■杭秉全

（作者單位：江蘇省南京市雨花臺中學(xué)）

2018年4月，由江蘇教育報刊總社主辦，在無錫市蠡園中學(xué)舉辦了“第三屆江蘇省初中數(shù)學(xué)名師精品課堂觀摩與研討活動”。筆者應(yīng)主辦方邀請，在活動中執(zhí)教了一節(jié)觀摩課，課題為“初三專題復(fù)習(xí)：圖形操作與變換——翻折”，并結(jié)合本節(jié)課做了一個微型報告。筆者現(xiàn)將這節(jié)課的教學(xué)實踐與思考整理成文，與同仁交流。

一、教學(xué)實錄

1.回顧與思考。

T：翻折是一種常見的圖形操作，在我們的學(xué)習(xí)中常常出現(xiàn)。運用“翻折”，我們探索、驗證了很多重要的數(shù)學(xué)結(jié)論。如圖1，將等腰三角形翻折，我們驗證了等腰三角形三線合一、等邊對等角定理。圖2驗證了哪些定理呢？

圖1

S：圖2幾張圖的翻折分別驗證了線段垂直平分線性質(zhì)定理、角平分線性質(zhì)定理、垂徑定理、切線長定理。

T：上述圖形中，折痕兩旁的部分之間有何關(guān)系？

S：全等。

T：上述圖形中，每對關(guān)鍵點（如圖1中的點B與點C、圖2①④中的點A與點B、圖2②③中的點C與點D）與折痕之間有何關(guān)系？

圖2

S：每對關(guān)鍵點關(guān)于折痕對稱。

T：其實折痕兩旁的部分也關(guān)于折痕對稱。翻折生成軸對稱，翻折的本質(zhì)是軸對稱變換，上述圖形中都含有的圖3是軸對稱的基本圖形。

圖3

2.操作與說理。

教師用PPT呈現(xiàn)：問題1.如何用一張矩形紙片折出等腰三角形？并說明理由。

學(xué)生思考，操作。

T：請同學(xué)們展示你是如何折的？并說明理由。

幾位學(xué)生分別展示了如圖4（見下頁）中的3種不同折法，并分別就①中的△BCE、②中的△ACE、③中的△BCE是等腰三角形進行了說理。

圖4

T：幾位同學(xué)的折法正確，說理清晰。如圖4③，當點E在折痕上移動到適當?shù)奈恢?，等腰三角形將特殊化為等邊三角形?/p>

教師用PPT呈現(xiàn)：問題2.如何用一張矩形紙片折出等邊三角形？并說明理由。

圖5

圖6

學(xué)生思考，操作。

T：請同學(xué)們展示你是如何折的？

S1：如圖5，沿MN將矩形ABCD對折，沿CF折疊，使點B落在MN上，△BCE是等邊三角形。

T：你能證明△BCE是等邊三角形嗎？

S1：由第一次折疊，得CE=BE，由第二次折疊，得CE=CB，所以CE=BE=CB。因此，△BCE是等邊三角形。

T：真棒！兩次折疊，實質(zhì)是在矩形紙片上構(gòu)造了兩個如圖3的軸對稱基本圖形。折疊可以構(gòu)造軸對稱，軸對稱可以生成特殊的數(shù)量與位置關(guān)系。

3.操作與求解。

T：“折”時心中有圖形（即圖 3），“折”后不僅可進行相關(guān)結(jié)論的說理，還可進行相關(guān)線段的長度計算。請大家看下面問題。

PPT呈現(xiàn)：問題3.將矩形ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在CD邊上的點F處，折痕為BE。你能畫出折痕BE嗎？

我們的目標圖形如圖6，如何在矩形ABCD中畫出折痕BE呢？

學(xué)生思考分析，操作嘗試，交流畫法。

T：如圖 6，若AB=10，BC=8，可求圖中哪些線段的長？如何求解？

學(xué)生思考分析，展示交流CF、DE、BE的長度計算的方法。

T：請你總結(jié)解決“折疊類問題中相關(guān)計算”的方法策略。

學(xué)生交流、匯報。

教師結(jié)合DE的求解中重要過程的板書及學(xué)生的匯報，完善板書，如圖7。

圖7

T：折疊給出不變量，勾股、相似尋關(guān)系，方程模型來求解。

4.操作與探索。

教師用PPT呈現(xiàn)：問題4.如圖8，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，垂足為D，BD=2，DC=3。AD的長確定嗎？

