鄧超鋒，魏 武，侯榮波，余俊俠

（華南理工大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與工程學(xué)院，廣東 廣州 510641）

1 引言

六足機(jī)器人因機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)單且靈活、承載能力強(qiáng)及穩(wěn)定性好[1]，且具有良好的運(yùn)動(dòng)靈活性和環(huán)境適應(yīng)性等優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)其肢體冗余的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)保證了機(jī)器人能夠完成多種工作，在核工業(yè)、建筑、交通、石化和消防等領(lǐng)域有較好的應(yīng)用前景[2-4]。具有很重要的研究意義和實(shí)用價(jià)值。一直是國(guó)內(nèi)外的足式機(jī)器人研究的重點(diǎn)。

需要通過(guò)控制六足機(jī)器人而使其完成特定的任務(wù)，其中最為普遍的一個(gè)方面是對(duì)其運(yùn)動(dòng)的控制。可以把六足機(jī)器人看作是由六條腿組成的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，而每條腿是由多個(gè)連桿經(jīng)關(guān)節(jié)構(gòu)成。因六足步行機(jī)器人的多鏈結(jié)構(gòu)、時(shí)變的運(yùn)動(dòng)拓?fù)?，而且還具有冗余驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)學(xué)較輪式移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)要復(fù)雜的多[5]?？刂茩C(jī)器人的運(yùn)動(dòng)就是控制機(jī)器人各連桿及各關(guān)節(jié)之間的相對(duì)位置、速度及力。所以，六足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為完成對(duì)六足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制的基礎(chǔ)。

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析包括正運(yùn)動(dòng)學(xué)和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是指根據(jù)給定的機(jī)器人各關(guān)節(jié)變量來(lái)求解出機(jī)器人末端執(zhí)行機(jī)構(gòu)的位置與姿態(tài)；逆運(yùn)動(dòng)學(xué)是指根據(jù)給定的機(jī)器人末端執(zhí)行機(jī)構(gòu)的位置與姿態(tài)，反求解出機(jī)器人各關(guān)節(jié)變量[6]。如為了使得服務(wù)機(jī)器人手臂正確運(yùn)動(dòng)，甘弋等建立了服務(wù)機(jī)器人的擬人臂和底盤(pán)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型[7]。文獻(xiàn)[8]建立了單臂SCARA真空手的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。

最常用的模塊化機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模方法是D-H法，但傳統(tǒng)的D-H參數(shù)法需要在每個(gè)關(guān)節(jié)上建立坐標(biāo)系后才能對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)求解，并且根據(jù)各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)方式不同坐標(biāo)系的姿態(tài)會(huì)有所區(qū)別，所以建立坐標(biāo)系的過(guò)程較為復(fù)雜。旋量理論把剛體在空間中的任何運(yùn)動(dòng)均看成剛體繞空中的某一特定軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)和沿該軸線方向平移的復(fù)合運(yùn)動(dòng)[9]，其中這一特定軸線為旋量軸，同時(shí)稱對(duì)某旋量軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和平移的運(yùn)動(dòng)稱為旋量運(yùn)動(dòng)?；谛糠椒ǖ倪\(yùn)動(dòng)學(xué)建模僅根據(jù)各關(guān)節(jié)軸線的位姿來(lái)描述執(zhí)行器端的位置和姿態(tài)的，較D-H法更加直觀、簡(jiǎn)潔。因此，只需要在每個(gè)關(guān)節(jié)處找出關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)副的旋轉(zhuǎn)軸線或者運(yùn)動(dòng)方向軸線，求解過(guò)程更加簡(jiǎn)潔。對(duì)模塊化機(jī)器人機(jī)構(gòu)不確定的特性能具有更好地適應(yīng)性。近年來(lái)，旋量理論在機(jī)器人領(lǐng)域，包括機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)等方面都得到了較廣泛的應(yīng)用[10-11]。

采用旋量的指數(shù)積對(duì)六足爬壁機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型進(jìn)行了建模。并求解其逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，并結(jié)合MATLAB和ADMAS仿真分析所建立的模型的準(zhǔn)確性。

2 六足爬壁機(jī)器人機(jī)體結(jié)構(gòu)模型

機(jī)器人的機(jī)體結(jié)構(gòu)模型，如圖1所示。其主體部分為正六邊形結(jié)構(gòu)。共有六條腿，均勻分布在正六邊形的六個(gè)方位。每條腿共有五個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，分別為髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)、踝關(guān)節(jié)、足1關(guān)節(jié)、足2關(guān)節(jié)，末端位置由一個(gè)萬(wàn)向球鉸連接一個(gè)真空吸盤(pán)。各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)方向與角度范圍，如表1所示。

