陳宇　李洪宇

摘要：針對(duì)電容層析成像（ECT）技術(shù)中的“軟場(chǎng)”效應(yīng)和病態(tài)問(wèn)題，提出了一種Huang族校正的電容層析成像圖像重建算法。首先依據(jù)ECT系統(tǒng)的基本原理，推導(dǎo)出ECT問(wèn)題中Huang族校正的校正公式，其次給出校正后用于ECT反問(wèn)題求解仿真實(shí)驗(yàn)的迭代公式。最后，采用數(shù)字仿真模擬實(shí)驗(yàn)方式，驗(yàn)證提出方法的有效性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，Huang族校正方法對(duì)于極低位、低位、核心流而言，圖像誤差分別降到2439%、2581%和4091%，均低于LBP、Landweber、SD和CG方法；對(duì)于極低位、低位及柱狀流而言，迭代次數(shù)分別為12、12、27次，比Landweber算法和SD法都要低，綜合分析，可知Huang族校正方法實(shí)驗(yàn)效果良好。

關(guān)鍵詞：

電容層析成像； Huang族校正；圖像重建

DOI：10.15938/j.jhust.2018.05.014

中圖分類(lèi)號(hào)： TN 91173

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1007-2683（2018）05-0080-06

Abstract：To solve the ‘softfield nature and the illposed problem in electrical capacitance tomography technology， a Huang clan correction image reconstruction algorithm for electrical capacitance tomography is presented Firstly，according to the basic principles of the Electrical Capacitance Tomography system， the formula of Huang clan correction in the problem of capacitance tomography is derived Secondly， the iterative formula for simulation experiment is given after the correctionFinally， the validity of the proposed method is verified by digital simulationThe simulation experiment results show that the error of the image for extremely low layer flow，low layer flow and core flow dropped to 2439%，2581% and 4091% respectively Results were lower than Linear Back Projection method，Landweber method，Steepest Descent method and Conjugate Gradient method In addition，the number of iterations were maintained at 12，12 and 27times，also less than the Landweber method and the Steepest Descent method The results of the analysis show that the effect of the Huang Clan Correction Image Reconstruction Algorithm are good

Keywords：electrical capacitance tomography； Huang clan correction； image reconstruction

0引言

過(guò)程層析成像技術(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)為（process tomography，PT）技術(shù)。其包括電容層析成像技術(shù)（electrical capacitance tomography， ECT）、電阻層析成像技術(shù)（electrical resistance tomography，ERT）和電磁層析成像技術(shù)（electromagnetic tomography，EMT）。他們分別依據(jù)測(cè)量不同的電學(xué)特性，來(lái)進(jìn)行相關(guān)信息的重建工作。其中ECT技術(shù)就是利用傳感器測(cè)量得到的電容信號(hào)，依照某種算法重建出介質(zhì)內(nèi)部的介電常數(shù)分布情況。

ECT技術(shù)作為PT技術(shù)的一種，相比其他PT技術(shù)而言， 擁有諸多優(yōu)點(diǎn)。如成本低、可靠性高、簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)等[1-2]。另外ECT的非侵入性、高安全性和高速度性使其在解決連續(xù)相非導(dǎo)電物質(zhì)的兩相流、多相流成像問(wèn)題中產(chǎn)生很好的效果。ECT技術(shù)的適用范圍廣泛，現(xiàn)已在化工、石油和醫(yī)藥等眾多兩相流和多相流檢測(cè)領(lǐng)域有相應(yīng)的應(yīng)用[3]。

自從ECT技術(shù)出現(xiàn)以后，大量的圖像重建算法被國(guó)內(nèi)外的眾學(xué)者所提出。Isaksen O在1996年就對(duì)ECT的各種圖像重建算法進(jìn)行過(guò)一次綜合表述[4]。近些年，Tikhonov正則化方法[5]、正則化的GaussNewton方法[6]、快速模擬退火全局優(yōu)化算法[7]、遺傳算法[8]、支持向量機(jī)法等一系列新的ECT圖像重建算法又被提出。

