重慶 楊天才

兩個(gè)物體之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)是一種常見的運(yùn)動(dòng)形式，即某一物體對(duì)另一物體而言的相對(duì)位置的連續(xù)變動(dòng)，如：追及問題、傳送帶問題、滑塊木板問題、碰撞問題等。筆者將引入相對(duì)位移公式來探究其中的典型模型，同時(shí)圖象和數(shù)學(xué)公式雖然都能反映物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，但圖象比公式直觀、簡便、巧妙，有獨(dú)特的優(yōu)越性，特別是在分析解決兩個(gè)物體之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)尤為突出。以下是三種方法的比較：

【例1】甲火車正以速率v1向前行駛，司機(jī)突然發(fā)現(xiàn)正前方同一軌道上距離為x處有另一火車乙，正以較小的速率v2沿同方向做勻速運(yùn)動(dòng)，甲車司機(jī)由發(fā)現(xiàn)情況到開始剎車所用時(shí)間(反應(yīng)時(shí)間)為Δt，甲車在剎車過程中做勻減速運(yùn)動(dòng)。要使兩列火車不相撞，甲車剎車時(shí)的加速度a的大小至少應(yīng)是多少？

【原解】兩車恰好不相撞時(shí)，二者速度相同，均為v2，設(shè)甲車由剎車到共速所用時(shí)間為t，加速度大小為a

x甲=x+x乙

x甲=v1Δt+v1t-at2/2

x乙=v2(Δt+t)

v2=v1-at

【相對(duì)位移法解析】反應(yīng)時(shí)間內(nèi)兩車勻速運(yùn)動(dòng)

由x相=v相t，甲相對(duì)乙的位移為x1=(v1-v2)Δt

甲車相對(duì)乙車的運(yùn)動(dòng)滿足

(v2-v2)2-(v1-v2)2=2(-a-0)(x-x1)

【圖象法解析】設(shè)甲車由剎車到共速所用時(shí)間為t，加速度大小為a，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出甲、乙火車運(yùn)動(dòng)的v-t圖象，如圖1所示,由題意陰影部分面積在數(shù)值上等于相對(duì)位移，即

圖1

【例2】一水平的淺色長傳送帶上放置一煤塊(可視為質(zhì)點(diǎn))，煤塊與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ。初始時(shí)，傳送帶與煤塊都是靜止的。現(xiàn)讓傳送帶以恒定的加速度a0開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其速度達(dá)到v0后，便以此速度做勻速運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過一段時(shí)間，煤塊在傳送帶上留下了一段黑色痕跡后，煤塊相對(duì)于傳送帶不再滑動(dòng)，求此黑色痕跡的長度。

【原解】根據(jù)“傳送帶上有黑色痕跡”可知，煤塊與傳送帶之間發(fā)生了相對(duì)滑動(dòng)，煤塊的加速度a小于傳送帶的加速度a0。根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，可得a=μg

設(shè)經(jīng)歷時(shí)間t，傳送帶由靜止開始加速到速度等于v0，煤塊則由靜止加速到v，有

v0=a0t

v=at

由于a

再經(jīng)過時(shí)間t′，煤塊的速度由v增加到v0，有

v0=v+at′

此后，煤塊與傳送帶運(yùn)動(dòng)速度相同，相對(duì)于傳送帶不再滑動(dòng)，不再產(chǎn)生新的痕跡。

設(shè)在煤塊的速度從0增加到v0的整個(gè)過程中，傳送帶和煤塊移動(dòng)的距離分別為x0和x，有

傳送帶上留下的黑色痕跡的長度l=x0-x

【相對(duì)位移法解析】同理a=μg，設(shè)經(jīng)歷時(shí)間t1，傳送帶由靜止開始加速到速度等于v0

設(shè)經(jīng)歷時(shí)間t2，煤塊由靜止開始加速到速度等于v0

黑色痕跡的長度為

圖2

【圖象法解析】同理a=μg

設(shè)經(jīng)歷時(shí)間t1，傳送帶由靜止開始加速到速度等于v0

設(shè)經(jīng)歷時(shí)間t2，煤塊由靜止開始加速到速度等于v0

在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出傳送帶和煤塊運(yùn)動(dòng)的v-t圖象，如圖2所示

【例3】如圖3所示，一塊質(zhì)量為M，長為L的均質(zhì)板放在很長的光滑水平桌面上，板的左端有一質(zhì)量為m的小物體(可視為質(zhì)點(diǎn))，物體上連接一根很長的細(xì)繩，細(xì)繩跨過位于桌邊的光滑定滑輪。某人以恒定的速率v向下拉繩，物體最多只能到達(dá)板的中點(diǎn)，而板的右端尚未到達(dá)桌邊定滑輪處。試求：

(1)物體剛到達(dá)板中點(diǎn)時(shí)板的位移；

(2)若板與桌面之間有摩擦，為使物體能達(dá)到板的右端，板與桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)的范圍是多少。

圖3

【原解】(1)m與M相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，m勻速運(yùn)動(dòng)有vt=x1

