邵瑩河，洪榮晶，于春建

(南京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，南京 211800)

0 引言

有限元分析技術(shù)已成為工程結(jié)構(gòu)分析的重要手段，基于有限法的結(jié)構(gòu)分析軟件的出現(xiàn)，使運(yùn)用有限元法來獲取結(jié)構(gòu)的動(dòng)靜態(tài)特性變得更加便捷。在建立有限元模型時(shí)，因?qū)Y(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化和邊界條件的假設(shè)等，造成動(dòng)力學(xué)模型與實(shí)際對(duì)象有一定的誤差產(chǎn)生，其誤差可以分為三類：模型結(jié)構(gòu)誤差，模型參數(shù)誤差和模型階次誤差[1]。當(dāng)模型結(jié)構(gòu)或者邊界條件復(fù)雜時(shí)，分析結(jié)果與實(shí)際結(jié)果有較大的出入。建立準(zhǔn)確的動(dòng)力學(xué)模型是利用有限元法進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析和性能評(píng)價(jià)的前提，特別對(duì)于動(dòng)態(tài)特性要求較高的結(jié)構(gòu)而言更加重要，如機(jī)床、航天器等。對(duì)于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型的修正已成為結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究的重點(diǎn)。

響應(yīng)面法具有便捷、可操作性高、適應(yīng)性強(qiáng)等特點(diǎn)，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于解決設(shè)計(jì)變量和優(yōu)化目標(biāo)之間函數(shù)關(guān)系不明確時(shí)的優(yōu)化問題。如張疆平等[2]采用自適應(yīng)響應(yīng)面法對(duì)肋板厚度和壁厚尺寸進(jìn)行優(yōu)化，提高了機(jī)床前兩階固有頻率，表明該方法可實(shí)現(xiàn)機(jī)床快速優(yōu)化設(shè)計(jì)。王萬金等[3]將網(wǎng)格變形技術(shù)與響應(yīng)面法相結(jié)合的方式，實(shí)現(xiàn)了機(jī)床床身的輕量化優(yōu)化設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了該方法具有較高的操作性。M R Stalin John等[4]采用響應(yīng)面法對(duì)加工中心磨削參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，獲得了最佳加工參數(shù)。

近年來，已有學(xué)者對(duì)機(jī)床的動(dòng)力學(xué)模型修正作出了相應(yīng)的研究，如巫修海[5]建立了加工中心整機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)修正參數(shù)進(jìn)行了靈敏度分析，確定了零件間的連接特性靈敏度較高，并對(duì)此進(jìn)行了調(diào)整，使整機(jī)有限元模型求解與實(shí)際動(dòng)力學(xué)特性相符。然而其對(duì)修正參數(shù)的調(diào)整并未應(yīng)用優(yōu)化方法，所取參數(shù)值并非最優(yōu)值，有一定的優(yōu)化空間。葛澤稷等[6]以彈簧單元模擬床身與地基之間的邊界條件，并以彈簧剛度值為修正參數(shù)，以固有頻率的最小二乘法為目標(biāo)函數(shù)建立了優(yōu)化模型，實(shí)現(xiàn)了床身動(dòng)力學(xué)模型修正，但是他們只對(duì)床身垂直連接剛度進(jìn)行了修正，并未考慮水平方向的剛度，且優(yōu)化迭代時(shí)需要求解有限元模型，增加了計(jì)算量。

針對(duì)以上問題，本文提出了一種基于響應(yīng)面法對(duì)床身動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行修正的方法。以CLFH-200齒輪復(fù)合機(jī)床床身為研究對(duì)象，以ANSYS Workbench中地基剛度模擬床身與墊鐵地基系統(tǒng)的三方向連接剛度，對(duì)床身垂直及水平方向的連接剛度進(jìn)行修正。并建立三方向剛度與固有頻率之間的響應(yīng)面模型，避免每次迭代對(duì)有限元模型進(jìn)行求解，減少了計(jì)算量。采用二次規(guī)劃法對(duì)響應(yīng)面模型進(jìn)行優(yōu)化，獲得三方向的最佳剛度值，從而達(dá)到對(duì)床身動(dòng)力學(xué)模型修正的目的。