目前，對(duì)于ECT圖像重建最常用幾種方法[9]有直接算法中的LBP（linear back projection）法[10]和Tikhonov正則化法，迭代算法中的共軛梯度（conjugate gradient ，CG）法[11]和Landweber迭代法[12]。

ECT圖像重建是一個(gè)高度非線性問(wèn)題，因ECT技術(shù)具有的“軟場(chǎng)”特性，該問(wèn)題屬于病態(tài)問(wèn)題求解。采用針對(duì)與該非線性問(wèn)題“鄰近”的線性問(wèn)題的解法不斷逼近要得到的解的這樣一種思想是簡(jiǎn)單而有效的。

ECT技術(shù)是否可以成功應(yīng)用關(guān)鍵取決于ECT反問(wèn)題求解的精度與速度的優(yōu)劣[13]。LBP算法的成像速度非?？?，但其成像精度上卻有很大的不足[14]。CG算法在復(fù)雜流型上的成像精度并不特別理想。模擬退火算法、遺傳算法和支持向量機(jī)法在某方面的優(yōu)越性上有所強(qiáng)化，但卻以犧牲其它性能作為代價(jià)，因此只能在特定領(lǐng)域中有所應(yīng)用。

電容層析成像技術(shù)要實(shí)現(xiàn)滿足工業(yè)實(shí)際應(yīng)用需求的目標(biāo)，緊緊地依賴(lài)于ECT圖像重建算法的效果，所以尋找優(yōu)秀的ECT圖像重建算法是值得一直研究的目標(biāo)。

本文提出了一種基于Huang族校正的電容層析成像圖像重建算法，目的是獲得更好的電容層析成像圖像重建效果。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明該算法可以達(dá)到研究目的。在與采用LBP、經(jīng)典Landweber、CG以及SD（steepest descent）方法的仿真實(shí)驗(yàn)的重建圖像、誤差率和迭代次數(shù)進(jìn)行對(duì)比后，可以發(fā)現(xiàn)本文提出的基于Huang族校正的電容層析成像圖像重建方法顯示出了其自身精度和速度上的優(yōu)勢(shì)。

1電容層析成像系統(tǒng)及ECT技術(shù)原理概要

在ECT研究中，常用的有6、8、12、16電極的ECT系統(tǒng)。這里來(lái)討論典型12電極的ECT系統(tǒng)。12電極ECT系統(tǒng)主要組成部分有：電容傳感器、測(cè)量與數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和成像計(jì)算機(jī)[15-18]，如下圖1所示。

ECT技術(shù)的原理就是，根據(jù)不同相元素介電常數(shù)各不相同的特性，用電容傳感器上的電極板對(duì)被測(cè)流體施加電壓后，經(jīng)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)測(cè)得的流體流動(dòng)產(chǎn)生的變化的電容值，通過(guò)ECT圖像重建算法，得到不同相元素的介電常數(shù)的分布，得到被測(cè)流體的截面重建圖像[19-20]。

通常，一個(gè) N 電極ECT系統(tǒng)中，獨(dú)立電極對(duì)的總數(shù)M滿足以下公式：

M=C2N=N（N-1）/2（1）

首先以這12 個(gè)極板的中某個(gè)極板為起點(diǎn)，依次對(duì)這 12 個(gè)極板進(jìn)行編號(hào)。在測(cè)量過(guò)程中，首先編號(hào)為1的電極板被選擇為源極板，即公共電極。然后為源極板加一固定電壓值 U，再依次選取電極板