圖8

圖9

S：AD的長確定。

T：你是如何判斷的？

S2：因為AD⊥BC，垂足為D，所以點D在BC上。由BD=2，DC=3，可知點D的位置是確定的。如果AD的長發(fā)生變化，那么點A在過D點的垂線上的位置就會改變，同時∠BAC的大小也會改變。而∠BAC=45°，所以AD的長不能改變，是確定的。

T：從變化的視角分析，清晰透徹。既然AD的長確定，如何求AD的長呢？

學(xué)生思考、討論。

T：在巡視中，發(fā)現(xiàn)同學(xué)們有不同的思考，下面請有思路的同學(xué)，和大家分享你的思考。

S3：如圖9，過點C作CE⊥AB，垂足為E，交AD于O。因為∠BAC=45°，所以AE=CE。根據(jù)“AAS”可證得△AEO≌△CEB，所以AO=BC=3+2=5。易證△COD∽△ABD，則。所以。解得OD=1。所以AD=5+1=6。

S4：如圖10，作△ABC 的外接圓⊙O，連接OA、OB、OC，則∠BOC=2∠BAC=90°。過點O分別作OM⊥BC，ON⊥AD，垂足分別為M、N。在Rt△OBC 中，OB=OC，BC=5，可求得?？勺C得四邊形OMDN為矩形，則。在Rt△ANO中，根據(jù)勾股定理，得所以AD=AN+ND=

圖10

圖11

S5：如圖11，將△ADB、△ADC分別沿AB、AC翻折，得△AD′B 、△AD″C 。延長 D′B 、D″C 交于點 E。由翻折可得∠ D′AD″=2∠BAC=90°，∠D′=∠D″=90°，AD′=AD=AD″，D′B=BD=2，D″C=DC=3。所以四邊形 AD′ED″為正方形。設(shè)AD=x，則正方形 AD′ED″邊長為x，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理可得（x-2）2+（x-3）2=（2+3）2。可解得AD=x=6。

T：3位同學(xué)思路不同，關(guān)鍵是他們從不同角度發(fā)揮了∠BAC=45°這一條件的價值。其中，前兩種解法都屬于靜態(tài)常規(guī)解法，第三種解法運用了動態(tài)變換的思路，解答過程更加簡潔。

5.小結(jié)與思考。

教師用PPT呈現(xiàn)：美籍華人布萊恩·陳是美國麻省理工學(xué)院的工藝教授，他最擅長的就是折紙。紙片的翻折成就了麻省理工學(xué)院工藝教授，今天的“翻折”復(fù)習(xí)，你收獲了什么？

圖12

S6：通過今天的復(fù)習(xí)，我們進一步認清了翻折的本質(zhì)，它最基本的圖形是圖3。

S7：翻折類問題，往往要根據(jù)軸對稱性質(zhì)、勾股定理、相似三角形性質(zhì)，運用方程模型求解。

S8：運用“翻折”可以巧妙地解決問題，如本節(jié)課問題4的“翻折”解法。

T：3位同學(xué)小結(jié)得非常好。希望今天的課能讓大家緊扣基本圖形、認清“翻折”本質(zhì)，掌握解決“翻折”類問題的基本策略，形成“翻折”變換意識，培養(yǎng)運動變化的觀念。

二、課后反思

1.復(fù)習(xí)要回歸教材。

教材是按照課程標準的要求編寫的，經(jīng)過嚴格審查，具有全面、系統(tǒng)、科學(xué)性的教學(xué)用書。它是一個課程的核心教學(xué)材料，是數(shù)學(xué)知識、方法、能力的“生長地”，是考試的重要依據(jù)，命題的“策源地”。因此，教師的“教”要立足教材，學(xué)生的“學(xué)”要始于教材，教與學(xué)的活動都要圍繞它有序開展，用好它扎實推進。復(fù)習(xí)階段的教學(xué)也不能丟掉教材，要回歸教材。這樣有助于學(xué)生對概念的再認識，形成完整的知識結(jié)構(gòu)。

