嚴(yán) 虹

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連貫性視閾下“代數(shù)思維”課程設(shè)置的比較研究——以“中”“美”“英”“澳”“新”“南非”六國(guó)課程內(nèi)容為例

嚴(yán) 虹

（貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550001）

代數(shù)思維作為代數(shù)課程的基礎(chǔ)內(nèi)容，作為鏈接“算術(shù)”與“代數(shù)”課程的橋梁，歷來受到國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)教育家們的關(guān)注．選擇澳大利亞、中國(guó)、英國(guó)、新加坡、美國(guó)、南非作為代表國(guó)家，基于課程連貫性視閾，圍繞“代數(shù)思維”課程的內(nèi)容分布、知識(shí)主題選擇、設(shè)置始末年級(jí)、連續(xù)性以及邏輯結(jié)構(gòu)等方面進(jìn)行“小學(xué)—初中—高中”國(guó)際比較研究，從而審視中國(guó)代數(shù)思維內(nèi)容設(shè)置的基本特征，以期在全面深化課程改革的大背景下對(duì)中國(guó)“代數(shù)思維”內(nèi)容的分布情況、內(nèi)容的選擇與組織有一定的啟示作用．

連貫性；代數(shù)思維；課程設(shè)置；比較研究；課程標(biāo)準(zhǔn)

1 問題提出

2014年教育部頒布《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》，明確指出“統(tǒng)籌小學(xué)、初中、高中、本?？?、研究生等學(xué)段”“要避免有的學(xué)科客觀存在的一些內(nèi)容脫節(jié)、交叉、錯(cuò)位的現(xiàn)象，充分體現(xiàn)教育規(guī)律和人才培養(yǎng)規(guī)律”；進(jìn)一步指出“修訂課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)”“要增強(qiáng)整體性，強(qiáng)化各學(xué)段、相關(guān)學(xué)科縱向有效銜接和橫向協(xié)調(diào)配合”．標(biāo)志著中國(guó)已經(jīng)全面進(jìn)入深化課程改革時(shí)期．

連貫，字面意思就是“連接貫通”；還有一層意思就是“說話、文章等意思貫通，邏輯清楚”[1]．連貫性，在國(guó)內(nèi)被談及較多的是“教育的一致性和連貫性原則”，這是德育原則之一，中小學(xué)之間、初高中之間、中學(xué)大學(xué)之間、各年級(jí)之間，都有銜接問題；種種銜接就必定要求德育工作保持連貫性，從而使學(xué)生能在有目的、有計(jì)劃、有層次的教育中健康成長(zhǎng)[2]．課程連貫性傾向于知識(shí)邏輯層面的連接貫通．基于課程連貫性的研究目前在國(guó)內(nèi)并不多見，更多地是以課程編制原則的形式呈現(xiàn)，缺乏微觀層面的深入分析和界定[3-4]．課程連貫性的研究在國(guó)外（尤其是美國(guó)）多是出現(xiàn)在國(guó)家課程的編制過程中，但是仍以質(zhì)性界定為主[5]．

數(shù)學(xué)學(xué)科歷來皆是各國(guó)基礎(chǔ)教育階段的核心課程內(nèi)容，其中“邏輯性”是其鮮明的學(xué)科特征之一．美國(guó)2010年發(fā)布了《統(tǒng)一核心州數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》（）基于數(shù)學(xué)學(xué)科“邏輯性”的基本特征，提出了美國(guó)數(shù)學(xué)課程編制的基本原則“更集中和更具連貫性”．其中，對(duì)于內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)和課程是“連貫的”，給出了描述性的界定：“能夠隨著時(shí)間以一系列有邏輯的主題和行為的方式結(jié)合在一起，并能恰當(dāng)?shù)伢w現(xiàn)學(xué)科內(nèi)容次序性或?qū)哟涡缘谋举|(zhì)．”[6]因此，數(shù)學(xué)課程“連貫性”的要求是結(jié)合學(xué)科具體特征，同時(shí)高于課程編制“銜接性”要求[7]．

