何思源

(中鐵第一勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，陜西西安 710043)

理論上來(lái)說(shuō)，利用各種方差分量估計(jì)算法推算觀測(cè)值的方差都只能是近似的逼近，多余觀測(cè)數(shù)越少，所得到的近似逼近效果就越差。當(dāng)多余觀測(cè)數(shù)過(guò)少時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)方差或協(xié)方差為負(fù)的情況。因此，足夠的多余觀測(cè)是確保估值可靠性的前提。姚一斌[11]等總結(jié)出測(cè)量平差問(wèn)題中不同觀測(cè)條件、不同圖形條件下必要觀測(cè)值數(shù)量確定的通用公式，但是沒(méi)有給出方差分量估計(jì)意義下多余觀測(cè)數(shù)對(duì)精度的影響；汪曉慶[10]討論了方差分量估計(jì)中必要多余觀測(cè)數(shù)與精度指標(biāo)的關(guān)系，指出當(dāng)方差分量估值的中誤差小于方差分量自身數(shù)值的1/2時(shí)精度較好，必要多余觀測(cè)數(shù)考慮取20，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證，但是對(duì)參數(shù)小于2時(shí)未做研究；在方差分量估計(jì)的實(shí)際應(yīng)用中，受各種環(huán)境條件的限制，采集到的數(shù)據(jù)量是有限的。同時(shí)，過(guò)多的多余觀測(cè)會(huì)增加一定的工作量，影響工作效率。因此，制定評(píng)判多余觀測(cè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)十分重要。

既然多余觀測(cè)數(shù)決定著方差分量估計(jì)結(jié)果的可靠性，那么多余觀測(cè)數(shù)為多少時(shí)才適合采用方差分量估計(jì)，還沒(méi)有明確的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。首先引入多余觀測(cè)數(shù)對(duì)方差分量估計(jì)結(jié)果影響的評(píng)定參數(shù)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)這一參數(shù)隨著多余觀測(cè)數(shù)的減少所呈現(xiàn)出的變化趨勢(shì)，得出相應(yīng)的結(jié)論。

1 方差分量估計(jì)中的精度評(píng)定

在所有的以最小二乘為估計(jì)準(zhǔn)則的平差問(wèn)題中，不論采用何種平差方法，單位權(quán)方差的估值公式均可以表示為

(1)

式中，VTPV為觀測(cè)值殘差向量關(guān)于權(quán)陣P的二次型。df為自由度，也就是多余觀測(cè)數(shù)。根據(jù)廣義傳播定律，并顧及E(V)=0和式(1)，可得單位權(quán)中誤差估值的方差為

(2)

這里略去式(2)右邊求跡部分的推導(dǎo)過(guò)程，直接給出的方差

(3)

這說(shuō)明，多余觀測(cè)數(shù)越多，單位權(quán)方差的估值就越可靠。

對(duì)方差分量估值的精度，需要給出明確的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。下面僅以Helmert型方差分量估計(jì)為研究對(duì)象，介紹其精度評(píng)定公式的推導(dǎo)過(guò)程。對(duì)于只含有兩類相互獨(dú)立觀測(cè)值的間接平差，其Helmert方差分量估計(jì)的模型為

(4)

其中：

a=n1-2tr(N-1N1)+tr(N-1N1)2

b=tr(N-1N1N-1N2)

c=n2-2tr(N-1N2)+tr(N-1N2)2

(5)

(6)

設(shè)

(7)

(8)

2 評(píng)定參數(shù)

為了能夠準(zhǔn)確地描述多余觀測(cè)數(shù)對(duì)方差分量估計(jì)結(jié)果的影響，定義評(píng)定參數(shù)為

(9)

式中

(10)

(11)

方差分量估計(jì)公式(4)中系數(shù)矩陣S的所有元素之和為

S11+S12+S21+S22=

n1-2tr(N-1N1)+tr(N-1N1)2+

2tr(N-1N1N-1N2)+n2-2tr(N-1N2)+tr(N-1N2)2=

n1+n2-2tr(N-1(N1+N2))+

tr(N-1N1N-1(N1+N2))+tr(N-1(N1+N2)N-1N2)=

n-2tr(N-1N)+tr(N-1N1)+tr(N-1N1)=

(12)

r為多余觀測(cè)數(shù)，又因?yàn)?/p>

故評(píng)定參數(shù)與多余觀測(cè)數(shù)有關(guān)。

3 實(shí)驗(yàn)實(shí)例

3.1 實(shí)驗(yàn)描述

模擬一個(gè)邊角網(wǎng)的觀測(cè)數(shù)據(jù)，分別對(duì)比在不同多余觀測(cè)數(shù)下，方差分量計(jì)算結(jié)果的精度以及計(jì)算效率。