1 機(jī)床床身初始模型建立

動(dòng)力學(xué)模型修正的目的是縮減有限元分析結(jié)果與實(shí)際響應(yīng)的誤差，本質(zhì)上屬于結(jié)構(gòu)優(yōu)化范疇，設(shè)計(jì)變量即要修正的參數(shù)，優(yōu)化目標(biāo)即修正評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，再通過優(yōu)化算法達(dá)到模型修正的目的。對(duì)動(dòng)力學(xué)模型的修正主要集中在消除模型的參數(shù)誤差[7]，如模型的物理參數(shù)(彈性模量，密度等)和邊界條件等。對(duì)于動(dòng)力學(xué)模型修正的優(yōu)化目標(biāo)選擇主要集中在三方面：①模態(tài)參數(shù)；②頻響函數(shù)；③動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。其中固有頻率測(cè)量最為容易且精度較高。以固有頻率為修正目標(biāo)能較為快捷的得到準(zhǔn)確度較高的動(dòng)力學(xué)模型。

建立床身初始動(dòng)力學(xué)模型，該床身為箱型結(jié)構(gòu)，總長1970mm，寬1300mm，高585mm。內(nèi)部分布有十字肋板，四周分布有方形及圓形減重孔，為便于切削液及切屑的流出，上部床板進(jìn)行傾斜設(shè)計(jì)。根據(jù)圣維南定理，對(duì)機(jī)床床身的細(xì)小工藝特征進(jìn)行簡(jiǎn)化，簡(jiǎn)化后的機(jī)床床身如圖1所示。

圖1 床身簡(jiǎn)化模型

床身材料為Q235A，彈性模量為E=2.12×1011Pa，泊松比為0.288，密度為7860kg/m3。由于床身的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，采用自動(dòng)網(wǎng)格劃分方法，網(wǎng)格相關(guān)度relevance為100，相關(guān)度中心設(shè)置為fine，經(jīng)過調(diào)試，最終得到的有限元模型如圖2所示，其中單元類型為solid187，單元數(shù)為50128，節(jié)點(diǎn)數(shù)為95809。在不確定連接剛度的情況下，可設(shè)置床身與墊鐵接觸 面為全固定約束。

圖2 床身有限元模型

2 模態(tài)試驗(yàn)

模態(tài)錘擊試驗(yàn)，采用LMS Test.Lab 振動(dòng)測(cè)試系統(tǒng)，其錘擊系統(tǒng)組成原理如圖3所示，其中數(shù)據(jù)采集選用LMS SCADAS Mobile Front-End (8通道輸入數(shù)采前端+2通道源輸出+2通道轉(zhuǎn)速輸入)，加速度選用傳感器美國PCB公司的ICP三向加速度傳感器，其靈敏度100mV/g, 量程50g, 頻率范圍 0.5～3000Hz，力錘選用美國PCB公司的模態(tài)ICP5000lbf力錘，其錘頭1.1kg重，含ICP型力傳感器一只，靈敏度為1mV/lbf (0.23mv/N)，響應(yīng)范圍 0～5kHz，BNC接頭。

圖3 錘擊模態(tài)試驗(yàn)原理圖

采用原裝支撐方式，根據(jù)床身的剛度分布情況，合理分布測(cè)點(diǎn)，將床身分為28個(gè)測(cè)點(diǎn)，為便于測(cè)試選擇移動(dòng)傳感器的方式進(jìn)行測(cè)量，錘擊點(diǎn)選擇方便錘擊且剛度相對(duì)較大的位置[8]?，F(xiàn)場(chǎng)布置如圖4所示。

圖4 試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)布置圖

根據(jù)初始模型分析結(jié)果，選擇所關(guān)心的前6階固有頻率范圍，經(jīng)過多次測(cè)量，采集數(shù)據(jù)后傳到PC機(jī)分析可得前6階固有頻率，結(jié)果如表1所示。

表1 試驗(yàn)固有頻率

3 模型修正

在床身結(jié)構(gòu)和材料確定的條件下，其邊界條件對(duì)有限元模態(tài)分析影響較大，由于床身是經(jīng)過墊鐵與地基相連，其接觸面的剛度難以確定，為了簡(jiǎn)化處理過程一般采用全固定約束，與實(shí)際情況有一定誤差，造成了有限元模態(tài)分析結(jié)果與實(shí)際試驗(yàn)結(jié)果的偏差。本文用ANSYS Workbench中的地基剛度選項(xiàng)，模擬床身與墊鐵地基系統(tǒng)的接觸剛度。由于床身固定處x、y方向約束情況相似，對(duì)其剛度值做等值處理，故剛度可簡(jiǎn)化為z方向剛度和x、y方向剛度，經(jīng)過分析初步確定3方向的變動(dòng)范圍如表2所示。

表2 剛度的取值范圍

為使固有頻率誤差最小，以剛度值為設(shè)計(jì)變量，固有頻率最小二乘法為目標(biāo)函數(shù)建立響應(yīng)面模型[9]，構(gòu)建地基剛度與固有頻率誤差的相互關(guān)系。其修正流程如圖5所示。