綜上所述，研究中所指的課程連貫性主要具有以下特征：一方面，課程內(nèi)容具有內(nèi)部整體性（詳見文中“內(nèi)容分布”“主題選擇”“主題連續(xù)性”等內(nèi)容的探討）；另一方面，課程內(nèi)容知識(shí)在邏輯層面上具有次序性（詳見文中“主題邏輯結(jié)構(gòu)”等內(nèi)容的探討）．

基于數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的國(guó)際比較研究，近年來國(guó)內(nèi)曹一鳴教授、史寧中教授領(lǐng)銜的團(tuán)隊(duì)均有較為深入的研究．其中，曹一鳴團(tuán)隊(duì)圍繞不同階段（尤其是高中階段）數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容分布、理念目標(biāo)、不同知識(shí)單元廣度深度等方面進(jìn)行了一系列的探討[8-16]；史寧中團(tuán)隊(duì)主要針對(duì)高中階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)教育理念、主要內(nèi)容、呈現(xiàn)方式、廣度深度等方面進(jìn)行了一系列的分析[17-19]．

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出：“在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)．代數(shù)思維與算術(shù)思維不同，是由關(guān)系或結(jié)構(gòu)來描述的，它的目的是發(fā)現(xiàn)（一般化）關(guān)系、明確結(jié)構(gòu)，并把它們聯(lián)系起來．”[20]代數(shù)思維是數(shù)學(xué)科學(xué)由常量數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向變量數(shù)學(xué)的里程碑，在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史中有著極其特殊的意義．“早在1994年2月，全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)就通過了一個(gè)關(guān)于‘為每個(gè)人的代數(shù)（algebra for everyone）’的報(bào)告．該報(bào)告指出，所有中學(xué)生都應(yīng)該有機(jī)會(huì)學(xué)習(xí)代數(shù)的基本思想和方法，而學(xué)校中的代數(shù)教學(xué)和學(xué)生的成績(jī)并不理想．進(jìn)而，在美國(guó)人們開始關(guān)注代數(shù)思維（algebraic thinking）的教學(xué)研究．”[21]2001年12月，國(guó)際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)第12屆會(huì)議（ICMI-12）在澳大利亞墨爾本召開，此次會(huì)議專門成立了早期代數(shù)工作組，將代數(shù)的起步教學(xué)作為專門的研究領(lǐng)域．這表明早期代數(shù)的研究開始走上了國(guó)際舞臺(tái)[22]．近年來，國(guó)際上關(guān)于“早期代數(shù)思維”（early algebraic thinking）的研究主要集中在教學(xué)維度．比如，拉德福德（Radford）、路易斯（Luis）針對(duì)小學(xué)生代數(shù)思維（從沒有符號(hào)到依托符號(hào)）的逐漸過渡，開展了一項(xiàng)長(zhǎng)達(dá)5年的研究調(diào)查：研究基于教學(xué)的文化—?dú)v史理論，深入剖析了代數(shù)思維的組成成分，進(jìn)而提出在課堂教學(xué)中，通過調(diào)整教學(xué)設(shè)計(jì)以及指導(dǎo)教學(xué)行為，進(jìn)而有效地促進(jìn)學(xué)生代數(shù)思維的發(fā)展[23-24]．沃倫（Warren）、伊麗莎白（Elizabeth）提出了一種基于新知識(shí)和教育學(xué)視角的模型，用于促進(jìn)幼兒教師早期代數(shù)思維的專業(yè)學(xué)習(xí)，以“模式和代數(shù)線索”為例，有效協(xié)助6位一年級(jí)教師憑借自身實(shí)力成為專家[25]，等等．而基于課程文本維度的研究尚不多見，早年舒密特（William H. Schmidt）團(tuán)隊(duì)在TIMSS項(xiàng)目課程分析子項(xiàng)目中進(jìn)行了長(zhǎng)達(dá)二十余年的研究，主要是基于各個(gè)國(guó)家課程研制者進(jìn)行問卷調(diào)查，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)繪制追蹤圖，其中部分內(nèi)容涉及“代數(shù)”內(nèi)容，但是并未就“代數(shù)思維”進(jìn)行深入分析，且“追蹤圖”具有一定程度上的“主觀性”（并非完全基于課程問題，而是主要基于各國(guó)課程研究者對(duì)于本國(guó)課程的了解程度）[26-28]．