如圖1所示，設(shè)計(jì)一個(gè)邊角網(wǎng)，給定P1，P2，P3，P4縱橫坐標(biāo)的真值，如表1所示。由坐標(biāo)真值反算出任意兩點(diǎn)間的精確距離，以四個(gè)控制點(diǎn)中的任意點(diǎn)為測(cè)站點(diǎn)，反算出三個(gè)方位角的精確值，其值如表2所示。于是得到一個(gè)多余觀測(cè)最多(共6個(gè)距離，12個(gè)方位角)的大地四邊形控制網(wǎng)數(shù)據(jù)。

圖1 模擬邊角網(wǎng)[14]

點(diǎn)名坐標(biāo)/mXYP1100100P2100200P3200195P419397

已知P1點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)以及P2點(diǎn)的橫坐標(biāo)，P2點(diǎn)的縱坐標(biāo)以及P3、P4點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)待估。假設(shè)距離和方位角觀測(cè)值的方差未知，數(shù)據(jù)的處理采用Matlab R2010b，模擬1000次觀測(cè)數(shù)據(jù)，每次給距離和方位角的精確值加入期望為0、標(biāo)準(zhǔn)差分別為2″和10 mm的正態(tài)分布隨機(jī)噪聲。通過(guò)每一次模擬出的觀測(cè)值，利用極坐標(biāo)法求出P4、P3點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)以及P2點(diǎn)橫坐標(biāo)的近似值，然后按間接平差的方法列出誤差方程，進(jìn)行平差計(jì)算(接下來(lái)用到的所有分析數(shù)據(jù)都由本實(shí)驗(yàn)提供)。

表2 模擬數(shù)據(jù)距離和方位角

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

采用模擬邊角網(wǎng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，每次給方位角和距離觀測(cè)值分別加入期望值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為2″和10 mm的正態(tài)分布隨機(jī)噪聲。該邊角控制網(wǎng)中必要觀測(cè)數(shù)為5。

圖2～圖6顯示，多余觀測(cè)數(shù)越少k越大，中誤差估值精度越低。 圖2和圖3分別為方向、距離k值與多余觀測(cè)數(shù)之間1 000次試驗(yàn)的結(jié)果。從圖2可以發(fā)現(xiàn)，多余觀測(cè)數(shù)為5時(shí)(即必要多余觀測(cè)數(shù))方向k值較大，均值為1.314，且在1 000次實(shí)驗(yàn)中波動(dòng)很大；當(dāng)多余觀測(cè)數(shù)為8時(shí)，k值明顯減小，均值約為0.7，且在1 000次實(shí)驗(yàn)中較為穩(wěn)定，該結(jié)果與多余觀測(cè)數(shù)為9時(shí)十分接近；隨著多余觀測(cè)數(shù)增加，k趨于穩(wěn)定，當(dāng)多余觀測(cè)數(shù)為13時(shí)，k值均值約為0.5。從圖2、圖3可以發(fā)現(xiàn)，距離k值呈現(xiàn)明顯的聚類現(xiàn)象，即多余觀測(cè)數(shù)為5、8為一類；多余觀測(cè)數(shù)為9、10、11為一類；多余觀測(cè)數(shù)為12、13為一類，對(duì)應(yīng)的k值分別為0.75、0.64、0.58。當(dāng)多余觀測(cè)數(shù)為第一類時(shí)，k值波動(dòng)較大；當(dāng)多余觀測(cè)數(shù)為第二類時(shí)，k值顯著減小且趨于穩(wěn)定；當(dāng)多余觀測(cè)數(shù)為第三類時(shí)，k值為0.58，且波動(dòng)很小。

圖2 方位角觀測(cè)值的方差估值的評(píng)定參數(shù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

圖3 距離觀測(cè)值的方差估值的評(píng)定參數(shù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

圖4 多余觀測(cè)數(shù)為13時(shí)方差分量估值的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

圖5 多余觀測(cè)數(shù)為9時(shí)方差分量估值的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

圖6 多余觀測(cè)數(shù)為5時(shí)方差分量估值的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

從圖4～圖8可得，當(dāng)多余觀測(cè)數(shù)為5時(shí)，估值精度較低，當(dāng)多余觀測(cè)數(shù)為9時(shí)，估值精度得到了顯著提高，并且與多余觀測(cè)數(shù)為13時(shí)的結(jié)果十分接近。