這種結(jié)構(gòu)的機(jī)器人具有較高的運(yùn)動(dòng)靈活性，在進(jìn)行方向調(diào)整時(shí)不需要旋轉(zhuǎn)機(jī)體，只需要調(diào)整腿部順序。機(jī)器人整體自由度較高，可以變換多種步態(tài)使機(jī)器人適應(yīng)不同的環(huán)境。

圖1 六足爬壁機(jī)器人機(jī)體模型Fig.1 The Body Model of Hexapod Wall-Climbing Robot

表1 各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)方向與角度范圍Tab.1 The Direction of Rotation and Angle Range of the Joints

3 基于旋量理論的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

根據(jù)旋量理論建立六足爬壁機(jī)器人單腿模型，如圖2所示。以機(jī)器人正六邊形機(jī)體中心為原點(diǎn)，x軸指向髖關(guān)節(jié)，z軸垂直于六邊形指向上方，y軸由右手定則確定建立基礎(chǔ)坐標(biāo)系｛S｝。在末端執(zhí)行器吸盤(pán)上建立物體坐標(biāo)系｛T｝。ωi和qi分別為各關(guān)節(jié)旋量軸的單位矢量和其上一點(diǎn)，Li為各連桿長(zhǎng)度。取姿態(tài)為腿部初始狀態(tài)，如圖2所示。

圖2 機(jī)器人單腿模型Fig.2 Robot Single Leg Model

當(dāng)機(jī)器人腿部處于初始狀態(tài)時(shí)，根據(jù)空間坐標(biāo)系的位姿描述，可知以｛S｝為基礎(chǔ)坐標(biāo)系，物體坐標(biāo)系｛T｝的位姿描述為：

機(jī)器人單腿5個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)軸單位矢量分別為：

對(duì)于純轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，當(dāng)ω≠0的時(shí)候，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)繞旋轉(zhuǎn)軸ξ?轉(zhuǎn)動(dòng)角θ時(shí)的旋量指數(shù)積：

繼而可求解出機(jī)器人單腿正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如下：

4 求解六足機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

六足爬壁機(jī)器人設(shè)計(jì)中足1關(guān)節(jié)與萬(wàn)向球鉸功能均為提高機(jī)器人適應(yīng)不平整壁面的能力，為了簡(jiǎn)化逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，提高機(jī)器人運(yùn)算效率，假設(shè)機(jī)器人足1關(guān)節(jié)無(wú)法旋轉(zhuǎn)，即等式θ4==0。

將θ4=0，代入正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，得到簡(jiǎn)化后的機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，即：

說(shuō)明：與上文類似，為簡(jiǎn)化書(shū)寫(xiě)，用 Ci表示 cosθi，Si表示 sinθi，Cij表示 cos（θi+θj），Sij表示 sin（θi+θj），Cijk表示 cos（θi+θj+θk），Sijk表示 sin（θi+θj+θk）。

多足機(jī)器人單腿末端吸盤(pán)在機(jī)體平臺(tái)參考坐標(biāo)系｛O0｝下的坐標(biāo)為pH=（pxpypz）T，螺旋旋轉(zhuǎn)軸zHS5在參考坐標(biāo)系下表示為 zH=（nxnynz）T，因此可得方程組如下：

方程組中有6個(gè)等式，4個(gè)未知數(shù)，依據(jù)該方程組以及表1所規(guī)定的機(jī)器人各關(guān)節(jié)相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)角度范圍可以分析求取各關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度如下：

到此已經(jīng)求解出除足1關(guān)節(jié)外，多足爬壁機(jī)器人單腿所有關(guān)節(jié)的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)角度，即建立了多足爬壁機(jī)器人單腿逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。

5 機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真驗(yàn)證

根據(jù)建立的機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型可以求解出期望位姿下各關(guān)節(jié)相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)角度。為驗(yàn)證逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的正確性，需要對(duì)建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

ADMAS是集建模、求解、可視化技術(shù)于一體的虛擬樣機(jī)軟件，它可以產(chǎn)生復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的虛擬樣機(jī)，真實(shí)地仿真其運(yùn)動(dòng)過(guò)程，且其求解器采用多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論中的拉格朗日方程方法，建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，對(duì)虛擬機(jī)機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行靜力學(xué)，運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析，故采用ADMAS作為仿真軟件。