選擇6個(gè)國(guó)家“小學(xué)—初中—高中”整個(gè)基礎(chǔ)教育階段的現(xiàn)行數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)文本作為研究對(duì)象，以“代數(shù)思維”內(nèi)容為例，首創(chuàng)新型課程研究工具WTTM進(jìn)行課程連貫性的國(guó)際比較研究，以期對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)課程深化改革過程中“代數(shù)思維”內(nèi)容的選擇和組織提供一定的參考．

2 研究設(shè)計(jì)

2.1 研究對(duì)象的選取

綜合考慮樣本國(guó)家的地域位置、經(jīng)濟(jì)狀況、文化以及數(shù)學(xué)教育背景等因素，除中國(guó)之外選取了5個(gè)代表性國(guó)家：澳大利亞、英國(guó)、新加坡、美國(guó)、南非（選取的6個(gè)國(guó)家以國(guó)家代碼首字母進(jìn)行排序，分別是澳大利亞、中國(guó)、英國(guó)、新加坡、美國(guó)、南非），6個(gè)國(guó)家基礎(chǔ)教育階段主體學(xué)制以及研究選取的國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)文本如下（為了全文行文一致，各國(guó)均根據(jù)學(xué)制按年級(jí)順序排列）．

表1 樣本國(guó)家主體學(xué)制及國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)文本

注：英國(guó)將11年義務(wù)教育分為4個(gè)關(guān)鍵階段（key stages），國(guó)內(nèi)學(xué)界一般將關(guān)鍵階段1（year1、year2）和關(guān)鍵階段2（year3、yera4、year5、year6）等同于國(guó)內(nèi)小學(xué)階段．而對(duì)于初中、高中階段的劃分，國(guó)內(nèi)學(xué)界存在一定爭(zhēng)議，考慮到數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的官方性質(zhì)，參考曹一鳴《十三國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)評(píng)介（高中卷）》一書中的劃分標(biāo)準(zhǔn)，將關(guān)鍵階段3（year7、year8、year9）等同于國(guó)內(nèi)初中階段，將關(guān)鍵階段4（year10、year11）等同于國(guó)內(nèi)高中階段．

2.2 研究思路與方法

以澳大利亞、中國(guó)、英國(guó)、新加坡、美國(guó)、南非6個(gè)國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)文本作為研究對(duì)象，以“代數(shù)思維”課程內(nèi)容為例，探索“小學(xué)—初中—高中”數(shù)學(xué)課程整體設(shè)置的連貫性問題．采用內(nèi)容編碼、描述統(tǒng)計(jì)、比較研究等定性與定量相結(jié)合的研究方法，針對(duì)TIMSS經(jīng)典課程分析工具“主題追蹤圖”（Topic Trace Mapping）的主要缺陷：主觀性以及難以凸顯課程重點(diǎn)，首創(chuàng)以課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容條目數(shù)量設(shè)置權(quán)重的研究工具“加權(quán)主題追蹤圖”（Weighted Topic Trace Mapping，簡(jiǎn)稱WTTM）．通過比較研究，對(duì)中國(guó)基礎(chǔ)教育階段“代數(shù)思維”課程內(nèi)容的選擇和組織進(jìn)行分析和探索．

