杜姍姍,朱鳳鳴,李芹影,王 浩,周芷薇

（蚌埠學(xué)院理學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

一、引言

有關(guān)期權(quán)定價問題的研究，Black-Scholes[1]于1973年在假設(shè)資產(chǎn)收益服從幾何布朗運動的情形下，建立了歐式期權(quán)定價公式，二人也因此獲得了1997年的諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。在其后的四十年多年中，國內(nèi)外的學(xué)者對其進(jìn)行了深入的研究與推廣。實證分析表明資本市場具有長程記憶性，因此一些學(xué)者使用具有長程相依性的分?jǐn)?shù)布朗運動替代布朗運動改進(jìn)經(jīng)典的Black-Scholes期權(quán)定價模型，如文獻(xiàn)[2]-[4]等。

作為分?jǐn)?shù)布朗運動的擴張，Bojdecki等[5]首次建立并研究了一類更廣泛的不具有平穩(wěn)增量但具有分?jǐn)?shù)布朗運動一些主要性質(zhì)的自相似高斯過程，它來自于具有泊松初始條件的分支粒子的占位時，稱為賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運動 (weighted fractional Brownian motion)。所謂賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運動是指協(xié)方差函數(shù)為

的中心化高斯過程，其中

a＞ -1,|b|＜ 1,|b|＜a+1。

當(dāng)a＝0時，在相差一個常數(shù)倍數(shù)的意義下，賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運動退化為Hurs指數(shù)為的分?jǐn)?shù)布朗運動。賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運動具有許多類似分?jǐn)?shù)布朗運動的性質(zhì)，如自相似性、軌道連續(xù)性、既不是馬爾科夫過程又不是半鞅。更多此隨機過程的知識請參考文獻(xiàn)[6]-[7]。Sun Yan[8]首次研究了賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運動驅(qū)動的歐式期權(quán)定價公式，在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，本文我們研究賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運動驅(qū)動的混合期權(quán)定價賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運動環(huán)境下的混合交換期權(quán)定價問題。在標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運動的情況下，利用保險精算的方法推導(dǎo)出了期權(quán)的定價公式。

本文的組織結(jié)構(gòu)如下,第一部分給出了賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運動的定義及其驅(qū)動的期權(quán)定價公式模型；第二部分得出了混合交換期權(quán)定價公式；第三部分對本文進(jìn)行總結(jié)。

二、賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運動驅(qū)動的期權(quán)定價模型

假設(shè)在金融市場存在著兩種資產(chǎn),一種是債券,另外一種是股票。假設(shè)債券在t時刻的無風(fēng)險利率為 r；股票在 t時刻的價格設(shè) S（t），且股票價格過程（t）滿足

其中μ(t)表示期望收益率、σ(t)表示波動率和無風(fēng)險利率表示賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運動。

現(xiàn)在考慮時間區(qū)間為[0,T2]，令{S(t):t≥0}表示完備概率空間(Ω,F,P)上的隨機過程{Ft:t≥0},表示S(t)生成的σ-代數(shù),而S(0)＝S是大于零的常數(shù)。

定義1 令t∈[0,T]，價格過程S(t)的期望收益率μ定義為，債券的價格P(t)滿足方程d P（t）＝P(t)rdt，且 P(0)＝ 1,其中 r為 t時刻的瞬時利息率。

定義2 期權(quán)的保險精算定價等于股票到期日價格按期望收益率折現(xiàn)的現(xiàn)值與執(zhí)行價(債券)按無風(fēng)險利率折現(xiàn)的現(xiàn)值的差,在股票實際分布的概率測度下的數(shù)學(xué)期望值。

三、賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運動環(huán)境下的混合期權(quán)的保險精算定價

眾所周知，混合期權(quán)是以期權(quán)為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán),主要有以下4種:①買權(quán)的買權(quán)；②買權(quán)的賣權(quán)；③賣權(quán)的買權(quán)；④賣權(quán)的賣權(quán).本文主要介紹①買權(quán)的買權(quán),其它幾種混合期權(quán)的公式讀者可以類似推導(dǎo)。

買權(quán)的買權(quán)就是以買權(quán)為標(biāo)的的買權(quán),其到期時現(xiàn)金流量為：

CCT1＝max[0,C(S(T1),T1)-K]，

其中標(biāo)的買權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)S(t)表示基本標(biāo)的資產(chǎn)t時的價格,t∈[0,T]；記標(biāo)的買權(quán)的執(zhí)行價格為K；標(biāo)的買權(quán)的到期時為T2；標(biāo)的買權(quán)在時的價格為C(S(t),t)；混合買權(quán)的執(zhí)行價格為K(即買權(quán)的買權(quán)執(zhí)行價格)；T1為混合買權(quán)的到期時0＜T1＜T2，即混合買權(quán)的到期時在標(biāo)的買權(quán)的到期時之前).

定義3 當(dāng)期權(quán)被執(zhí)行時,混合期權(quán)的保險精算價值CC(S,0)為：

假設(shè)股票的價格過程{S(t):t≥0}滿足方程(1),其中常數(shù)μ,σ分別表示股票價格的期望收益率和波動率,B a,b t 表示賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運動。

證明 由（1）式可知

定理1 假設(shè){S(t):t≥0}滿足方程(1)且風(fēng)險資產(chǎn)在有效期內(nèi)無紅利支付,則

其中

證明 因為

其中

四、結(jié)論

本文利用保險精算的方程研究了賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運動符合的金融市場的交換期權(quán)定價問題，給出了期權(quán)定價公式。是對經(jīng)典布朗運動及分?jǐn)?shù)布朗運動驅(qū)動的金融模型的深入研究，為金融市場復(fù)合期權(quán)的定價提供了理論依據(jù)。未來我們將進(jìn)一步研究賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運動驅(qū)動的亞式、美式等類型期權(quán)的定價問題。