圖5 模型修正流程圖

3.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

中心復(fù)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)(CCD)[10-11]是擬合響應(yīng)面的最常用的方法，可有效的評(píng)估因素的非線性影響及因素間的交互作用，采用中心復(fù)合表面設(shè)計(jì)(CCF)獲得數(shù)據(jù)點(diǎn)，其軸心點(diǎn)取1，將每個(gè)因素分為3個(gè)水平，可有效的得到試驗(yàn)點(diǎn)分布，試驗(yàn)點(diǎn)分布情況如圖6所示。

圖6 試驗(yàn)點(diǎn)分布

圖6中+1、-1分別對(duì)應(yīng)試驗(yàn)點(diǎn)的上下限，按試驗(yàn)點(diǎn)取值范圍和分布情況進(jìn)行9次有限元分析，試驗(yàn)結(jié)果p是由固有頻率最小二乘法得到，如式(1)所示：

(1)

式中，fi為有限元分析中的第i階固有頻率，F(xiàn)i為試驗(yàn)?zāi)B(tài)中第i階固有頻率。

最終得到試驗(yàn)結(jié)果如表3所示。

表3 床身中心復(fù)合表面實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果

3.2 建立響應(yīng)面模型

采用滿二階多項(xiàng)式法建立響應(yīng)面模型，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如式(2)所示：

(2)

由最小二乘法確定回歸系數(shù)，最終擬合得到響應(yīng)面公式如式(3)所示，該響應(yīng)面模型如圖7所示，

p(s) = 1082 - 3.508s1- 1.52s2+ 0.002389s1s2+

(3)

圖7 響應(yīng)面模型

對(duì)回歸模型進(jìn)行F檢驗(yàn)和確定系數(shù)檢驗(yàn)[12]，結(jié)果如表4所示，確定系數(shù)接近于1，表明該模型擬合程度較好，可進(jìn)行下一步優(yōu)化。

表4 誤差檢驗(yàn)

3.3 響應(yīng)面模型優(yōu)化

以響應(yīng)面模型為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，剛度為設(shè)計(jì)變量，得到其修正數(shù)學(xué)模型如式(4)所示：

minp(s)=p(s1,s2)
s.t. 200≤s1≤300
600≤s2≤800

(4)

二次規(guī)劃法是目前最先進(jìn)的非線性規(guī)劃計(jì)算方法之一[13]。經(jīng)計(jì)算最終得到最佳剛度值s1為241.25N/mm3，s2為741.52 N/mm3，并帶入有限元分析模型。修正后的動(dòng)力學(xué)模型固有頻率和誤差如表5所示。

表5 修正后固有頻率對(duì)比

修正后動(dòng)力學(xué)模型的固有頻率與試驗(yàn)頻率之間的總誤差明顯減小，與初始模型固有頻率誤差相比，第1階誤差降低了0.70%；第2階誤差增加了0.28%，雖然有所提升，但對(duì)于整體來說并不顯著，可能由于實(shí)際床身局部焊接焊縫所造成的影響；第3階誤差降低了1.65%；第4階降低了9.81%；第5階誤差降低了3.25%；第6階降低了3.35%。優(yōu)化后最大誤差為5.11%，最小誤差僅為0.02%。整體來看，平均誤差由5.22%降到了2.14%，降低了3.08%。結(jié)果表明修正后各階頻率誤差相對(duì)較小且都在合理范圍內(nèi)，修正后的動(dòng)力學(xué)模型可靠性得到了提高。

4 結(jié)論

本文提出的基于響應(yīng)面法對(duì)床身動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行修正的方法， 以ANSYS Workbench中地基剛度模擬床身連接剛度，簡(jiǎn)化了對(duì)與邊界條件的處理過程，并以此為設(shè)計(jì)因素，通過中心復(fù)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)擬合得到滿二階多項(xiàng)式響應(yīng)面模型，并對(duì)其擬合精度進(jìn)行了檢驗(yàn)，避免了每次迭代對(duì)有限元模型進(jìn)行求解，提高了優(yōu)化效率。采用二次規(guī)劃法對(duì)響應(yīng)面模型進(jìn)行優(yōu)化，可以有效的得到最佳剛度數(shù)值，修正后床身動(dòng)力學(xué)模型的前6階固有頻率平均誤差由5.22%降到了2.14%。實(shí)現(xiàn)了動(dòng)力學(xué)模型修正，為床身動(dòng)力學(xué)模型修正提供了一種便捷有效的方法。