3 連貫性視閾下“代數(shù)思維”課程內(nèi)容的比較研究

該研究在美國(guó)實(shí)施課程調(diào)查（Surveys of Enacted Curriculum，簡(jiǎn)稱SEC）項(xiàng)目“K-12數(shù)學(xué)分類”的基礎(chǔ)上，結(jié)合六國(guó)數(shù)學(xué)課程實(shí)際情況，經(jīng)過兩輪次“理論搭建+實(shí)踐修正”之后，最終確定“代數(shù)思維”內(nèi)容主題及編碼體系如下：131 未知數(shù)、變量的使用；132 代數(shù)式概念；133 代數(shù)式的運(yùn)算；134 代數(shù)式的證明；130 其它代數(shù)思維內(nèi)容．

在此基礎(chǔ)上，先后將六國(guó)“代數(shù)思維”相關(guān)課程內(nèi)容條目進(jìn)行編碼、統(tǒng)計(jì)，最終繪制出相應(yīng)的WTTM如圖1~6．

圖1 澳大利亞代數(shù)思維WTTM

圖2 中國(guó)代數(shù)思維WTTM

圖3 英國(guó)代數(shù)思維WTTM

圖4 新加坡代數(shù)思維WTTM

圖5 美國(guó)代數(shù)思維WTTM

圖6 南非代數(shù)思維WTTM

3.1 內(nèi)容分布基本情況

就整個(gè)基礎(chǔ)教育階段而言，六國(guó)代數(shù)思維課程內(nèi)容分布情況如圖7~8所示．

圖7 代數(shù)思維主題分布雷達(dá)圖

圖8 代數(shù)思維主題分布柱形圖

注：各國(guó)小學(xué)、初中、高中階段有多于一門數(shù)學(xué)課程的情況，按照平均值統(tǒng)計(jì)，比如，澳大利亞高中共有4門數(shù)學(xué)課程，以4門課程主題數(shù)量平均值代表該國(guó)高中階段主題數(shù)量．

可以看出，對(duì)于代數(shù)思維內(nèi)容條目絕對(duì)數(shù)量而言，美國(guó)、澳大利亞內(nèi)容條目數(shù)量較多，中國(guó)、英國(guó)內(nèi)容條目數(shù)量較少，并且六國(guó)主要集中分布在“未知數(shù)、變量的使用”“代數(shù)式的運(yùn)算”知識(shí)主題上．對(duì)于代數(shù)思維內(nèi)容條目相對(duì)數(shù)量而言，在“未知數(shù)、變量的使用”知識(shí)主題中，美國(guó)所占比重最大（58.48%），新加坡所占比重最?。?9.35%）；在“代數(shù)式概念”知識(shí)主題中，中國(guó)所占比重最大（37.50%），澳大利亞所占比重最?。?.54%）；在“代數(shù)式的運(yùn)算”知識(shí)主題中，新加坡所占比重最大（61.30%），美國(guó)所占比重最?。?7.32%）；在“代數(shù)式的證明”知識(shí)主題中，英國(guó)所占比重最大（8.33%），新加坡、南非課程標(biāo)準(zhǔn)文本中沒有出現(xiàn)相關(guān)內(nèi)容條目．

為了更為明晰地了解中國(guó)在六國(guó)中的基本情況，將中國(guó)與六國(guó)均值統(tǒng)計(jì)如圖9所示．

圖9 代數(shù)思維主題分布（中國(guó)和六國(guó)均值）

可以看出，中國(guó)在“代數(shù)式的運(yùn)算”“代數(shù)式的證明”知識(shí)主題所占比重與六國(guó)均值較為接近；然而，在“代數(shù)式概念”知識(shí)主題所占比重（37.50%）明顯高于六國(guó)均值（17.20%），同時(shí)也是六國(guó)中所占比重最大的國(guó)家；在“未知數(shù)、變量的使用”知識(shí)主題所占比重（25.00%）明顯低于六國(guó)均值（40.03%）．

