于 美,馬國禎

(西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,陜西西安 710072)

1 引言

近年來,隨著自然科學(xué)和工程技術(shù)中許多非線性問題的不斷出現(xiàn),Sobolev空間表現(xiàn)出了其應(yīng)用范圍的局限性.例如,對一類有變指數(shù)增長條件的非線性問題的研究.具有變指數(shù)增長性條件的非線性問題是一個新興的研究課題.在對這類非線性問題進行研究時,變指數(shù)Lebesgue空間及Sobolev空間發(fā)揮著重要的作用[1?4].

在本文中,我們主要研究一類p(t)-Laplace中立型微分泛函方程

周期解的存在性,其中 φp(t):R → R,φp(t)(u)=|u|p(t)?2u,g∈C(R2,R),1

由于指數(shù)p(t)為函數(shù),p(t)-Laplace算子較之p-Laplace具有更復(fù)雜的非線性性,許多對于p-Laplace問題成立的方法和結(jié)果不再適用于p(t)-Laplace問題.本文結(jié)合了Mawhin連續(xù)定理與不等式技巧的應(yīng)用,克服了變指數(shù)p(t)產(chǎn)生的困難,得到了新的研究成果.關(guān)于常指數(shù)增長條件下的周期解存在性的問題,可參考文獻[5–6].

2 預(yù)備知識

首先回憶一些關(guān)于變指數(shù)Lebesgue空間Lp(t)(?)的定理[7].

定義2.1設(shè)P是所有Lebesgue可測函數(shù)集,且p:?→(1,∞).對于p(t)∈P(?),設(shè)

變指數(shù)Lebesgue空間Lp(t)(?)是由一類滿足的函數(shù)u組成,且Lp(t)(?)是由上述范數(shù)誘導(dǎo)的Banach空間.定義p(t)∈P(?)的共軛函數(shù)q(t)為q(t)=

定理2.2令p∈P(?),那么

對于每個f∈Lp(t)(?)和g∈Lp0(t)(?)都成立.

定理2.3設(shè)u,uk∈Lp(t)(?),則

對于Mawhin連續(xù)性定理[8].令X,Y是實Banach空間,L:D(L)?X→Y是一個Fredholm算子并且指數(shù)為0,D(L)是L的值域,這意味著ImL在Y上是一個閉域并且有

考慮補充子空間X1,Y1,其中X=KerL⊕X1,Y=ImL⊕Y1.令P:X→KerL,Q:Y→Y1是自然投影.顯然有KerL∩(D(L)∩X1)={0}.因此限制條件LP:=L|D(L)∩X1是可逆的,由K表示LP的逆.

令?是X的一個開的有界子集并且D(L)∩? 6=φ.如果QN(ˉ?)是有界的,算子K(I?Q)N:ˉ?→X是致密的,則在ˉ?中N:ˉ?→Y是L-緊致的.

引理2.4假設(shè)X,Y是兩個Banach空間,L:D(L)?X→Y是一個Fredholm算子并且指數(shù)為0.此外??X是一個開的有界集合,在ˉ?上N:ˉ?→Y是L-緊致的.如果有

(1)Lx 6= λNx,?x∈ ?? ∩D(L),λ ∈ (0,1).

(2)Nx/∈ImL,?x∈??∩KerL.

(3)deg{JQN,?∩KerL,0}6=0,其中J:ImQ→ KerL是同構(gòu)的.則Lx=Nx在ˉ?∩D(L)上有一個解.

引理2.5如果|c|6=1,且A在CT上有連續(xù)有界映射,那么

3 周期解的存在性

首先把方程(1.1)寫成如下形式

假設(shè)T是一個大于0的常數(shù)CT={?:?∈C(R,R),?(t+T)≡?(t)}且具有范數(shù)|?|0=|?(t)|,X=Y ={x=(x1(t),x2(t))∈ C(R,R2):x(t+T)≡ x(t)} 具范數(shù)kxk=max{|x1|0,|x2|0},顯然X 和Y是Banach空間.令

所以L是一個指標(biāo)為零的Fredholm算子.

令投影P:X→KerL與Q:Y→ImQ定義如下

3.1 假設(shè)條件

給出以下假設(shè)條件

3.2 主要結(jié)論及證明

引理3.1如果p(t)>2且存在正常數(shù)D,r≥0滿足[H1]–[H2],則(1.1)至少有一個T型周期解.

證 顯然當(dāng)且僅當(dāng)Lx=Nx成立時,方程(P)有T型周期解,其中N:CT→CT,

由(3.1)式的第一個等式可得x2(t)=Ax1)0(t)),將其代入(3.1)式的第二個等式,可得

在區(qū)間[0,T]上積分(3.2)式的兩邊,由牛頓-萊布尼茲定理,可得

由積分中值定理,存在常數(shù)ξ∈[0,T]滿足g(ξ,x1(ξ?τ(ξ)))?e(t)=0.由假設(shè)[H1]可得|x1(ξ? τ(ξ))|≤ D.令 ξ? τ(ξ)=kT+t0,其中 k ∈ Z,t0∈ [0,T),因此

這意味著

另一方面,將(3.2)式兩端同時乘(Ax1)(t),可得

在區(qū)間[0,T]上積分(3.4)式的兩邊,由于

由假設(shè)[H2]可知,?ρ>0滿足

由(3.3)式可得

由于μ+<2可得,存在C>0,使得因此|x1|0≤ D+C+T=M1.綜上所述,?M1>0,使得|x1|0

下面討論|x2|0的邊界.由(3.1)式的第一個等式,可知這意味?t1∈[0,T]著滿足x2(t1)=0,因此dt.由(3.2)式的第二個等式可得

若QNx=0,那么x2=0,x1=M,或=M.但是當(dāng)x1=M 時,顯然?g(t,x1)+e(t)<0矛盾.當(dāng)x1=?M時,顯然QNx 6=0,?x∈?,x/∈ImL,因此引理2.4中(1)和(2)均得到滿足.

下面證明引理2.4(3)同樣成立.定義同構(gòu):J:ImQ→kerL:J(x1,x2)T=(x2,x1)T.

如果H(μ,x)=0,那么x2=M或?M.與上面的證明類似,也可證明H(μ,x)6=0.因此

因此引理2.4的以三個條件同樣成立.應(yīng)用引理2.4,可得Lx=Nx在上有一個解幾乎處處成立,方程(1.1)存在一個周期解.