甘述鴻

一個優(yōu)秀的學(xué)生不僅要學(xué)會教材中的知識，而且要善于發(fā)現(xiàn)和提煉教材內(nèi)容背后所隱含的數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)問題的解決無不以數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo)，以數(shù)學(xué)方法為手段，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂和精髓.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力.

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)方法在人的頭腦中經(jīng)過思維活動后產(chǎn)生的結(jié)果，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)方法的升華和結(jié)晶，我們知道，有許多具體的數(shù)學(xué)知識學(xué)過之后可能忘記，但那些數(shù)學(xué)知識所表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)思想是永遠忘不掉的，而且可遷移使你終身受益，下面就介紹幾種基本的數(shù)學(xué)思想.

一、分類思想

分類思想在初中代數(shù)中應(yīng)用很廣，如，實數(shù)可以分為有理數(shù)和無理數(shù)，有理數(shù)可分為整數(shù)和分數(shù).整數(shù)又可分為正整數(shù)、零、負整數(shù)等等.另外，分類思想還應(yīng)用在平面幾何中.如，角可分為銳角、直角、鈍角.兩直線的位置關(guān)系分為相交、平行兩類.點和圓的位置關(guān)系分為點在圓內(nèi)、點在圓上、點在圓外等.

例1解關(guān)于x的方程：2ax-5=-x.

解移項整理得（2a+1）x=5.

當2a+1≠0，即a≠-12時，方程解為x=52a+1，

當2a+1=0，即a=-12時，方程無解.

二、整體思想

整體思想就是考慮數(shù)學(xué)問題時，不是著眼于它的局部特征，而是把著眼點放在問題的整體結(jié)構(gòu)上，通過對其全面深刻地觀察，從宏觀整體上認識問題的實質(zhì)，把一些彼此獨立但實質(zhì)上又相互緊密聯(lián)系著的量作為整體來處理的思想方法.整體思想在處理數(shù)學(xué)問題時，有廣泛的應(yīng)用.

例2已知x-3y=-3，則5-x+3y的值是（）.

A.0

B.2

C.5

D.8

解5-x+3y=5-（x-3y）=5-（-3）=5+3=8.

三、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)形結(jié)合起來進行分析、研究、解決問題的思維.著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛;數(shù)無形時少直觀，形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休;切莫忘，幾何代數(shù)流一體，永遠聯(lián)系莫分離.”這充分說明了數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用中的重要性.抽象的數(shù)量通過幾何圖形表現(xiàn)出來就顯得很直觀.

例3已知：∠A為銳角，cosA=513，求tanA的值.

解由cosA=ABAC，可設(shè)AB=5a，AC=13a，

由勾股定理得BC=AC2-AB2=12a，

∴tanA=BCAB=12a5a=125.

四、方程與不等式思想

它是指所求問題通過列方程和不等式得到解決，在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用極為廣泛.學(xué)生要學(xué)會分析問題中的數(shù)量關(guān)系，尋找已知量與未知量之間的相等與不等關(guān)系.學(xué)會通過適當設(shè)元，列出方程（組）或不等式（組），從而解決問題的一種思維方式.

例4某服裝老板到廠家選購A，B兩種型號的服裝，若購A型號9件，B型號10件則要1810元.若購進A型號12件，B型號8件則要1880元.

（1）求A，B兩種型號服裝每件多少元.

（2）若售一件A型服裝可獲利18元，售一件B型服裝獲利30元，老板決定某次進貨A服裝數(shù)量是B服裝數(shù)量的2倍還多4件，且A型服裝最多可進28件，若想這次售完貨后能賺不少于699元的利潤，則有幾種進貨方案？如何進貨好？

解（1）設(shè)A型服裝每件x元，B型服裝每件y元，則有

9x+10y=1810，12x+8y=1880， 解得x=90，y=100.

（2）設(shè)老板這次進A型服裝a件，B型服裝b件，則有

18a+30b≥699，b=a-42，a≤28.

（1）（2）（3）

將（2）式代入（1）且兩邊同除以33得到a≥23，又由（3）知a≤28，因為a，b是衣服數(shù)量應(yīng)為整數(shù)，所以a的取值可為23，24，25，26，27，28.但要使b為整數(shù)時，a只能取24，26，28.

所以有三種進貨方案可使利潤不少于699元.

方案1：進A型服裝24件，B型服裝10件

方案2：進A型服裝26件，B型服裝11件

方案3：進A型服裝28件，B型服務(wù)12件.

五、化歸與轉(zhuǎn)化思想

化歸思想是指在解決問題的過程中，對問題進行轉(zhuǎn)化，使之成為簡單、熟知問題的基本解題模式，它是使一種數(shù)學(xué)對象在一定條件下轉(zhuǎn)化為另一種數(shù)學(xué)對象的思想和方法.其核心就是將有待解決的問題轉(zhuǎn)化為已有明確解決程序的問題，以便利用已有的理論、技術(shù)來加以處理，從而培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的、發(fā)展的、運動變化的觀點觀察事物、認識問題.

數(shù)學(xué)思想方法是從數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓，是將數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的橋梁.需要教師和學(xué)生長期堅持不懈地努力，共同完成.希望各位愛好數(shù)學(xué)的同學(xué)能夠靈活地運用數(shù)學(xué)思想來解決更多的實際問題，使你的頭腦更加聰慧.