3.2 主題選擇比較與分析

從整體上看，六國(guó)對(duì)于除130（其它代數(shù)思維內(nèi)容）之外其余4個(gè)知識(shí)主題的覆蓋程度比較全面：澳大利亞、中國(guó)、英國(guó)和美國(guó)，4個(gè)知識(shí)主題均有涉及；新加坡、南非沒有“代數(shù)式的證明”．

另一方面，由于各國(guó)不同的文化教育傳統(tǒng)，六國(guó)對(duì)于“代數(shù)思維”在內(nèi)容選擇上也呈現(xiàn)出一定的差異：澳大利亞從小學(xué)一年級(jí)開始涉及“數(shù)字模式”，高中“專業(yè)數(shù)學(xué)”課程中涉及“推導(dǎo)并使用與帕斯卡三角相關(guān)的簡(jiǎn)單恒等式”“證明并應(yīng)用因式定理和余數(shù)定理”等“代數(shù)式的證明”知識(shí)主題．中國(guó)從四~六年級(jí)開始涉及“用字母表示數(shù)”，七~九年級(jí)開始涉及“能推導(dǎo)乘法公式，了解公式的幾何背景，并能利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算”等“代數(shù)式的證明”知識(shí)主題．英國(guó)從小學(xué)六年級(jí)開始涉及“代數(shù)地表達(dá)缺失數(shù)的問題”“推導(dǎo)并描述線性數(shù)序”，關(guān)鍵階段4開始涉及“理解方程和恒等式的不同；數(shù)學(xué)論證以顯示代數(shù)表達(dá)式的等值性，并使用代數(shù)支持和建立論點(diǎn){和證明}”等“代數(shù)式的證明”知識(shí)主題．新加坡從小學(xué)六年級(jí)開始涉及“用字母表示數(shù)”．美國(guó)從小學(xué)一年級(jí)開始涉及“用含一個(gè)未知數(shù)的等式來表征問題”“算術(shù)模型”，高中階段涉及“證明多項(xiàng)恒等式并運(yùn)用它們描述數(shù)字關(guān)系”．南非從小學(xué)一年級(jí)開始涉及“創(chuàng)造和描述自己的模式調(diào)查并拓展數(shù)字模型以尋找模式的關(guān)系或規(guī)則”．

對(duì)于代數(shù)思維“其他”內(nèi)容，各國(guó)不盡相同．澳大利亞涉及表征形式，比如“使用電子表格或同等技術(shù)畫表格，記錄公式中的值，包括二維雙向表，如身體質(zhì)量指數(shù)（BMI）表包括不同的體重和身高”．英國(guó)涉及表征形式，比如“將建模情形或過程翻譯為代數(shù)表達(dá)式或公式，并且使用圖表”．美國(guó)涉及余數(shù)定理．南非涉及余因子定理，比如“重視并理解最多三次多項(xiàng)式的余因子定理；分解三次多項(xiàng)式（包括要求因式分解定理的實(shí)例）”．

3.3 主題組織比較與分析

（1）主題最早開始年級(jí)和主題最晚結(jié)束年級(jí)．

依次統(tǒng)計(jì)六國(guó)代數(shù)思維課程內(nèi)容知識(shí)主題最早開始年級(jí)以及最晚結(jié)束年級(jí)，如圖10~11所示．

圖10 六國(guó)代數(shù)思維知識(shí)主題最早開始年級(jí)

圖11 六國(guó)代數(shù)思維知識(shí)主題最晚結(jié)束年級(jí)

注：為了更為細(xì)致地研究各國(guó)基本情況，統(tǒng)計(jì)主題早晚年級(jí)時(shí)，課程標(biāo)準(zhǔn)文本中以“階段”表述的主題，統(tǒng)一將該階段起始年級(jí)作為主題的最早開始年級(jí)，將該階段結(jié)束年級(jí)作為主題的最晚結(jié)束年級(jí)．