為了進(jìn)一步分析多余觀測(cè)數(shù)與k值的關(guān)系，通過(guò)計(jì)算得到k值均值以及k值相對(duì)減小的百分比，如圖8及表3所示。由圖8可知，多余觀測(cè)數(shù)對(duì)方向k值影響較大，當(dāng)多余觀測(cè)數(shù)為5時(shí)，k均值為1.314，當(dāng)多余觀測(cè)數(shù)為8時(shí)，k均值為0.706，k均值相對(duì)減小了46.3%，當(dāng)多余觀測(cè)數(shù)大于10時(shí)，k值幾乎不變；從圖8來(lái)看，多余觀測(cè)數(shù)對(duì)距離k值影響相對(duì)較小。從表3可以看到，多余觀測(cè)數(shù)為9時(shí)比多余觀測(cè)數(shù)為8減小了11.2%，多余觀測(cè)數(shù)為12時(shí)比多余觀測(cè)數(shù)為11減小了8.9%。

圖7 多余觀測(cè)數(shù)為13和9時(shí)中誤差估值的散點(diǎn)圖

圖8 多余觀測(cè)數(shù)為13和5時(shí)中誤差估值的散點(diǎn)圖

圖9 K值均值與多余觀測(cè)數(shù)關(guān)系

文獻(xiàn)[10]指出，方差分量估值的中誤差小于方差分量自身數(shù)值的1/2時(shí)，估值結(jié)果精度較好，此時(shí)多余觀測(cè)數(shù)為20；考慮成本、效率等各種因素，這樣的要求很難達(dá)到。圖3顯示，距離k具有明顯的分類現(xiàn)象，當(dāng)多余觀測(cè)數(shù)為9時(shí)，方向k值為0.707、距離k值為0.644，并且其估值精度相對(duì)于5時(shí)得到了顯著地提高；當(dāng)多余觀測(cè)數(shù)為13時(shí)，方向、距離k值為0.534，0.585，但是從圖4、圖5、圖7來(lái)看，其精度提高不顯著。通過(guò)函數(shù)擬合，得到k均值與多余觀測(cè)數(shù)的函數(shù)關(guān)系，如圖9所示。可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)多余觀測(cè)數(shù)為9時(shí)，函數(shù)在此處斜率最大，即k值顯著減小，隨著多余觀測(cè)數(shù)增加，曲線趨平；通過(guò)圖7、圖8可以發(fā)現(xiàn)，多余觀測(cè)數(shù)為9時(shí)中誤差估值散點(diǎn)圖與13時(shí)幾乎一致，相對(duì)于多余觀測(cè)數(shù)為5時(shí)精度得到顯著提升；綜合考慮精度、效率等因素，認(rèn)為在本算例中多余觀測(cè)數(shù)取9，即k取0.7為宜。

表3 多余觀測(cè)數(shù)與k 值關(guān)系

可以得到以下結(jié)論：

(1)多余觀測(cè)數(shù)從13減少到5時(shí)，方差分量估計(jì)結(jié)果在一次解算中具有隨機(jī)性，方位角和距離中誤差的估值與模擬精度一致；多余觀測(cè)數(shù)越少，估計(jì)結(jié)果就越離散。

(2)多余觀測(cè)數(shù)從13減少到5時(shí)，方位角觀測(cè)值方差估值的評(píng)定參數(shù)由0.54附近變化到1.41附近，距離觀測(cè)值方差估值的評(píng)定參數(shù)由0.58附近變化到1.40，即隨著多余觀測(cè)數(shù)的減少，k值逐漸增大。

(3)在不同等級(jí)控制網(wǎng)的數(shù)據(jù)平差處理中，可以選取一個(gè)合適的評(píng)定參數(shù)k作為衡量多余觀測(cè)數(shù)對(duì)方差分量估值影響的評(píng)判依據(jù)。在本算例中k的合適取值為0.7。

4 結(jié)束語(yǔ)

多余觀測(cè)數(shù)對(duì)方差分量估計(jì)的精度具有十分重要的影響。方差分量估值的精度隨著多余觀測(cè)數(shù)的減少而變差，當(dāng)多余觀測(cè)數(shù)過(guò)少時(shí)，所得方差分量的估值會(huì)出現(xiàn)負(fù)值；在平差處理中，如果要使用方差分量估計(jì)定權(quán)，為了保證結(jié)果的可靠性，必須具有足夠的多余觀測(cè)。