2、3、…、12 作為檢測(cè)電極板，分別對(duì)電極板對(duì) 1-2、1-3、…1-12之間的電容值進(jìn)行測(cè)量，且在每次測(cè)量時(shí)，都將其它閑置電極接地。接下來(lái)，繼續(xù)選擇電極 2作為公共電極，同理測(cè)出電極對(duì)2-3、2-4、…、2-12的電容值。依此類(lèi)推，直至完成電極對(duì) 11-12 的電容值測(cè)量。此時(shí)，共能得到 66 個(gè)獨(dú)立的測(cè)量電容值。

現(xiàn)今，大部分的ECT圖像重建算法都是基于介電常數(shù)到電容映射的線性模型。經(jīng)過(guò)離散化、線性化和歸一化的模型[21-22]如式（2）所示：

C=SG（2）

式中，C∈Rm表示歸一化電容向量，S∈Rm×n表示系數(shù)矩陣（靈敏度矩陣），G∈Rn表示歸一化介質(zhì)分布圖像向量。其中，ECT圖像重建的任務(wù)就是由給定的電容值C最終求解得到介電常數(shù)分布G。

2基于Huang族校正方法的電容層析成像反問(wèn)題求解

有這樣一個(gè)目標(biāo)函數(shù)：f（x），設(shè)f∶Rn→R在開(kāi)集DRn上二次連續(xù)可微，f在xk+1附近的二次近似為：

f（x）≈f（xk+1）+gTk+1（x-xk+1）+

12（x-xk+1）Lk+1（x-xk+1）（3）

對(duì)其求導(dǎo)則有：

g（x）≈gk+1+Lk+1（x-xk+1）（4）

令x=xk，yk=gk+1-gk，zk=xk+1-xk，那么將有：

L-1k+1yk≈zk（5）

現(xiàn)在，設(shè)Tk是第k次迭代的Hesse逆近似。矩陣Tk滿足

Tk+1yk=γzk（6）

其中γ是一個(gè)參數(shù)。Huang族算法應(yīng)用于二次函數(shù)時(shí)，產(chǎn)生共軛方向，具有二次終止性。所有Huang族校正公式都產(chǎn)生相同的迭代點(diǎn)列。對(duì)于非二次函數(shù)，Huang族校正公式所產(chǎn)生的點(diǎn)列僅依賴(lài)于參數(shù)γ[23]。

設(shè)Huang族校正公式為：

Tk+1=Tk+ΔM（7）

（6）式稱(chēng)為廣義擬牛頓條件。為了滿足我們（6），我們假定式（7）中的ΔM為zk與Tkyk的線性組合。即可以簡(jiǎn)單表示為：

ΔM=zkpTk+TkykqTk（8）

其中，pk和qk是待定的n維向量。pk和qk滿足下列條件：

pTkyj=0，j=0，1，…，k-1；ρ，j=k，（9）

qTkyj=0，j=0，1，…，k-1；-1，j=k，（10）

選擇pk和qk為zk與Tkyk的線性組合，式（9）式（10）將得到滿足。如下：

pk=m11zk+m12TTkyk （11）

qk=m21zk+m22TTkyk（12）

適當(dāng)選擇pk和qk滿足

pTkyk=γ（13）

qTkyk=-1（14）

那么，我們得到Huang族校正公式為：

Tk+1=Tk+zkpTk+TkykqTk（15）

其中pk和qk分別由式（11）式（12）給出，并且滿足式（13）和式（14）。所以，可知在式（15）中，有五個(gè)參數(shù)，分別為γ和mrc，這五個(gè)參數(shù)中有三個(gè)為自由參數(shù)，Huang族校正公式依賴(lài)于這三個(gè)參數(shù)。