可以發(fā)現(xiàn)，就知識(shí)主題最早開始年級(jí)而言，“代數(shù)式概念”設(shè)置時(shí)間較為集中，均在六~八年級(jí)開始．“未知數(shù)、變量的使用”澳大利亞、美國(guó)、南非均從一年級(jí)開始設(shè)置，英國(guó)、新加坡則從六年級(jí)開始設(shè)置；“代數(shù)式的運(yùn)算”南非從四年級(jí)開始設(shè)置，澳大利亞、中國(guó)從七年級(jí)開始設(shè)置；“代數(shù)式的證明”英國(guó)從六年級(jí)開始設(shè)置，澳大利亞則從十一年級(jí)開始設(shè)置．相較于六國(guó)平均水平，中國(guó)在“代數(shù)式概念”設(shè)置時(shí)間與六國(guó)一致，“未知數(shù)、變量的使用”“代數(shù)式的運(yùn)算”設(shè)置時(shí)間略晚于六國(guó)，“代數(shù)式的證明”設(shè)置時(shí)間略早于六國(guó)．

就知識(shí)主題最晚結(jié)束年級(jí)而言，中國(guó)在4個(gè)知識(shí)主題設(shè)置時(shí)間均明顯前置．相較于六國(guó)平均水平，“未知數(shù)、變量的使用”“代數(shù)式概念”“代數(shù)式的運(yùn)算”“代數(shù)式的證明”設(shè)置時(shí)間較之六國(guó)均前置兩年．從一定程度上可以說明中國(guó)代數(shù)思維課程內(nèi)容設(shè)置時(shí)間相對(duì)較短．

（2）主題連續(xù)性．

分別從兩個(gè)方向探索代數(shù)思維知識(shí)主題的連續(xù)性情況，一方面逐一考察每個(gè)知識(shí)主題的階段（小學(xué)、初中、高中）跨度情況，如圖12所示．不難看出，中國(guó)是唯一代數(shù)思維知識(shí)主題全部?jī)H“涉及1個(gè)階段”的國(guó)家，“未知數(shù)、變量的使用”僅涉及小學(xué)階段，其余3個(gè)知識(shí)主題僅涉及初中階段，而英國(guó)、新加坡沒有僅“涉及1個(gè)階段”的知識(shí)主題．澳大利亞、英國(guó)、新加坡、美國(guó)均有3個(gè)知識(shí)主題“涉及2個(gè)階段”．英國(guó)、南非各有一個(gè)知識(shí)主題涉及小學(xué)、初中、高中3個(gè)階段，均為“代數(shù)式的運(yùn)算”．從一定程度上可以說明中國(guó)代數(shù)思維課程內(nèi)容設(shè)置呈現(xiàn)出集中性的特征，是六國(guó)之中階段跨度最小的國(guó)家．

圖12 代數(shù)思維知識(shí)主題階段跨度分布

另一方面注意考察每個(gè)知識(shí)主題的連續(xù)情況，如圖13所示．不難看出，中國(guó)是唯一代數(shù)思維知識(shí)主題全部?jī)H“涉及一個(gè)年級(jí)（階段）的國(guó)家”，很大程度上歸因于中國(guó)也是唯一小學(xué)階段按照學(xué)段進(jìn)行課程內(nèi)容設(shè)置的國(guó)家，故無法深入考察知識(shí)主題的連續(xù)或中斷情況，英國(guó)、新加坡沒有僅“涉及一個(gè)年級(jí)（階段）”的知識(shí)主題．英國(guó)、新加坡是“年級(jí)（階段）間連續(xù)”所占比重最大的國(guó)家，各有3個(gè)知識(shí)主題連續(xù)．澳大利亞、美國(guó)是“年級(jí)（階段）間中斷”所占比重最大的國(guó)家，各有兩個(gè)知識(shí)主題中斷．