本節(jié)復(fù)習(xí)課的引入，是在回歸教材中展開。5組教材定理驗證圖形，引發(fā)了學(xué)生對等腰三角形性質(zhì)定理、線段垂直平分線性質(zhì)定理、角平分線性質(zhì)定理、垂徑定理、切線長定理的回顧；將它們集中呈現(xiàn)在一起，引發(fā)了學(xué)生對它們之間的聯(lián)系與共同特征的思考。在“折痕兩旁的部分之間有何關(guān)系”的思考中，認清翻折的本質(zhì)，提煉出翻折的基本圖形。

2.復(fù)習(xí)要突出本質(zhì)。

“本質(zhì)”是指事物本身所固有的，決定事物性質(zhì)、面貌和發(fā)展的根本屬性。數(shù)學(xué)本質(zhì)在宏觀上就是指“什么是數(shù)學(xué)”“數(shù)學(xué)是什么”；在微觀上是指具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的本真意義，隱藏其背后的數(shù)學(xué)規(guī)律，統(tǒng)攝它的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)教學(xué)要突出“本質(zhì)”，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，把握數(shù)學(xué)思維方式，感悟數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)，更要突出本質(zhì)，加強聯(lián)系，形成認知結(jié)構(gòu)。

本節(jié)課，在“回顧與思考”環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在“對由翻折驗證的幾個定理的回顧、再認識、再思考”中，厘清翻折生成軸對稱，翻折的本質(zhì)是軸對稱變換。在“操作與說理”“操作與求解”“操作與探索”三個環(huán)節(jié)，讓學(xué)生通過實踐操作，數(shù)學(xué)思考、說理、求解、探索，進一步認清“翻折”前后兩部分成軸對稱的本質(zhì)特征，感悟“翻折”中滲透的運動變化觀念。

3.復(fù)習(xí)要提煉方法。

提煉方法是科學(xué)思維的重要手段之一。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師不僅要向?qū)W生傳授數(shù)學(xué)知識，還要挖掘、提煉知識背后隱含的數(shù)學(xué)思想方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。復(fù)習(xí)課更要重視解題方法的提煉，讓學(xué)生能舉一反三，從而提高在解題時思維的敏捷性。

本節(jié)課的“操作與求解”環(huán)節(jié)設(shè)計思路是：讓學(xué)生在操作中認識折疊的價值，從而思考求解；在解題后反思提煉，形成策略方法。其中，解決問題后的反思活動，先讓學(xué)生總結(jié)解決“折疊類問題中相關(guān)計算”的方法策略，而后在學(xué)生反思、交流的基礎(chǔ)上，概括、提煉形成了如圖7的板書。這樣讓學(xué)生參與，教師提煉，并形成板書的解題反思更充分、更有效。

4.復(fù)習(xí)要學(xué)生參與。

復(fù)習(xí)是幫助學(xué)生對已學(xué)知識進行系統(tǒng)回憶并產(chǎn)生再認識的過程。因為具體知識內(nèi)容已學(xué)過，所以復(fù)習(xí)課沒有了新鮮感。簡單的重復(fù)式復(fù)習(xí)只會讓學(xué)生感到枯燥、乏味，教師“滿堂灌”式的復(fù)習(xí)只會讓學(xué)生缺乏主動性，這些都會導(dǎo)致學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)狀態(tài)不積極、不配合，甚至是不參與，復(fù)習(xí)的效率低下。因此，提高復(fù)習(xí)課的效率，除了知識梳理、精選例習(xí)題之外，還要精心設(shè)計活動，讓學(xué)生積極參與。

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計，不是單調(diào)的知識梳理后的“解題教學(xué)”式復(fù)習(xí)，而是問題導(dǎo)引下的“綜合實踐活動”式復(fù)習(xí)。在回顧教材，認清“翻折”的數(shù)學(xué)本質(zhì)之后，圍繞“翻折”這一復(fù)習(xí)主題，以4個問題為載體，引領(lǐng)學(xué)生在“折紙”操作中說理，在“畫圖”操作后求解，在“翻折”操作中探索，最后在折紙藝術(shù)欣賞中進行課堂小結(jié)，感悟數(shù)學(xué)文化，反思提煉學(xué)習(xí)收獲。本節(jié)課的教學(xué)，變例題為引領(lǐng)數(shù)學(xué)活動的問題，設(shè)計從實踐操作到理性思考、從問題解決到方法提煉、從文化感悟到小結(jié)提升的數(shù)學(xué)活動，有效調(diào)動了學(xué)生參與的積極性、主動性，提高了復(fù)習(xí)的效率。