令γ=1，并使Tk對(duì)稱(chēng)，這時(shí)m12=m21，我們讓m11為自由參數(shù)，這時(shí)，

m12=m21=1-m11sTkykyTkHkyk（16）

m22=-（1+m12sTkyk）yTkHkyk（17）

在ECT問(wèn)題中，有：

zk=ΔG=Gk+1-Gk（18）

yk=STS（Gk+1-Gk）（19）

令

ρ=m11（ΔGTSTSΔG）2-ΔGTSTSΔG（STSΔG）TTkSTSΔG（20）

所以此時(shí)式（15）將寫(xiě)成：

Tk+1=Tk+ΔGΔGTΔGTSTSΔG

-TkSTSΔG（STSΔG）TT（STSΔG）TTkSTSΔG+ρrkrTk（21）

其中

rk=STSΔGTTkSTSΔG12ΔGΔGTSTSΔG

TkSTSΔGSTSΔGTTkSTSΔG（22）

下面把ECT問(wèn)題使用Huang族校正來(lái)進(jìn)行計(jì)算：

1）令ek=-Tkgk；

2）沿方向ek進(jìn)行線性搜索，則有：

Gk+1=Gk+φkek；

3）對(duì)Tk根據(jù)Huang族校正公式進(jìn)行校正，將得到Tk+1；

初始的Hesse取為單位矩陣，并且在正定矩陣STS后加上帶系數(shù)的單位矩陣以解決在具有不適定性和病態(tài)性的ECT反問(wèn)題中當(dāng)靈敏度矩陣S奇異時(shí)，迭代收斂到一個(gè)非駐點(diǎn)的問(wèn)題，所以我們最終得到的ECT反問(wèn)題求解的迭代公式為下式：

Gk+1=（STS+kH+Tk）（STC-STSGk）+Gk（23）

3仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果

基于以上理論，進(jìn)行模擬仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證算法求解ECT圖像重建這一反問(wèn)題的效果。針對(duì)極低位層流、低位層流、小半徑核心流以及柱狀流這四種流型進(jìn)行預(yù)設(shè)置并采用MATLAB配合12電極的ECT系統(tǒng)來(lái)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)環(huán)境設(shè)定在配置Intel（R） Core（TM） i76700 @ 34GHz處理器，安裝內(nèi)存40GB，64位操作系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)上。

依據(jù)以上實(shí)驗(yàn)條件，根據(jù)本文中提出的Huang族校正方法進(jìn)行ECT圖像重建，得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果后，將其與LBP（線性反投影）法、經(jīng)典Landweber法、CG（共軛梯度）法和SD（最速下降）法的圖像重建結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

ECT反問(wèn)題求解中良好的精度與合理的速度是ECT技術(shù)能夠成功應(yīng)用的關(guān)鍵。在該仿真實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)精度的確定依靠空間圖像誤差來(lái)判定。誤差計(jì)算公式（24）如下：

ε=∑ni=1gi（img）-gi（init）∑ni=1gi（init）（24）

式中：n表示成像區(qū)域單元總數(shù)；gimg表示重建圖像向量；ginit表示介質(zhì)分布原型圖像向量；i表示成像區(qū)域剖分單元索引。

實(shí)驗(yàn)速度則依照實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的迭代次數(shù)來(lái)判定。迭代次數(shù)N越大，表示ECT圖像重建的時(shí)間花銷(xiāo)越大。設(shè)定實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生的迭代誤差滿足公式（25）即停止迭代。

‖SGk-C‖<ξ（25）

Huang族校正算法（簡(jiǎn)寫(xiě)為Huang）成像結(jié)果與其它算法成像結(jié)果對(duì)比以及分析如下：

從上面的成像結(jié)果對(duì)比可以看出，這幾種算法重建的圖像可以說(shuō)在形狀上均大體接近原始流型，但與標(biāo)準(zhǔn)原始圖像對(duì)比上的視覺(jué)誤差各不相同。其中，對(duì)于極低位層流，Landweber方法和Huang族校正方法的成像效果相對(duì)更好，且Huang族校正方法的成像效果更佳。很明顯，對(duì)于低位層流和核心流，Huang族校正方法最接近原始圖像。