圖13 代數(shù)思維知識(shí)主題連續(xù)性分布

（3）主題邏輯結(jié)構(gòu)．

為了更為直觀地將中國(guó)與六國(guó)課程內(nèi)容設(shè)置基本情況進(jìn)行比較，該研究設(shè)計(jì)合理算法，將六國(guó)課程設(shè)置的基本情況進(jìn)行整合，繪制基于六國(guó)代數(shù)思維課程內(nèi)容設(shè)置參考模型，如圖14所示．

內(nèi)容設(shè)置參考模型中代數(shù)思維知識(shí)主題出現(xiàn)的邏輯順序?yàn)椋骸拔粗獢?shù)、變量的使用”（一年級(jí)）→“代數(shù)式的運(yùn)算”（六年級(jí)）→“代數(shù)式概念”（七年級(jí)）→“代數(shù)式的證明”（十一年級(jí)）．而中國(guó)代數(shù)思維知識(shí)主題出現(xiàn)的邏輯順序?yàn)椋骸拔粗獢?shù)、變量的使用”（第二學(xué)段）→“代數(shù)式概念”“代數(shù)式的運(yùn)算”“代數(shù)式的證明”（第三學(xué)段）．

可以看出，在參考模型中，知識(shí)主題出現(xiàn)的先后順序?qū)哟屋^為清晰，整個(gè)小學(xué)階段、初中階段貫穿“未知數(shù)、變量的運(yùn)用”，不斷強(qiáng)化代數(shù)思維的滲透，將“算術(shù)”與“代數(shù)”進(jìn)行有效銜接；小學(xué)結(jié)束之前設(shè)置“代數(shù)式的運(yùn)算”延續(xù)到整個(gè)初中、高中階段，從值的“輸入輸出”開始，為之后“代數(shù)式概念”做準(zhǔn)備；初中階段設(shè)置“代數(shù)式概念”；高中階段根據(jù)實(shí)際需要設(shè)置“代數(shù)式的證明”．

圖14 代數(shù)思維課程內(nèi)容設(shè)置參考模型

圖15 中國(guó)代數(shù)思維課程內(nèi)容設(shè)置

另一方面，關(guān)于“代數(shù)思維”單元知識(shí)主題設(shè)置重點(diǎn)．“未知數(shù)、變量的運(yùn)用”知識(shí)主題，參考模型中設(shè)置時(shí)間長(zhǎng)，其中，四、五、六、八年級(jí)皆為課程重點(diǎn)、次重點(diǎn)；中國(guó)僅在四~六年級(jí)設(shè)置為次重點(diǎn)．“代數(shù)式運(yùn)算”，參考模型在初中階段設(shè)置為重點(diǎn)，與中國(guó)相同；“代數(shù)式概念”，參考模型中沒有將其設(shè)置為重點(diǎn)，中國(guó)在初中階段設(shè)置為重點(diǎn)．“代數(shù)式證明”，參考模型與中國(guó)皆沒有將其設(shè)置為重點(diǎn)．

可以看出，參考模型中重視“未知數(shù)、變量的運(yùn)用”“代數(shù)式運(yùn)算”，而中國(guó)則重視“代數(shù)式運(yùn)算”“代數(shù)式概念”．

4 啟示與建議

他山之石可以攻玉．通過國(guó)際比較研究，可以審視中國(guó)代數(shù)思維課程內(nèi)容設(shè)置的基本情況，從而為中國(guó)基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容設(shè)置趨向“整體性”“連貫性”提供一定參考．

（1）適當(dāng)增加“未知數(shù)、變量的使用”所占比重．中國(guó)在“未知數(shù)、變量的使用”知識(shí)主題所占比重明顯低于六國(guó)均值，然而澳大利亞、美國(guó)、南非從小學(xué)一年級(jí)即開始設(shè)置相關(guān)內(nèi)容，分別是澳大利亞“模式與代數(shù)”、美國(guó)“運(yùn)算與代數(shù)思維”、南非“數(shù)字模式”模塊，且一直延續(xù)到初中階段，同時(shí)在參考模型中將其設(shè)置為重點(diǎn)．由此可見，“未知數(shù)、變量的使用”知識(shí)主題作為代數(shù)思維的基礎(chǔ)知識(shí)，作為“代數(shù)式概念”的引導(dǎo)性內(nèi)容，在國(guó)際中得以普遍重視，中國(guó)對(duì)此知識(shí)主題重視程度略顯不足．