M勻加速運(yùn)動(dòng)有vt/2=x2x1-x2=L/2

聯(lián)立以上三式得x2=L/2。

(2)設(shè)m與M之間摩擦因數(shù)為μ1，當(dāng)桌面光滑時(shí)有

μ1mg=Ma1v2=2a1x2

如果板與桌面有摩擦，因?yàn)镸與桌面摩擦因數(shù)越大，m越易從右端滑下，所以當(dāng)m滑到M右端兩者剛好共速時(shí)摩擦因數(shù)最小，設(shè)為μ2

【相對(duì)位移法解析】(1)設(shè)板的加速度、位移分別為a、x板，則由題意有v2-02=2ax板

(2)設(shè)小物體和板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ

v2=2ax板

設(shè)板和地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ′，同理，物體相對(duì)板滿足

(2)若小物體和板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，

設(shè)板和地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ′

同理板的位移與物體比板多運(yùn)動(dòng)的位移相等，即

x板=L

【例4】如圖5，在一光滑的水平面上有兩塊相同的木板B和C。重物A(視為質(zhì)點(diǎn))位于B的右端，A、B、C的質(zhì)量相等?，F(xiàn)A和B以同一速度滑向靜止的C、B與C發(fā)生正碰。碰后B和C粘在一起運(yùn)動(dòng)，A在C上滑行，A與C有摩擦力。已知A滑到C的右端而未掉下。問：從B、C發(fā)生正碰到A剛移到C右端期間，C所走過的距離是C板長度的多少倍。

圖5

【原解】設(shè)A、B、C的質(zhì)量均為m。碰撞前，A與B的共同速度為v0，碰撞后B與C的共同速度為v1。對(duì)B、C，由動(dòng)量守恒定律得mv0=2mv1

設(shè)A滑至C的右端時(shí)，三者的共同速度為v2

對(duì)A、B、C，由動(dòng)量守恒定律得2mv0=3mv2

設(shè)A與C的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，從發(fā)生碰撞到A移至C的右端時(shí)C所走過的距離為x，對(duì)B、C由功能關(guān)系

設(shè)C的長度為l，對(duì)A由功能關(guān)系

在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出A和BC運(yùn)動(dòng)的v-t圖象如圖6所示

圖6

C所走過的距離與C板長度的比值為

【例5】一個(gè)質(zhì)量為M的絕緣小車，靜止在光滑水平面上，在小車的光滑板面上放一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的帶電小物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))，小車質(zhì)量與物塊質(zhì)量之比M∶m=7∶1，物塊距小車右端擋板距離為L，小車車長為 1.5L，如圖7所示，現(xiàn)沿平行車身方向加一電場強(qiáng)度為E的水平向右的勻強(qiáng)電場，帶電小物塊由靜止開始向右運(yùn)動(dòng)，而后與小車右端擋板相碰，若碰后小車速度大小為碰撞前小物塊速度大小的1/4，并設(shè)小物塊滑動(dòng)過程及其與小車相碰的過程中，小物塊帶電荷量不變，且碰撞時(shí)間極短、總能量不變。

圖7

(1)通過分析與計(jì)算說明，碰撞后滑塊能否滑出小車的車身；

(2)若能滑出，求出由小物塊開始運(yùn)動(dòng)至滑出時(shí)電場力對(duì)小物塊所做的功；若不能滑出，則求出小物塊從開始運(yùn)動(dòng)至第二次碰撞前滑塊的速度多大。

【原解】(1)帶電小滑塊僅在電場力作用下向右沿光滑車面做加速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)位移為L時(shí)與車右端相撞，設(shè)相撞前瞬間滑塊速度為v0，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律

滑塊與車相撞時(shí)間極短，電場力遠(yuǎn)小于撞擊力

故可認(rèn)為水平方向動(dòng)量守恒mv0=mv1+Mv2

(2)設(shè)滑塊由相對(duì)車靜止(即與車速度v2相同)到與小車第二次碰撞時(shí)間為t′，由幾何關(guān)系及勻加速直線運(yùn)動(dòng)公式有

式中x=v2t′為小車t′內(nèi)的位移

則滑塊與小車第二次碰撞前滑塊的速度

解得x相對(duì)=L<1.5L

滑塊不會(huì)滑出小車車面。

(2)之后滑塊繼續(xù)加速運(yùn)動(dòng)，小車勻速運(yùn)動(dòng)，滑塊與小車第二次碰撞前與發(fā)生第一次碰撞時(shí)二者發(fā)生的位移相等(即相對(duì)位移為零)，有

圖8

由幾何知識(shí)，

△AOB≌△GDC，x△AOB=L=x△GDC，x相對(duì)=L<1.5L

滑塊不會(huì)滑出小車車面。

(2)滑塊與小車第二次碰撞前與發(fā)生第一次碰撞時(shí)二者發(fā)生的位移相等(即相對(duì)位移為零)，即S△FED=L

則△GCD≌△FED

[課題：重慶市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2016年度青少年創(chuàng)新人才培養(yǎng)《普通高中培養(yǎng)青少年創(chuàng)新人才校本課程開發(fā)研究》專項(xiàng)課題(課題編號(hào)：2016-CX-14)]