表2展示了各種方法重建的圖像與原始圖像的誤差百分比。I 、II 、III 、IV分別代表極低位層流、低位層流、核心流以及柱狀流?？梢詮闹锌闯?，對(duì)于I 、II 、III這3種流型，采用Huang族校正方法所成圖像的誤差率均為最低，與表1中所顯示結(jié)果基本一致。

從表3可看出，對(duì)于I、II、IV 3種流型，Huang族校正方法的成像迭代次數(shù)均比Landweber方法和SD方法要少，且結(jié)合表2，可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于這3種流型，Huang族校正方法的成像誤差百分比也是這3種方法中最低的。在流型I、II和III上，Huang族校正方法與CG法相比較，雖然迭代步數(shù)均有增加，但綜合表2我們發(fā)現(xiàn)，這3種流型成像的誤差百分比卻明顯要比CG法低，特別對(duì)于流型II，CG法和Huang族校正方法的成像迭代次數(shù)明顯低于Landweber方法和SD方法，且成像誤差百分比也均低于其它方法，Huang族校正方法的迭代次數(shù)只比CG法的迭代次數(shù)增加了很少的幾步，但是在成像誤差百分比上卻又有所下降。

綜合以上分析，可以知道采用該種Huang族校正方法來(lái)進(jìn)行ECT圖像重建是一種值得考慮的方法。其在圖像重建的精度與速度上均有其優(yōu)勢(shì)。

目標(biāo)算法與其他算法的范數(shù)殘量誤差比較如下：

圖2分別針對(duì)于以上實(shí)驗(yàn)的4種流型，來(lái)對(duì)經(jīng)典Landweber、 SD、CG及Huang族校正算法的0～20步迭代的2范數(shù)殘量誤差進(jìn)行比較，其中藍(lán)色曲線表示Huang族校正方法的范數(shù)殘量誤差曲線。由圖中信息可得知，對(duì)于極低位層流、層流這兩個(gè)流型，Huang族校正方法在迭代約第3步的時(shí)候就已經(jīng)得到最好的范數(shù)殘量誤差，且對(duì)于極低位層流，整體上Huang族校正方法的范數(shù)殘量誤差都要小于經(jīng)典Landweber方法和CG法；對(duì)于低位層流，Huang族校正方法的范數(shù)殘量誤差在一定范圍內(nèi)是最小的。對(duì)于核心流，Landweber方法、SD法以及Huang族校正方法，范數(shù)殘量誤差均整體在05以下，明顯要穩(wěn)定于CG法。對(duì)于柱狀流，Huang族校正方法在迭代一開(kāi)始，其范數(shù)殘量誤差比其他3種方法的范數(shù)殘量誤差均要小，隨著迭代步數(shù)的增加，逐漸接近于經(jīng)典Landweber方法，并保持在其附近范圍。

綜合以上分析，可以知道采用該種Huang族校正方法來(lái)進(jìn)行ECT圖像重建是一種值得考慮的方法。其在圖像重建的精度與速度上均有其優(yōu)勢(shì)。

4結(jié)論

本文依據(jù)ECT圖像重建這一反問(wèn)題的病態(tài)性提出了一種運(yùn)用Huang族校正的方法來(lái)解決ECT圖像的重建的問(wèn)題。詳細(xì)給出了該種校正方法在ECT圖像重建這一反問(wèn)題中的校正公式。最后依照利用Huang族校正公式而得到的ECT反問(wèn)題求解迭代公式而進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。仿真實(shí)驗(yàn)及其結(jié)果證明了此Huang族校正方法是在解決ECT圖像重建問(wèn)題上是一個(gè)有效的方法。在與LBP、經(jīng)典Landweber、CG以及SD方法的重建圖像、誤差率和迭代次數(shù)的對(duì)比上，基于Huang族校正的方法顯示出了其自身精度和速度上的優(yōu)勢(shì)。該方法高效且簡(jiǎn)單，是一種解決ECT圖像重建問(wèn)題的有效方法。

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（編輯：關(guān)毅）