周鵬宇 李晗 宋更新 劉 帥 王 波 侯樸賡

(東北電力大學(xué)理學(xué)院 吉林 吉林 132012)(吉林農(nóng)業(yè)科技學(xué)院文理學(xué)院 吉林 吉林 132101)(東北電力大學(xué)理學(xué)院 吉林 吉林 132012)

角動(dòng)量是研究物體轉(zhuǎn)動(dòng)的重要物理量, 是轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)的核心概念之一.目前, 絕大多數(shù)大學(xué)物理教材在介紹角動(dòng)量時(shí)[1～7], 都是先定義質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量, 再通過(guò)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量推演出剛體和一般質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量.然而, 由于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量是力學(xué)中最初涉及物理量間矢積運(yùn)算的物理量之一, 它與學(xué)生之前所遇到的物理量都不相似, 具有明顯的特殊性, 會(huì)使初次接觸它的學(xué)生感到十分陌生, 不容易理解和掌握.本文提出了講解和闡釋剛體、質(zhì)點(diǎn)以及一般質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量概念和相關(guān)理論的新思路: 通過(guò)將描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)物理量和描述質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)物理量進(jìn)行類(lèi)比, 引入剛體角動(dòng)量概念及其表達(dá)式; 利用轉(zhuǎn)動(dòng)定律推導(dǎo)出角動(dòng)量定理, 闡釋角動(dòng)量引入的合理性和物理意義;再通過(guò)剛體角動(dòng)量的表達(dá)式討論得出質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量和一般質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量, 說(shuō)明角動(dòng)量概念及其相關(guān)理論的普適性.

用來(lái)研究剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量, 如角速度ω,轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能ET,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J,力矩M和角加速度α等, 與用來(lái)研究質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量, 如速度v,動(dòng)能Ek,質(zhì)量m,力F和加速度a等具有很強(qiáng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系, 比如:ω和v相似, 都代表研究對(duì)象運(yùn)動(dòng)的快慢; 剛體的ET可由質(zhì)點(diǎn)的Ek導(dǎo)出, 且表達(dá)式相似

L=Jω

(1)

那么猜想得到的這個(gè)新概念是否合理和有意義呢？這需要驗(yàn)證一下.如何驗(yàn)證?可以檢驗(yàn)它與已知物理量間是否存在聯(lián)系, 或者看看它是否可以由已知的物理量衍生出來(lái).由于角動(dòng)量L表達(dá)式中含有J和ω兩個(gè)量, 因此它應(yīng)與力矩M有緊密聯(lián)系; 因?yàn)镸=Jα, 與L相似都是由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角量構(gòu)成.將M=Jα式子的兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間積分得

(2)

由此可知, 作用在剛體上的力矩對(duì)時(shí)間的累積等于剛體末態(tài)角動(dòng)量和初態(tài)角動(dòng)量之差, 這表明是一個(gè)用來(lái)描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的狀態(tài)參量.

一般情況下, 剛體可能會(huì)同時(shí)受到多個(gè)力矩作用.按照這些力矩來(lái)源的不同可將它們劃分為內(nèi)力矩和外力矩.對(duì)于剛體(或一般物體)而言, 內(nèi)力是源于其內(nèi)部各質(zhì)元的相互作用, 由牛頓第三定律可知, 作用力和反作用力始終大小相等、方向相反, 且作用的位置相互重合; 由此可知作用力和反作用力形成的力矩必然是大小相等方向相反的, 又由于作用力和反作用力總是成對(duì)出現(xiàn), 因此可知它們對(duì)總力矩貢獻(xiàn)為零, 即內(nèi)力矩之和為零.由此推論, 一個(gè)剛體(或一般物體)角動(dòng)量的變化應(yīng)來(lái)源于合外力矩的作用, 即

(3)

此為角動(dòng)量定理.

角動(dòng)量定理還有一個(gè)重要的推論: 當(dāng)合外力矩M外=0時(shí),L2=L1.該推論稱為角動(dòng)量守恒定律.

上面通過(guò)類(lèi)比法, 引入剛體角動(dòng)量概念, 并且討論得出角動(dòng)量和力矩之間的關(guān)系, 以及角動(dòng)量守恒.對(duì)于角動(dòng)量這個(gè)概念, 它不僅可以用來(lái)描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng), 而且可以用來(lái)描述和研究一般的質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng), 例如:繞固定點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn), 假設(shè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m, 圓周半徑為R, 角速度為ω, 那么, 該質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于固定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

J=mR2

其角動(dòng)量為

L=Jω=mR2ω

下面來(lái)考慮作一般運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于空間中某參考點(diǎn)的角動(dòng)量.

如圖1所示, 一質(zhì)點(diǎn), 其質(zhì)量為m, 速度為v, 相對(duì)于參考點(diǎn)O的位矢為r.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中位矢r相對(duì)于水平線的夾角θ隨時(shí)間變化, 因此質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)O應(yīng)具角速度ω.將v向與r平行和垂直的兩個(gè)方向上投影, 分解成v∥和v⊥.

圖1 求解質(zhì)點(diǎn)m相對(duì)于參考點(diǎn)O的角動(dòng)量的示意圖

由圖像可知, 只有v⊥對(duì)ω有貢獻(xiàn), 而v∥對(duì)ω?zé)o貢獻(xiàn); 利用角速度和線速度的關(guān)系可得

那么, 該質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)的角動(dòng)量為

根據(jù)圖1中各矢量的關(guān)系可得, 質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量表達(dá)式的矢量形式應(yīng)為

L=r×mv=r×p

(4)

單一質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于某一參考點(diǎn)的角動(dòng)量也可視為該質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于穿過(guò)該參考點(diǎn)且與速度矢量和參考點(diǎn)所在平面垂直的假想軸的角動(dòng)量[8], 那么可推知, 由多個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于某個(gè)軸也應(yīng)具有角動(dòng)量.根據(jù)矢量的可疊加性可知, 某一質(zhì)點(diǎn)系的總角動(dòng)量應(yīng)等于其內(nèi)部各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量之和, 即

(5)

以上討論表明, 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量表達(dá)式可由剛體角動(dòng)量表達(dá)式衍生出來(lái), 因此質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于某個(gè)參考點(diǎn)的角動(dòng)量同樣滿足角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律.