韓學(xué)思 鄧天擇

摘要：本文我想要總結(jié)出一些研究問題的方法和角度。我在看美國的一檔電視節(jié)目《Let's Make a Deal》時看到了這個三門問題：假如你在參加一個游戲，有三扇門1、2、3：其中有一扇門后面放著一輛汽車，另外兩扇門后面是山羊，你會贏得你選擇的那扇門后面的禮物。游戲開始時，你任意選擇一扇門，假如為門1。主持人從剩余兩扇門中選擇一扇后面不是汽車的門打開，比如為門3，現(xiàn)在主持人問：為了贏得車，是否要改選門2（另外一扇沒有被打開的門）？

本文的研究方法：窮舉法；理論分析法；仿真法；轉(zhuǎn)換法（放縮法）

首先我們做出如下假設(shè)：

·現(xiàn)在有三扇門，只有一扇門有汽車，其余兩扇門的都是山羊。

·汽車事前是等可能地被放置于三扇門的其中一扇后面。

·參賽者在三扇門中挑選一扇。他在挑選前并不知道任意一扇門后面是什么。

·主持人知道每扇門后面有什么。

·如果參賽者挑了一扇有山羊的門，主持人必須挑另一扇有山羊的門。

·如果參賽者挑了一扇有汽車的門，主持人等可能地在另外兩扇有山羊的門中挑一扇門。

那么參賽者現(xiàn)在有兩種選擇，保持他的原來選擇，或者是轉(zhuǎn)而選擇剩下的那一扇門。

我們用幾種方法來研究這個問題

共有3種情況，如果選擇“不換”，其中有一種情況會贏得車，所以贏車的概率為1/3；如果選擇換，其中有兩種情況會贏得車，所以贏車的概率為2/3。由此，應(yīng)該換，選擇換門后，贏車的概率從1/3提高到2/3.

角度2：理論分析法

有三種可能的情況，全部都有相等的可能性（1/3）︰

參賽者挑山羊一號，主持人挑山羊二號。轉(zhuǎn)換將贏得汽車。

參賽者挑山羊二號，主持人挑山羊一號。轉(zhuǎn)換將贏得汽車。

“參賽者挑汽車，主持人挑羊一號。轉(zhuǎn)換將失敗”，和“參賽者挑汽車，主持人挑羊二號。轉(zhuǎn)換將失敗?！贝饲闆r的可能性為

角度3：仿真法

另一種解答是假設(shè)你永遠都會轉(zhuǎn)換選擇，這時贏的唯一可能性就是選一扇沒有車的門，因為主持人其后必定會開啟另外一扇有山羊的門，消除了轉(zhuǎn)換選擇后選到另外一只羊的可能性。因為門的總數(shù)是三扇，有山羊的門的總數(shù)是兩扇，所以轉(zhuǎn)換選擇而贏得汽車的概率是2/3，與初次選擇時選中有山羊的門的概率一樣。

補充說明：

第一次選的空門（概率66.6%），之后主持人開另一個空門，換門，得到汽車；

第一次選的汽車（概率33.3%），之后主持人開另一個空門，不換門，得到汽車；

這里影響到結(jié)果的概率問題只發(fā)生在第一次選門上，如果條件如上設(shè)置，當一開始的門選定后，事件的結(jié)果也就決定了，所以這里不存在之后主持人是選擇1號空門，還是2號空門的問題，所以在做概率計算是不考慮主持人的選擇。如果也要考慮主持人的話：

第一次選的空門1（概率1/3），之后主持人開另一個空門，換門，得到汽車。 事件總概率 1/3

第一次選的空門2（概率1/3），之后主持人開另一個空門，換門，得到汽車。 事件總概率 1/3

第一次選的汽車（概率1/3），之后主持人開另一個空門1（概率1/2），不換門，得到汽車 這個事件總概率

第一次選的汽車（概率1/3），之后主持人開另一個空門2（概率1/2），不換門，得到汽車 這個事件總概率

主持人選1號空門還是2號空門打開，這里有個主持人的選擇概率，我假設(shè)的是主持人隨機選擇（抽簽或者隨意），所以各給了50%的概率，如果主持人就是喜歡1號空門，必開1號，那么也就成了1號（100%），2號（0%）了，最后結(jié)果并不影響。

所以開始選中汽車，最后換門不得獎的概率是33.3%，開始選中空門，換門最后得獎的概率是66.6%。

角度4：定性分析

或許，3扇門并不利于我們研究這一問題，不妨將3擴大為50，甚至100.當我們選中其中一扇門時，主持人打開了98扇門后沒有汽車的門，那么這時候，換與不換其實是很明確的。畢竟，你在一開始就在100扇門中選到有車的門的幾率是很小的。

結(jié)論： 通過以上幾種方法的計算，可以明顯看出換門得獎的概率更高

在題目設(shè)定中，事實上是以”主持人知道哪扇門后面有車“為前提的，此時不妨換一個題目，假設(shè)主持人也什么都不知道，只是在你選定一扇門的前提下，再在剩下兩扇門中隨機打開一扇，而非是直接打開門后為山羊的門，此時題目便會變得異常簡單，結(jié)果也會與大家所接受的二分之一更為符合。

由此可知，概率的大小實際上與已知信息有很大的關(guān)系。在上一個問題中，主持人的“知情”與“智障”使結(jié)果有了很大的變化。不妨看一個在幾年前被熱議的一個關(guān)于生男生女的概率問題。

1.已知夫婦有兩個孩子，并且老大是男孩，問另一個孩子是男孩的概率是多少？

首先，我們必須承認一個常識模型：男，女是等概率事件，并且兩個孩子是男是女是獨立事件，互不影響。用1表示男，0表示女。（i，j）可以表示所有可能的情況（i，j為0或1）。

在這里，“老大是男孩”，告訴我們的信息是i=1.因此另一個孩子是男孩的情況是（1，1）。

用條件概率計算得（1/4）/（1/2）=1/2.1/4表示（1，1）發(fā)生的概率，1/2表示i=1發(fā)生的概率。

2.已知夫婦有兩個孩子，并且有至少一個是男孩，問另一個孩子是男孩的概率是多少？

有人看不出兩個問題的區(qū)別，就會導(dǎo)致仍然認為是1/2.

實際上：“老大是男孩”可以得出“至少有一個是男孩”，但是“至少有一個是男孩”得不出“老大是男孩”，也就是說問題2中的條件更弱，事件更廣泛。這里的P（1，1）永遠都不會變，依然是1/4.關(guān)鍵是條件概率中的分母變大了（即條件弱了），容易算出至少有一個是男孩的該老師3/4，因此在這個條件下的概率是1/3.

從前兩個類似的題目，我們可以自然而然地得出概率的大小除了原始模型之外，也受到條件影響。

每道題的題目可能十分相似，或許只是題目中的一個很簡單語句中一個字、一個詞的改變就會對結(jié)果產(chǎn)生影響，這或許就是概率的魅力吧。

用不同的方法角度思考概率問題，研究概率問題除了能帶來解題的快樂，得出結(jié)論的成就感。事實上也能讓你在一定程度上做出更好的規(guī)劃，成為生活的主人。