段圖線所表示的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，然后畫(huà)出運(yùn)動(dòng)草圖，合理運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式是解決此類問(wèn)題的基本思路和方法。

知識(shí)點(diǎn)9. 分析機(jī)車起動(dòng)的創(chuàng)新圖像

【要點(diǎn)歸納】分析機(jī)車起動(dòng)的創(chuàng)新圖像主要有以下兩類典型的創(chuàng)新圖像：

1. F- 圖像和v- 圖像

這兩類圖像反映了機(jī)車在啟動(dòng)過(guò)程中發(fā)動(dòng)機(jī)功率和機(jī)車速度之間的函數(shù)關(guān)系。因?yàn)镻=Fv，隨著機(jī)車速度的不斷增加，P、v、F三個(gè)物理量隨之發(fā)生變化。下面就機(jī)車以恒定加速度啟動(dòng)為例來(lái)說(shuō)明它們之間變化的特點(diǎn)。

①圖10是F-v圖像，圖像以F、v作為縱橫坐標(biāo)，直接反應(yīng)了F與v之間的關(guān)系，ab段圖像表示機(jī)車做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，牽引力為恒力，隨著速度的增加，機(jī)車功率逐漸增加，到達(dá)b點(diǎn)時(shí)機(jī)車功率達(dá)到額定值，bc段圖像表示機(jī)車牽引力功率不變，隨著速度的增加，機(jī)車牽引力逐漸減小，機(jī)車做變加速直線運(yùn)動(dòng)，圖像為雙曲線的一支。F-v圖像的縱橫軸與圖像包圍的面積表示機(jī)車牽引力功率。

由于F-v圖像的bc段為雙曲線的一支，圖像不規(guī)則，所以衍生出圖11和圖12兩種圖像，通過(guò)變換坐標(biāo)軸對(duì)應(yīng)的物理量，使得圖像變?yōu)橹本€。

②圖11是F- 圖像，由于圖像的橫軸為 ，所以分析圖像時(shí)應(yīng)該沿著橫軸從右向左分析。圖像的ab段表示隨著速度的增加，牽引力恒定不變，此過(guò)程為勻加速直線運(yùn)動(dòng)。圖像的bc段表示隨著速度的增加，牽引力逐漸減小，機(jī)車發(fā)動(dòng)機(jī)功率不變，此過(guò)程為變加速直線運(yùn)動(dòng)，c點(diǎn)時(shí)機(jī)車速度達(dá)到最大，機(jī)車開(kāi)始勻速直線運(yùn)動(dòng)。bc段圖像的斜率表示機(jī)車發(fā)動(dòng)機(jī)功率。

③圖12是v- 圖像，圖像的ab段表示勻加速直線運(yùn)動(dòng)，bc段表示變加速直線運(yùn)動(dòng)。

[例5]在檢測(cè)某種汽車性能的實(shí)驗(yàn)中，質(zhì)量為3×103㎏的汽車由靜止開(kāi)始沿平直公路行駛，達(dá)到的最大速度為40m/s，利用傳感器測(cè)得此過(guò)程中不同時(shí)刻該汽車的牽引力F與對(duì)應(yīng)的速度v，并描繪出F- 圖像（圖像ABC為汽車由靜止到最大速度的全過(guò)程圖像，AB、BO均為直線），如圖13所示。假設(shè)該汽車行駛中所受的阻力恒定，根據(jù)圖線ABC，求：

（1）該汽車的額定功率；

（2）該汽車由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)35秒速度達(dá)到最大速度40m/s，求該汽車在BC段的位移。

【解析】（1）由圖線分析可知：圖線AB表示汽車所受牽引力F不變，阻力f不變，汽車由靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)；圖線BC的斜率表示汽車的功率P不變，達(dá)到額定功率后，汽車所受牽引力逐漸減小做加速度減小的變加速直線運(yùn)動(dòng)，直至達(dá)最大速度40m/s；此后汽車做勻速直線運(yùn)動(dòng)。由圖可知：當(dāng)最大速度vmax=40m/s時(shí)，牽引力為Fmin=2000N。

由平衡條件f=Fmin可得：f=2000N

由公式P=Fminvmax得：額定功率P=8×104W

勻加速直線運(yùn)動(dòng)的末速度vB= 求得：vB=10m/s。

（2）汽車由A到B做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度a= =2m/s2

設(shè)汽車由A到B所用時(shí)間為t1，B到C的時(shí)間為t2，位移為s2則t1= =5s

所以可得：t2=30s

B點(diǎn)之后，對(duì)車由動(dòng)能定理可得：Pt2-fs2= m - m

可得：s2=75m

【技巧點(diǎn)撥】這類圖像的兩部分雖然都為直線，但橫坐標(biāo)表示速度的倒數(shù)，從圖像中獲取信息難度加大，很難根據(jù)圖像得出機(jī)車啟動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，從而增加了這類題目的難度。這類圖像應(yīng)沿著坐標(biāo)橫軸從右向左的方向，即隨著機(jī)車速度的不斷增大，分析各個(gè)階段的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)以及相關(guān)物理量的數(shù)據(jù)。

責(zé)任編輯 李平安