（2）適當(dāng)提前“未知數(shù)、變量的使用”“代數(shù)式的運(yùn)算”尤其是“代數(shù)式的運(yùn)算”最早開始年級(jí)；適當(dāng)推后代數(shù)思維知識(shí)主題最晚結(jié)束年級(jí)．中國(guó)代數(shù)思維課程內(nèi)容階段跨度是六國(guó)中最小的國(guó)家，所屬4個(gè)知識(shí)主題均只屬一個(gè)階段，連續(xù)性較弱；然而，代數(shù)思維作為聯(lián)系“算術(shù)”與“代數(shù)”的橋梁，在澳大利亞、英國(guó)、美國(guó)、南非均橫跨小學(xué)、初中、高中3個(gè)階段，適當(dāng)延長(zhǎng)中國(guó)整個(gè)代數(shù)思維課程內(nèi)容的設(shè)置時(shí)間顯得很有必要．

（3）進(jìn)一步明晰代數(shù)思維單元知識(shí)主題出現(xiàn)的邏輯順序．在參考模型中，知識(shí)主題出現(xiàn)的先后順序?qū)哟屋^為明晰，整個(gè)小學(xué)階段、初中階段貫穿“未知數(shù)、變量的運(yùn)用”，將“算術(shù)”與“代數(shù)”進(jìn)行有效銜接；小學(xué)結(jié)束之前設(shè)置“代數(shù)式運(yùn)算”延續(xù)到整個(gè)初中、高中階段；初中階段設(shè)置“代數(shù)式概念”；高中階段根據(jù)實(shí)際需要設(shè)置“代數(shù)式證明”．

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An International Comparative Study about Curriculum Content Settings of Algebraic Thinking Based on Coherence Visual Threshold——Take the Curriculum Content of China, United States, United Kingdom, Australia, Singapore and South Africa for Example

YAN Hong

(School of Mathematics Science, Guizhou Normal University, Guizhou Guiyang 550001, China)

The “Algebraic Thinking” was the basic content of Algebra Curriculum, which was the bridge connected “arithmetic” and “Algebra”. Many mathematical educators at home and abroad always were focus on this problem. This study chose behalf of the state such as Australia, China, United Kingdom, Singapore, United States and South Africa. From the coherence visual threshold, the international comparative study revolves “Algebraic Thinking” content, for content distribution, topic selecting, setting time, continuous, and logical structure, which studies from primary school, junior high school to senior middle school. And it got some basic characteristics about curriculum settings of “Algebraic Thinking” in our country. The study took some inspiration for the distributed situation, the choice and organization of content for our country curriculum.

curriculum coherence; algebraic thinking; curriculum settings; comparative study; curriculum standards

G40-059.3

A

1004–9894（2018）06–0060–07

嚴(yán)虹．連貫性視閾下“代數(shù)思維”課程設(shè)置的比較研究——以“中”“美”“英”“澳”“新”“南非”六國(guó)課程內(nèi)容為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（6）：60-66．

2018–06–29

2015年度教育部人文社會(huì)科學(xué)研究項(xiàng)目——基于課程連貫性視閾的基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)課程國(guó)際比較研究（15YJC880104）；天津市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題——“幼小”“小初”學(xué)段銜接的課程建設(shè)實(shí)踐研究（BE3330）

嚴(yán)虹（1980—），女，江蘇南京人，教授，博士，主要從事數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)課程國(guó)際比較研究．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、張楠]