為了仿真機(jī)器人運(yùn)動(dòng)，首先設(shè)計(jì)多足機(jī)器人的行走步態(tài)，旋轉(zhuǎn)步態(tài)是多足機(jī)器人的常見(jiàn)步態(tài)，在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過(guò)程中遇到障礙物，或行走在復(fù)雜地面情況下，常常需要用到旋轉(zhuǎn)步態(tài)來(lái)調(diào)整落足點(diǎn)的位置，且旋轉(zhuǎn)步態(tài)較常見(jiàn)的三角步態(tài)、四角步態(tài)復(fù)雜。為更好地說(shuō)明運(yùn)動(dòng)模型的適用性，在ADMAS上對(duì)多足機(jī)器人的旋轉(zhuǎn)步態(tài)進(jìn)行仿真，并對(duì)其逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行求解。同時(shí)，因MATLAB具有強(qiáng)大的運(yùn)算能力，在MATLAB軟件下根據(jù)建立的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型求解機(jī)器人末端執(zhí)行器按預(yù)定軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)角度。通過(guò)對(duì)比ADMAS自動(dòng)求解和MATLAB求解出的各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)角度隨時(shí)間變化的曲線，并分析MATLAB求解出的各變量與虛擬樣機(jī)相對(duì)應(yīng)的變量之間的誤差來(lái)驗(yàn)證建立的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的準(zhǔn)確性和適用性。

本次仿真驗(yàn)證設(shè)定多足機(jī)器人完成原地旋轉(zhuǎn)步態(tài)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)為了減少對(duì)吸盤(pán)的磨損，設(shè)定多足機(jī)器人腿部末端吸盤(pán)始終與壁面平行。旋轉(zhuǎn)步態(tài)由機(jī)體旋轉(zhuǎn)和腿部擺動(dòng)回復(fù)零位兩階段組成。在旋轉(zhuǎn)階段，多足機(jī)器人六條腿均為支撐腿，此時(shí)機(jī)器人與壁面可以看作并聯(lián)機(jī)器人，機(jī)體旋轉(zhuǎn)可以看作機(jī)器人腿部相對(duì)其旋轉(zhuǎn)，由對(duì)稱性可知，此時(shí)機(jī)器人各條腿相對(duì)應(yīng)關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度相同；在回復(fù)零位階段，多足機(jī)器人三條腿著地作為支撐腿，另外三條作為擺動(dòng)腿，交替回復(fù)到初始狀態(tài)。虛擬樣機(jī)步態(tài)運(yùn)動(dòng)，如圖3所示。

圖3 虛擬樣機(jī)旋轉(zhuǎn)步態(tài)運(yùn)動(dòng)Fig.3 Rotational Gait Motion of Virtual Prototype

當(dāng)虛擬樣機(jī)完成設(shè)定的步態(tài)后，利用Adams仿真軟件自動(dòng)求解出各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)角度隨時(shí)間的變化曲線。接著利用MATLAB軟件求解機(jī)器人旋轉(zhuǎn)步態(tài)中各關(guān)節(jié)理論上的轉(zhuǎn)動(dòng)角的隨時(shí)間變化的曲線，并與Adams軟件求解出的結(jié)果進(jìn)行比對(duì)，如圖4～圖9所示。

圖4 虛擬樣機(jī)中單腿末端位移Fig.4 Displacement of Single Leg End in Virtual Prototyping

圖5 MATLAB中的單腿末端位移Fig.5 The End of the Single Leg Displacement in MATLAB

圖6 MATLAB求出的理論各關(guān)節(jié)角度Fig.6 The Theoretical Angle of Each Joint Obtained by MATLAB

圖7 虛擬樣機(jī)仿真的各關(guān)節(jié)角度Fig.7 Joint Angles of Virtual Prototype Simulation

圖8 單腿的各關(guān)節(jié)角度誤差率Fig.8 The Angle of Each Leg Joint Error Rate

圖9 單腿末端位移誤差率Fig.9 The Error Rate of Displacement of the End of a Aingle Leg

通過(guò)對(duì)比分析以上幾圖可以看出，理論結(jié)果和仿真得到的結(jié)果基本一致，其中單腿各關(guān)節(jié)中角度誤差率最大為4.4%，末端位移誤差率最大為4.1%，誤差較小。誤差產(chǎn)生的原因主要包括兩部分：第一是建立虛擬樣機(jī)模型中存在一定的模型誤差；第二是在積分、求導(dǎo)計(jì)算角度時(shí)會(huì)存在微小的算法誤差。

6 結(jié)論

基于MATLAB求解的旋轉(zhuǎn)步態(tài)下機(jī)器人末端的軌跡和腿的各關(guān)節(jié)角隨時(shí)間的變化圖，并與ADMAS仿真軟件自動(dòng)求解出來(lái)的多足機(jī)器人的各腿軌跡和各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)角度進(jìn)行對(duì)比，得出以下結(jié)論：（1）通過(guò)旋量理論建立的多足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型可以準(zhǔn)確性高，誤差較小。（2）基于旋量理論建立的多足機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型可作為多足機(jī)器人研究的基礎(chǔ)。